不同域上的不可约多项式

1、论文题目不同域上的不可约多项式学 生 承 诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：年 月 日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 年 月 日目 录1、前言12、因式分解定理及唯一性定理13、复系数多项式

2、14、实系数多项式25、有理系数多项式25.1 艾森斯坦（Eisenstein）判别法25.2艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式35.3艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理45.4多项式的复根与其不可约性65.5次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性76、有限域上的不可约多项式86.1判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法96.2 阶有限域上的不可约多项式10致谢11参考文献122011届数学系学士学位论文不同域上的不可约多项式摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不

3、可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。关键字：复数域 实数域 有理数域 有限域 不可约多项式中图分类号：O151Irreducible polynomials in the different fields Abstract: It is difficult to judge a polynomial irreducible. In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite

4、 field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.Key Words: Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials不同域上的不可约多项式1、前言一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出

5、一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。2、因式分解定理及唯一性定理定理 数域上每个次数的多项式都可以唯一地分解成域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式那么必有，并且适当排列因式的次序后有，其中是一些非零常数. 因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍

6、可行的分解多项式的方法是不存在的。接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的多项式的是否可约。3、复系数多项式 定理（代数基本定理） 每个次数的复系数多项式在复数域中至少有一根。 定理（复系数多项式因式分解定理）每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. 由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。4、实系数多项式定理（实系数多项式因式分解定理） 每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式（判别式小于0）。5、有理系数多项式每个次数的有理系数多项式都能唯一

7、的分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。5.1 艾森斯坦（Eisenstein）判别法定理（Eisenstein判别法） 设是一个整系数多项式，如果存在素数使得；那么在上不可约证明：若在有理数域上可约，则在上可约，即存在整系数多项式使得 其中 因为所以与不能同时被整除不妨设因为，所以.设考察等式由于，所以，这与矛盾，故在中不可约，因而在中不可约（证毕）对任意正整数都是上不可约多项式，从而（及）中存在任意次数的不可约多项式.

8、52艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式一般地对，常作变换,则,很显然与在上具有相同的可约性.有时候对于某个多项式不能直接应用Eisenstein判别法，可以把它进行如上适当变形后，再应用这个判别法。例如：设是一个素数，多项式叫做一个分圆多项式，证明在中不可约。证明：因为，所以不存在这样的素数满足Eisenstein判别法的条件，但是如果我们令，则由于 令，于是由Eisenstein判别法，在有理数域上不可约，所以也在有理数域上不可约。53艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理定理 假如是整系数多项式，如果存在一个素数，使得；，则在上不可约。定理 设为次数大于3的整系数多

9、项式，且无有理根存在，如有整数使得1）；2）；3）则在整数环上一定不可约证明：这里仅考虑为本原多项式的情形反设在整数环上可约，其分解式为：其中 均为本原多项式，且，从而，由已知，而，所以不妨设：，而，又因为，所以不能同时整除及，不妨设中第一个不能被整除的数是，即，而其中下面分两种情况讨论：1） 当时可证从而可得有有理根，此题与题设矛盾，同理可证2） 当时考虑中的系数： 由设，所以，而，所以，这是一个矛盾！另当时，同理可证矛盾！所以在整数环上不可约，证毕。5.4多项式的复根与其不可约性由代数基本定理，中次多项式在复数域中有个根，通过系数多项式在复数域上的分解的信息也能帮助判断其在整数多项式上的不

10、可约性。定理 设满足 （1）则在上不可约(从而在上不可约)证明：的复根的模均大于1。实际上，设有根满足，则，与（1）矛盾。现在假设在上可约，即存在整系数多项式 使得，则另一方面，记的复根为它们都是的根，故。结合韦达定理得出，即。同理，于是 与（1）矛盾，故在上不可约。令，则在上可约显然等价于在上可约。因此定理8中与是对称的。定理8表明，只要多项式的首项系数与常数项的绝对值足够大时，它在上就不可约。5.5、次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性定理 设为整系数多项式,若有个两两不同的整数根,则在有理数域上不可约。证明: (反证法) 设的个两两不同的整数根为则有，假设在有理数域上不是不可约

11、多项式,因为所以在有理数域上可约,也即是在整数环上可约,所以存在整系数多项和，使得 其中 ，。所以 ，所以由 ,得 ，因此 所以 即有 所以首项系数为负数与1矛盾，所以在有理数域上不可约。6、有限域上的不可约多项式对于一般数域上的多项式，普遍可行的分解方法是不存在的。但是对于有限域，普遍可行的方法确实存在的，但是这也只适合低次多项式。定理 设是一个有限域，则存在唯一的,使，其中或像在数域上一样，该定理给出了在有限域上判断整除性的方法。例：，问是否有？解：作带余除法 所以6.1判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法设是一个有限域， 若在上可约，则存在，且，使得，由+知，有或者，即必有

12、次数大于0而不超过的因式。而是有限域，只有有限个元素，从而上次数大于0而不超过的多项式只有有限个。因而只需找出上次数大于0而不超过的首项系数为1的多项式，用它们逐个试除，若某个，则可约。否则不可约，若可约，对所做的分解式重复以上做法，最终可得在上的因式分解。例：在上，证明多项式均为不可约多项式。证明：1）为2次多项式，且在上无根，从而没有一次因式，故在上不可约 2），上次数大于0而不超过2的首项系数为1的全部多项式为，且任一均不能整除，故在上也不可约。但是当多项式的次数很高时，用带余除法判断就不实用，接下来我们将讨论几个定理来说明有限域上不可约多项式的状况。6.2 阶有限域上的不可约多项式定理

13、 设为阶有限域上的一个次不可约多项式，则必为上多项式的一个因式。证明：因为是阶有限域上的一个次不可约多项式，则为多项式环的一个极大理想，从而以为模的剩余类域是一个阶为的有限域，而其全体单位（即可逆元）共有个，它作为一个阶为的循环群，此即阶有限域的单位群，因此，作为此单位群（即阶循环群）中的元素，必有或，这就是说，对模来说，多项式与0同余，即整除多项式，亦即是多项式的一个因式。致 谢时间过得真快，在、的四年学习时间即将过去。虽然这四年时间不算长，但是在这四年我成长了很多，不管是自己的综合素质还是能力都有很大的进步，这是承受师恩、增长才干、提高学识的四年。很感激那些曾经帮助过我的老师和同学们，因为

14、有他们的帮助才让我少走了很多弯路，才让我一人在外求学的道路走得不那么艰辛。在此，我要特别感谢老师在我大学最后的学习阶段毕业设计阶段给自己的指导，为了指导我们小组的毕业论文，他常常放弃自己的休息时间，他这种无私奉献的敬业精神令人敬佩，在整个过程中也始终感受着导师的精心指导与无私的关怀。他扎实的学术功底，对论文的钻研精神，对待学术的严格要求让我们小组的每个人都受益匪浅，在此向余老师表示深深的感谢和崇高的敬意。 参考文献1王咢芳,石生明.高等代数.第三版.北京：高等教育出版社,2003:18-292罗永超.推广Eisenstein判别法判定整系数多项式有理根的存在性J.大学数学.2007(5):63-693王立志.整系数多项式在整数环上不可约性的探讨.工科数学.1994(3):60-624钱展望，朱伟华.湖北：奥林匹克数学高三分册,2002：85-985席小忠.整系数多项式有理根的特征J.宜春学院学报.2006(2):37-386张小红,任耀文.整系数多项式不可约性的新判别法.咸阳师专学报J.2001(2): 12-147罗永超.整系数多项式无有理根的一个