选修1-2_3.2.2复数代数形式的乘除运算

1、3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算教师教师寄语寄语： 信信 心心 就就 是是 力力 量量 ！ 性质性质平面向量平面向量复数复数模模大小的比较大小的比较不能比较大小不能比较大小模可以比较大小模可以比较大小几何意义几何意义与坐标平面与坐标平面的点一一对应的点一一对应加法运算加法运算减法运算减法运算22ba模为b)的向量(a, d)bc,(ad)(c,b)(a, d)bc,(ad)(c,b)(a, 22ba的模为bia z复复数数不能比较大小不能比较大小模可以比较大小模可以比较大小与复平面的与复平面的点一一对应点一一对应d)i

2、bc)(adi)(cbi)(a (d)ibc)(adi)(cbi)(a (复数与平面向量的性质类比复数与平面向量的性质类比 2 已知 以OA,OB为邻边做平行四边形OACB,求向量 对应的复数.,2 ,23,iiOBOA对应复数是OC课堂练习解：OC=OA+OB即对应(-3+2i)+(2+i)=-1+3i学学 以以 致致 用用讲解例题讲解例题 例例1 计算计算(5 6) ( 2 ) (3 4)iii-+ - - - +(5 6) ( 2 ) (3 4)(5 2 3) ( 6 1 4)11iiiii-+ - - - +=- - + - - -=-解：解：例2：设z1= x+2i,z2= 3-yi

3、(x,yR),且z1+z2 = 5 - 6i,求z1-z2解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i(3+x)+(2-y)i=5-6iz1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i3+x=5,2-y=-6.x=2y=83、计算：（、计算：（1）( 3 4i)+(2+i) (1 5i)=_ （2） ( 3 2i) (2+i) (_)=1+6i4、已知、已知xR，y为纯虚数，且（为纯虚数，且（2x 1)+i=y (3 y)i 则则x=_ y=_2+2i9i324i分析：依题意设分析：依题意设y=ai（aR），则原式变为：），则原式变为：（2x 1)+i=(a 3

4、)i +ai2= a+( a 3)i 23由复数相等得由复数相等得2x 1= aa 3=1x=y=4i课堂练习 例例3 3、已知复平面内一平行四边形已知复平面内一平行四边形AOBCAOBC顶点顶点A,O,BA,O,B对应复数是对应复数是 -3+2i, 0, 2+-3+2i, 0, 2+i i .1 .1、求点、求点C C对应的复对应的复数数.2.2、求、求OCOC表示的复数表示的复数 3 3、ACAC表示的复数表示的复数解:1、复数-3+2i ,2+i,0对应A(3,2),B(2,1),O(0,0),如图. 点C对应的复数是-1+3i 在平行四边形 AOBC中,xyA 0CB)3,1()1 ,

5、2()2,3(OCOBOAOC几何意义运用2、OC对应复数是对应复数是-1+3i3、AC=OC-OA=2+i小结小结 复数的代数形式加减运算复数的代数形式加减运算 (a+bi) (c+di)=(ac) +(bd)i即即实部与实部相加减，虚部与虚部相实部与实部相加减，虚部与虚部相加减加减 复数的加减法的几何意义复数的加减法的几何意义 就是向量加减法的几何意义就是向量加减法的几何意义 1 .(2+4i)+(3-4i) 2. 5-(3+2i) 3.(-3-4i)+(2+i)-(1-5i) 4.(2-i)-(2+3i)+4i=(2+3)+(4-4)i=5=(5-3)+(0-2)i=2-2i=(-3+2

6、-1)+(-4+1+5)i = -2+2i=(2-2+0)+(-1-3+4)i =05.(3+5i)+(3-4i)6.(-3+2i)-(4-5i)7.(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(3+3)+(5-4)i=6+i=(-3-4)+2-(-5)i= -7+7i=(5-2-3)+(-6-2-3)i= -11i巩固提高巩固提高 两个复数的和（差）依然是一个复数，它的两个复数的和（差）依然是一个复数，它的实部是原来的两个复数实部的和（差），它的虚实部是原来的两个复数实部的和（差），它的虚部是原来的两个复数虚部的和（差），并满足交部是原来的两个复数虚部的和（差），并满足交换律和结合律。换律和

7、结合律。1 1、复数加法：、复数加法：Z Z1 1+Z+Z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di) )2 2、减法：、减法： Z Z1 1-Z-Z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di) )3 3、几何意义：复数的加法可以按照向量、几何意义：复数的加法可以按照向量的加法进行，复数的减法可以按照向量的加法进行，复数的减法可以按照向量的减法进行。的减法进行。1.1.复数的乘法法则：复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcad i（说明说明

8、:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数； (2) (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在，只是在运算过程中把运算过程中把 换成换成1 1，然后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并. .i2(3)(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何即对于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi例例1.1.计算计算(2i i )(32i i)(1+ +3i i) 复

9、数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的. . 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, ,类似地类似地, ,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. . 实数集实数集R R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律, ,在复数集在复数集C C中仍然成立中仍然成立. .即对即对z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C及及m,nm,nN N* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n, , (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z

10、z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .12345678,()i i iiiiiinN例(1)求, , , , , 的值；（2）由（1）推测的值有何规律？并把这个规律用式子表示出来。ni12345678,1,111ii iii iiiiii i ( 1), =, = ；41424344,1,1nnnnii iii i ( 2),练习练习: 1+i1+i2+i3+i 2012的值为的值为( )(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i注意注意 a+bi 与与 a- -bi 两复数的特点两复数的特点.例例3.计算计算(a+bi)(a- -bi)思考：思考：在复数集在复

11、数集C内，你能将内，你能将 分解因式吗？分解因式吗？22yx 22 ()abi（ ）222babia222()() 2a biababi22 22aabib i222ababi例例2 2、定义、定义:实部相等实部相等, ,虚部互为相反数虚部互为相反数的的两个复数叫做互为两个复数叫做互为共轭复数共轭复数. .思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR R ) ), ,那么那么复数复数 z= =a+ +bi 的共轭复数记作的共轭复数记作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不难证明另外不难证明:2a2bizz22ab | |ZZZZ思考思考:？若若z1

12、 , z2是共轭复数，那么是共轭复数，那么在复平面内，它们所对应的在复平面内，它们所对应的点点有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？z1z2是一个怎样的数？是一个怎样的数？解：解：作图作图得出结论得出结论：在复平面内，共轭复在复平面内，共轭复数数z1 ,z2所对应的点关于所对应的点关于实轴实轴对称。对称。令令z1=a+bi,则则z2=a-bi则则z1z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2结论：结论：任意两个互为共轭复任意两个互为共轭复数的乘积是一个数的乘积是一个实数实数。yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,o)z1=aoxyz1=bi(0,b

13、)(0,-b)o 例例4 已知复数已知复数 是是 的共轭复数，求的共轭复数，求x的值的值 222(32)xxxxii204 解：因为解：因为 的共轭复数是的共轭复数是 ， 根据复数相等的定义，可得根据复数相等的定义，可得i204 i204 .2023 , 4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得所以所以 3 x探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，规探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是乘法的逆运算。试探究复数定复数的除法是乘法的逆运算。试探究复数除法的法则。除法的法则。把满足把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0) 的复数的复数 x+yi 叫做复数叫做

14、复数 a+bi 除以复数除以复数c+di的商的商,()()()()cdi xyicxdydxcy icxdyadxcyb2222acbdxcdbcadyicd解得3.3.复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式, ,再把分子与分母都再把分子与分母都乘以分母的共轭复数乘以分母的共轭复数, ,化简后写成代数形式化简后写成代数形式( (分母分母实数化实数化).).即即分母实数化分母实数化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd 复数代数形式的除法实质：复数代数形

15、式的除法实质：分母实数化分母实数化例例5.5.计算计算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式就得结果化简成代数形式就得结果. 然后然后分母实数化分母实数化即可运算即可运算.(一般分子一般分子分母同时乘以分母的共轭复数分母同时乘以分母的共轭复数)解题步骤：解题步骤：1212(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ下列命题中正确的是如果是实数，则、互为共轭复数纯虚数 的共轭复数是。两个纯虚数的差还是纯虚数两个虚数的差还是虚数。(2)(2)1212121

16、212121212( )0,( )0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命题中的真命题为：若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。D D（1 1）已知已知求求iziz41,232111212122,zzzzzzzz练练 习习（2 2）已知）已知 求求iziz2,1214211122, ()zzzzz（3 3）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i（4 4） 设设 ，求证：，求证： （1） ；（；（2） i2321 012 . 13 证明：证明： （1）22)2321()2321(11ii ; 0 4323412

17、321 ii22)23(23212)21(2321iii （2）33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 3.3.互为共轭复数的两个复数之和一定为实数互为共轭复数的两个复数之和一定为实数4.互为共轭复数的两个复数之互为共轭复数的两个复数之差一定为虚数差一定为虚数2.2.实数与实数相加为实数，实数与实数相加为实数， 虚数与虚数相加为虚数虚数与虚数相加为虚数判断正误：错误的请举出反例判断正误：错误的请举出反例1.实数与虚数相加一定为虚数实数与虚数相加一定为虚数正确正确错误错误正确正确错误错误 3 3、复数代数形式的除法实质

18、：分母实数化、复数代数形式的除法实质：分母实数化1 1、复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得、复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把的结果中把i i2 2换成换成1 1，并且把实部和虚部分，并且把实部和虚部分别合并。别合并。2 2、实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立、实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到事实上可以把它推广到nZ.）设设 ,则有则有:i2321 . 01 ; 12_23 事实上事实上, 与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式._ _ .11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii 4、一些常用的计算结果、一些常用的计算结果22320ixxpxqpq例、已知是关于 的方程