中科大电磁学课件--第七章

1、第七章 电磁感应 7.1 电磁感应定律7.2 动生电动势与感生电动势 7.3 互感与自感7.4 涡电流与趋肤效应 7.5 似稳电路和暂态过程 7.1 电磁感应定律n继1820年丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效应后，1831年法拉第电磁感应现象的发现和电磁感应定律的建立，是电磁学发展史上最辉煌的成就之一。n它揭示了变化的磁场和变化的电场之间的本质联系和互相转化的规律，为麦克斯韦普遍电磁理论的建立奠定了基础，为电工和电子技术的发展做出了无可估量的贡献。7.1.1电磁感应的实验现象n如图7.1所示，1831年法拉第发现电键s闭合和断开的瞬间，电流计发生偏转，由此得出结论：变化的磁场可以产生电场。n

2、这个由变化的磁通量产生的电流叫感应电流。图7.1 电磁感应现象演示实验n1832年，法拉第发现：在相同的条件下，不同金属导体中的感应电流的大小与导体的导体能力成正比，感应电流是由与导体性质无关的感应电动势产生的。即由于通过导线回路的磁通量的变化，可以在导体中产生感应电动势。如图7.2示，空心线圈与一个电流计构成一个电路，未接电源，在磁棒插入线圈的过程中，电流计的指针偏移，插入的速度越快，指针偏转越厉害，当磁棒运动停止时，指针回到零点。在磁棒抽出时，指针反向偏转。这说明，磁通量的变化使线圈电路中产生了感应电动势，从而产生感应电流，感应电动势的大小与线圈和磁棒的相对运动速度有关。n如图7.3示，接

3、电流表的导体框CDEF放于均匀磁场中，磁场B垂直于框平面，当EF无摩擦向右滑动时，电流计指针偏转，速度越大偏转越厉害。EF反向运动时，电流计指针反向偏转。n由于EF向右或向左运动，导体框面积随时间变化，因此磁通量也随时间变化，在导体回路中产生了感应电动势，从而产生感应电流，EF速度越快，单位时间内通过导体框的磁通量变化越大。n感应电流的产生是由闭合导体的一段EF切割磁力线所产生的。图7.4 直流发电机的原理图，当导体圆盘绕轴以角速度旋转时，电流计指针发生偏转，越大，偏转越厉害。这证实了导体回路的一部分切割磁力线运动时，将在回路中产生感应电流。7.1.2法拉第电磁感应定律n法拉第通过各种实验发现

4、了电磁感应现象，并总结了电磁感应的共同规律：（1）通过导体回路的磁通量随时间发生变化时，回路中就有感应电动势产生，从而产生感应电流。磁通量的变化可以是磁场变化引起的，也可以是导体在磁场中运动或导体回路中的一部分切割磁力线的运动产生的，（2）感应电动势大小与磁通量变化的快慢有关；（电磁感应现象的实质是磁通量的变化产生感应电动势）（3）感应电动势的方向总是企图由它产生的感应电流建立一个附加的磁通量，以阻止引起感应电动势的磁通量的变化。法拉第电磁感应定律n1845年，诺伊曼等人用数学形式表达法拉第实验定律：n关于法拉第电磁感应定律，强调以下几点：（1）引起导体回路中产生感应电流的原因，是由于电磁感应

5、在回路中建立了感应电动势，比感应电流更本质，即使由于回路中的电阻无限大而电流为零，感应电动势依然存在。（2）回路中产生感应电动势的原因是通过回路平面的磁通量的变化，而不是磁通量本身。（3）法拉第电磁感应中，负号指明感应电动势的方向。dtd楞次定律n大量实验证明，感应电动势的方向总是这样的： 使由它引起的感应电流所产生的磁场通过回路的磁通量阻碍引起感应电流的那个磁通量的变化。n这个规律于1834年由俄国物理学家楞次以比较明确的规律加以总结，称为楞次定律。关于感应电动势的方向问题，有两点讨论：（1）为什么感应电动势的方向必须是楞次定律规定的方向？n这是由能量守恒定律所要求的。（2）在法拉第电磁感应

6、中，感应电动势的正负怎样确定？n讨论感应电动势和磁通量的方向，要选定回路的绕行方向，作为参考方向。根据上述约定，不管绕行方向如何选择，应用法拉第定律得到的感应电动势的方向和数值是唯一确定的，与回路绕行方向的选取无关。图7.5 两个半径为R,r相距为z的同轴平面线圈a、b7.2 动生电动势与感生电动势7.2.1动生电动势7.2.2再论洛伦兹力不做功 7.2.3感生电动势与涡旋电场 7.2.4两种电动势引出的问题7.2.5电子感应加速器 7.2.1动生电动势n动生电动势：由于导体回路或其一部分在磁场中运动，使其回路面积或回路的法线与磁感应强调B的夹角随时间变化，使回路中的磁通量发生变化，从而产生的

7、感应电动势称为动生电动势。n感生电动势：回路不动，磁感应强度随时间变化，从而使通过回路的磁通量发生变化，在回路中建立的感应电动势称为感生电动势。n动生电动势产生的原因，可以用在磁场中运动的电荷受到洛伦兹力来加以解释。n非静电力为：n因此，动生电动势：n只有导体作切割磁力线运动时，才产生感应电动势。图7.6 动生电动势BvefKbaldBvldK)(n在普遍情况下，一个任意形状的导体线圈L（不一定闭合）在任意恒定的磁场中运动或发生形变时，导线上各线元的速度的大小和方向都可能是不同的，这时，在整个线圈L中所产生的动生电动势为：n结论：动生电动势只产生于在磁场中运动的导体上。若导体是闭合导体回路的一

8、部分，则在回路中产生感应电流；若不构成回路，则导体两端有一定的电势差，相当于一个开路电源。LldBv)(7.2.2再论洛伦兹力不做功n在讨论动生电动势时，洛伦兹力移动单位正电荷作功，提供非静电力。这是因为只考虑了电荷随导体运动的速度，而没有考虑电荷受洛伦兹力而在导体内部的运动速度。n把单位正电荷从a移动到b，洛伦兹力所作的功正好等于外力克服阻碍导体棒的继续运动的力所作的功。n洛伦兹力并不提供能量，只是起到能量的转化作用。图7.7 洛伦兹力不作功7.2.3感生电动势与涡旋电场n产生感生电动势的非静电力是涡旋电场力。n涡旋电场：变化的磁场在其周围激发的一种新的电场。n涡旋电场和库仑电场的异同：共同

9、之处：都是客观存在的物质，都能对电荷施加力的作用。不同之处：涡旋电场由变化的磁场激发的，电力线是一些闭合曲线，环路不为零，因此是有旋场。n空间中同时存在库仑电场和涡旋电场时，静电场环路定理：n其微分形式：n变化的磁场在空间激发涡旋电场，而与空间中是否有导体无关。SLSdtBldE0tBEn利用磁矢势和标量势描述电场：n为使矢量势有确定值，在恒定磁场情况下，引入附加条件来限制，即洛伦兹规范：n由法拉第电磁感应定律和场论中的奥高定理：n静磁场和变化的磁场都是无源场。tAE000tA0)(Bt7.2.4 两种电动势引出的问题n从3个惯性系中观察以速度v相对运动着的导体回路和磁棒在导体回路中产生的感应

10、电动势。其中，固定在磁棒上为S系，固定在线圈上的为S系， S系固定在地面上。图7.8 电磁感应的相对性原理nS系中，磁棒静止，线圈以-v的速度向磁棒运动，则动生电动势：nS系中，线圈静止，磁棒以速度v向线圈运动，则感生电动势：nS系中，磁棒和导体都在运动，则导体回路中的电动势是动生电动势和感生电动势的和：n不同的惯性系中所观测到的电场和磁场可以不同，但导体回路中的感应电动势的大小和方向是相同的，这是相对性原理的结果。LldBv)(SLSdtBldE旋LLldEldBv)(电磁感应现象的狭义相对论解释n对同一电磁现象的不同物理解释暴露了经典电磁理论的严重缺陷，包含着一种客观事物并不具有的物理解释

11、。n由此，德国物理学家爱因斯坦建立的狭义相对论的一个基本目标正是用来消除经典电磁理论在解释运动物体的电磁感应现象时出现的不对称性。n狭义相对论认为：电磁场作为一个整体，在不同惯性坐标系中满足同样的规律。7.2.5电子感应加速器n应用涡旋电场加速电子的电子感应加速器，是麦克斯韦关于变化的磁场在其周围激发涡旋电场假设的直接实验验证。n圆形磁铁的两极有一环形真空室，在交变电流的激励下，两极间出现交变磁场，激发出一涡旋电场。n从电子枪射入真空室的电子受到两个力的作用：一是涡旋电场力使电子沿切向加速； 二是径向的洛伦兹力使电子作圆周运动。图7.9 电子感应加速器图7.10 电子感应加速器中磁场变化处于不

12、同相位时涡旋电场的方向n交变磁场随时间的正弦变化导致涡旋电场方向随时间变化。n由于电子带负电，只在第一和第四两个1/4周期内被加速。由于在第四个1/4周期中，洛伦兹力方向由于B向下而向外，不能充当向心力，因此一个周期内只有第一个1/4周期内使电子作加速圆周运动，因此在每个周期的前1/4周期之末把电子束引离轨道进入靶室。n工程上要求加速电子维持在恒定的圆形轨道上运动，即要求电子动量与磁感应强度成正比例增加，实现R不变。n由电子动量的变化规律可得：n以上分析对相对论情况也成立，因此电子感应加速器不存在相对论限制。但由于圆周加速运动的电子会辐射电磁波而损失能量，电子能量越大，加速器尺寸越小，辐射损失

13、就越厉害。n因此要补偿这一辐射损失，才能使电子保持其速率。电子速率越大，需要补充的能量越大。这是对电子感应加速器的一个严重限制。RrSdBRB21BBR217.3 互感与自感7.3.1互感 7.3.2自感 7.3.3两个串联成圈的自感 7.3.1互感n当一个线圈中的电流发生变化时，将在周围空间产生变化的磁场，从而在它附近的另一个线圈中产生感应电动势，这种现象称为互感，这种电动势称为互感电动势。n一个线圈中的互感电动势的大小不仅与另一个线圈中电流改变的快慢有关，而且与两个线圈的结构及相对位置有关。图7.11 两个线圈之间的互感互感系数Mn线圈1产生的磁场穿过线圈2的磁通匝链数为21，若线圈的形状

14、、大小、相对位置保持不变，周围无磁性物质，根据毕奥-萨伐尔定律： 21=M21I1 式中，M21为比例系数，单位亨利(1H=1Wb/A)。 同理有，线圈2产生的磁场穿过线圈1的磁通匝链数为：12=M12I2n可以证明：M12=M21=M，称为互感系数。7.3.2自感n当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发的磁场穿过每匝线圈自身平面的磁通量也随之变化，从而使线圈产生感应电动势，这种因线圈中的电流发生变化而在线圈自身中引起感应电动势的现象称为自感现象，产生的电动势称为自感电动势。n设线圈通电流I，在线圈的形状、大小保持不变，周围没有铁磁物质时，穿过线圈的磁通匝链数与电流成正比：=LI， 式中比例系

15、数L称为自感系数，简称自感，单位亨利。n当电流I随时间变化，在线圈中产生的自感电动势为：dtdILdtd7.3.3两个串联线圈的自感n两个自感分别为L1和L2的线圈，它们的互感为M，由这两个线圈串联等效于一个自感线圈，但新线圈的自感不等于两线圈自感之和，大小与接法有关。两个线圈的串联有顺接和逆接两种方式。图7.12 串联线圈的自感n当两个线圈顺接时，两线圈电流的磁通互相加强，每个线圈的磁通匝链数都等于自感和互感磁通匝链数之和。总感应电动势等于每个线圈的感应电动势之和。两个线圈顺接时，等效于一个自感线圈，其自感系数为： L=L1+L2+2Mn当两个线圈逆接时，两线圈电流的磁通互相削弱，总感应电动

16、势等于两个线圈的感应电动势之和。两个线圈逆接时的等效自感系数为： L=L1+L22M图7.13 无限长的同轴导体面组成的同轴电缆7.4 涡电流与趋肤效应一、涡电流 随时间变化的磁场在其周围空间激发变化的涡旋电场。 当把块状的金属置于随时间变化的磁场时，金属中的载流子将在涡旋电场的作用下运动形成电流，这种电流呈涡旋状，因此称为涡电流。 由于金属电阻小，不大的感应电动势就可产生较强的涡电流，从而在金属内产生大量的焦耳热，这是感应加热的原理，其特点是：在金属内部产生热量，而不是把热量从外部引进去。应用：半导体工艺的外延设备，高频感应炉。 涡旋的机械效应：用于电学测量仪表中的电磁阻尼。二、趋肤效应n对

17、均匀的柱状导体通直流电流时，电流密度在导体的横截面上均匀分布。而通交变电流时，由于交流电产生的交变磁场会在导体内部引起涡流，因此电流密度在导体横截面上的分布不再均匀，越靠近导体表面处，电流密度越大，这种现象称为趋肤效应。n交变电流频率越高，趋肤效应越明显。n在高频电路中，可采用空心导线代替实心导体；此外，为削弱趋肤效应，常采用多股绝缘细导线编织成束的辫线来代替同样截面积的粗导线。图7.14 趋肤效应当导体中通有电流I0，在它周围产生环形磁场B ，当I0变化时，B随之变化，于是在导体中产生涡旋电场从而产生涡旋电流i。在轴线附近， I0和涡流反向，有抵消的趋势；而在导体表面附近，同向，有加强的趋势

18、。所以导体横截面上电流密度的分布将是边缘大于中心，从而产生趋肤效应。7.5 似稳电路和暂态过程7.5.1 似稳条件和似稳电路方程7.5.2 多回路电路的基尔霍夫定律7.5.3 RL电路的暂态过程 7.5.4 RC电路的暂态过程7.5.5 RLC电路的暂态过程7.5.1 似稳条件n在稳恒电流下，电源电动势是恒定的，电流是不随时间变化的，空间电荷的分布也不随时间变化。n因此在直流闭合回路中，有基尔霍夫定律：n对交变电流是否适用呢？0t0SSdj0iI0)()(jjiiiRI似稳电路n在电路不长情况下，可近似认为在每一时刻t，电路中各点的电场分布是同一时刻的场源产生的，即每一时刻电路中的电流和电荷分

19、布与稳恒电流情况完全相同，不同的是交流电路中电流和电荷分布与电源电动势同步地随时间而缓慢地变化，这类电路叫做似稳电路。n似稳电路的条件： 式中，T为交流电动势的周期，l为交流电路的线度，c为电磁波在真空中的速度。clTlcT 似稳电路方程n欧姆定律的普遍形式n或写成)K(旋势EEjK旋势EjE0ldE势ildE旋电感区势电容区势电阻区势电源区势势l dEl dEl dEl dEldE7.5.2 多回路电路的基尔霍夫定律n基尔霍夫第一定律：n基尔霍夫第二定律：)()(titi出入 )()(1)()(/dtdiMdtdiLdttiCtite7.5.3 RL电路的暂态过程n如图7.15，当电键合到a

20、点时，电路中的电流从零开始增长，所以在线圈中将产生感应电动势，从而产生感应电流，这个感应电流阻碍原电流的增长，所以回路中的电流不能立即达到稳定值。即当直流电动势接入电路后，电流值从零增长到稳定值需要一个暂短的过程，叫做暂态过程。n同样，当把电源电动势突然从电路中撤去，电路中的电流开始下降，此时线圈中也将产生感应电动势，阻碍原电流的下降，因此回路中的电流不能立即降为零，这个过程也叫暂态过程。图7.15 RL电路暂态过程n讨论直流电动势突然引入回路时： 如果电路中没有线圈，当K合上时，回路中电流几乎立即达到稳定值I0=/R。n当回路中有线圈存在，当K合上时，回路中的电流从无到有随时间变化，于是在线

21、圈中产生自感电动势，这个感应电动势和原电动势串联在电路中，计算可得在开关接通后回路中电流I的变化规律为： 式中，I0=/R， =L/R)1 (0teII图7.16 RL电路中电流增长与衰减随时间变化的曲线n在RL电路的暂态过程中，电流I以指数方式随时间t增长，最后达到稳定值。n理论上，要达到稳定值I0须经过无限长的时间，但实际上，只需要经过时间，电流已达到稳定值的63%。n因此是反映电流达到稳定值63%所须的时间，称为回路的时间常数。n一旦电路中的参量L和R确定，则也就确定了，因此它是反映电路本身性质的特征量。一般只有ms或ms量级，因此暂态过程极短。n当电流达到稳定值后，电源突然从回路中撤去

22、，电流从I0急剧下降，因此在线圈中产生感应电动势，企图阻碍电流的减小。当电源电动势突然撤去时回路中电流的变化规律为： 它以指数的形式随时间下降，当t=时，电流下降到I0的37%。 teII07.5.4 RC电路的暂态过程nRC电路的暂态过程就是电容器通过电阻充电或放电过程。n讨论电源电动势突然接入电路时，把电键K突然合到a点，电容器将被充电，随着电量q的逐渐增加，电容器两极板的电压也随之增加，电路进行充电。当电路充电完成后，把电键K从a点突然合到b点，电容器将放电，电路中两极板上的电荷由q0减至零。图7.17 RC电路暂态过程n利用初始条件求解微分方程得：式中，q0=C， =RC，称为RC电路

23、的时间常数。由此，可得充电与放电过程中电容器两端电压为：放电充电,),1 ()1 (00tRCttRCteqeCeqeCq放电充电,),1 ()()(RCtRCtCeeCtqtU图7.18 RC电路在电源电动势接入或撤去时，电容器带电量q随时间的变化规律7.5.5 RLC电路的暂态过程n如图7.19，当RLC电路中突然接入或撤去电源时，讨论电容器两极板上的电荷量的变化规律。类似于RC和RL电路的讨论，电容器上电荷满足的微分方程为：放电充电,2222CqdtdqRdtqdLCqdtdqRdtqdL图7.19 RLC电路暂态过程讨论充电过程：n令 则充电过程微分方程化为： 上式为一阻尼振荡方程，为阻尼系数，0为电路的固有频率，利用初始条件求解。n方程最终的解取决于和0的相对大小，分3种情况给出结果。CqLCLR00,1,202020222qqdtdqdtqd0, 000ttdtdqq（1）欠阻尼n当 时，称为欠阻尼，其解为：n式中， ，上式称为阻尼振荡解。0202)sin(cos00tteqqqt20