土木工程制图-画法几何：第3章 点、直线和平面的投影(5)

1、点、直线、面的投影点、直线、面的投影(5)(5) 主讲：王雷第 二 章一、一、 平面的表示法平面的表示法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行两平行直线直线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c 3-3 3-3 平面的投影平面的投影1.几何元素表示几何元素表示WV H2.2.迹线表示迹线表示 XZYHYW OPVPZPXPHPYHPYWPWP PV V与与P PH H交交OXOX轴于迹线集合点轴于迹线集合点P PX X (P(P、H H、V V三面共点）三面共点）

2、PPVPHPWPXPYPZ迹线：平面与投影面的交线。迹线：平面与投影面的交线。规定：正面、水平、侧面迹线分别用规定：正面、水平、侧面迹线分别用P PV V、P PH H、P PW W表示。表示。二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性特殊位置平面特殊位置平面平面对于三投影面的位置可分为三

3、类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面2. 2. 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 投影面垂直面投影面垂直面 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。YWHVoXZ

4、投影特性投影特性铅垂面铅垂面积聚性积聚性类似性类似性类似性类似性WV HQVQHQWQQXQYQVQYHQYW XZYHYW OQXQHQW平行面的迹线表示平行面的迹线表示铅垂面判断下列平面是什么位置的平面？判断下列平面是什么位置的平面？正垂面正垂面侧垂面侧垂面OXZYHYW OXZYHYWabcdabcda(b)c(d) AH HV VW W 投影面平行面投影面平行面实形性实形性积聚性积聚性积聚性积聚性正平面正平面在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影特性投影特性 XZ YH YWOWV HRRHRWRHRYH RWRY正平面垂直面

5、的迹线表示垂直面的迹线表示水平面水平面侧平面侧平面实形性实形性实形性实形性积聚性积聚性积聚性积聚性a b c abc水平面水平面铅垂面铅垂面c abca b 与投影轴平行与投影轴倾斜是什么位置是什么位置的平面？的平面？a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。投影特性投影特性H HW WV VO OX XZ ZY Ya c b c a abcb 例例1 1：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面及侧面投影。的正面及侧面投影。45 33 属于平

6、面的点和直线属于平面的点和直线 定定 理理 三三若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线属于该平面。此直线属于该平面。定定 理理 二二若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线属于该平面。属于该平面。一、几何原理一、几何原理定定 理理 一一若一点属于平面上若一点属于平面上的一直线，则此点的一直线，则此点属于该平面。属于该平面。1 1、面上作线的方法：、面上作线的方法：M MN NA AB BM M若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必属于该平面。必属于该平面。若一直线过平

7、面上若一直线过平面上的一点且平行于该的一点且平行于该平面上的另一直线平面上的另一直线，则此直线必属于，则此直线必属于该平面。该平面。面上作线先找点面上作线先找点abcb c a abcb c a d mnn m d例例1 1：已知平面由直线已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理三根据定理三根据定理二根据定理二有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。例例2 2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为16mm。长度为长度为20mm。1 m 1m16c a b ca

8、bn n20201616距距H H面面1616直线直线M1M1在面上！在面上！MNMN为所求为所求mn=20 先作平行投影轴的那个投影d 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1 1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k首先面上取线首先面上取线abcab k c kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解 2 2、面上取点的方法、面上取点的方法：线上找点线上找点面上画线

9、面上画线例例2 2：判别判别K点是否属于已知平面（点是否属于已知平面（ABBC）。）。abcb c a ke k d edK K点不属于已知平面（点不属于已知平面（ABABBCBC）判别K点是否属于该平面的直线。XOacbabcd11d例例3 3：试完成四边形：试完成四边形ABCD的投影。的投影。 例例4 4：完成平面图形：完成平面图形ABCDEF的水平投影。的水平投影。2.2.作作gdgd ba ba ，得，得d d 连接连接cdcd；O3.3.作作de de bc bc ，得，得e e；4.4.作作efef ba ba ，得，得f f；5.5.连接连接 fafa，完成图形。，完成图形。1.

10、1.过过d d点作点作d dg g a ab b 得得g g及及 g gfXabcbacdefedg作图作图g分析：分析： 运用点、直线及平运用点、直线及平面从属关系的几何原面从属关系的几何原理和平行两直线的投理和平行两直线的投影性质，即可补出平影性质，即可补出平面图形的水平投影。面图形的水平投影。 作图：作图：1.1.作作af/bcaf/bc，得，得f f；2.2.作作ef/abef/ab, ,求点求点e;e;3.3.作作ed/bced/bc，得，得d; d; 4.4.连线，完成图形。连线，完成图形。fXOabcbacdefed 例例4 4：完成平面图形：完成平面图形ABCDEF的水平投影。

11、的水平投影。二二 、属于平面的特殊位置直线、属于平面的特殊位置直线1.1.属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线在任意平面上都存在着无数条水平线、正平线、侧平线平行于同一投影面的直线彼此平行，且平行于平面的同面迹线 作属于平面的投影面平行线时，应先作平行于投影轴的那个投影，再按补作属于平面的直线所缺投影，作出其它投影。WHVoXZYa b c abca b c abcdddd属于平面的投影面的平行线作图属于平面的投影面的平行线作图先作平行投影轴的那个投影水平线水平线正平线正平线bckada d b c ada d b c k b例例1 1：已知已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补

12、全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二cdede1515mmbcX XbcaaO O例例2 2：在：在ABC ABC 内取一点内取一点M M，并使其到，并使其到V V 面和面和 H H 面的距离均为面的距离均为15mm15mm。1.1.作属于平面且距作属于平面且距V V面面 为为15mm15mm的正平线的正平线DEDE；作图步骤：作图步骤：3.3.两线交点即为两线交点即为M M2.2.作属于平面且距作属于平面且距H H面面 为为15mm15mm的水平线；的水平线；一平面的表示方法一平面的表示方法 常用的是常用的是: :两平行线、两相交直线、平面图形两平行线、两相交直线、平面图形二平面的投影特性二平面的投影特性 何时投影积聚为直线、反映实形、类似形何时投影积聚为直线、反映实形、类似形 投影面平行面、垂直面、一般位置面的投影特性投影面平行面、垂直面、一般位置面的投影特性三属于平面的直线和点三属于平面的直线和点 如何在平面上确定直