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1、学习必备精品知识点专题 -平面向量1.向向量的相关概念、 、C. e1 (3,5), e2 (6,10)D.1213(答: B);e(2, 3),e( ,)24(3)已知 AD, BE 分别是ABC 的边 BC, AC 上的中线 ,且 ADa, BEb ,则 BC 可用向量 a, b 表示为 _(答: 2a4b );33(4)已知 ABC中,点 D在 BC边上,且 CD2DB , CDr AB s AC , 则 r s 的 值 是(答: 0)四 实 数 与 向 量 的 积 :实 数 与 向 量 a 的 积是 一 个 向 量, 记 作a , 它 的 长 度 和方 向 规 定 如 下:1 aa ,
2、 2 当>0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当<0 时,a 的方向与 a 的方向相反,当2.向量的线性运算二向量的表示方法:1几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB ,注意起点在前,终点在后;2符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等;3坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i , j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y jx, y,称 x, y 为向量 a 的坐标, a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。如果 向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理:如
3、果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2 ,使 a= 1 e12 e2。 如( 1)若 a (1,1),b(1, 1),c ( 1,2) ,则 c_(答: 1a3b );22( 2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是A. e1 (0,0), e2(1, 2)B. e1 ( 1,2), e2 (5,7) 0 时, a0 ,注意: a 0。五平面向量的数量积:1两个向量的夹角 :对于非零向量a , b ,作 OAa,OB b ,AOB0称为向量 a , b 的夹角,当0时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当时, a
4、,2b 垂直。2:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为,我们把数量 | a | b |cos叫做a与b的平面向量的数量积数量积(或内积或点积) ,记作: ab ,即 ab a b cos。规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如(1)ABC 中, | AB | 3,| AC | 4,| BC |5,则 AB BC_ (答: 9);( 2)已知 a1(0,1kb, dab , c 与 d 的夹角为,则 k 等于 _(答: 1);(1, ), b),c a224( 3)已知 a2, b5, a b3 ,则 ab 等于 _(答: 23 );( 4)已知 a, b
5、是两个非零向量,且abab ,则 a与 ab 的夹角为 _(答: 30 )3 b 在 a 上的投影 为 | b | cos,它是一个实数,但不一定大于0。 如已知 | a | 3 , | b | 5 ,且 ab12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为 _(答: 12 )54 a b 的几何意义 :数量积 ab 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。5向量数量积的性质:设两个非零向量a , b ,其夹角为,则: aba b0 ;学习必备当 a ,b 同向时, a b a b ,特别地, a2aa2, aa2a;当 a 与 b 反向时, a b a b ;当 为锐角时, ab
6、 0,且 a、b 不同向, a b0是为锐角的必要非充分条件;当 为钝角时, a b 0,且 a、b 不反向, a b0 是 为钝角的必要非充分条件;非零向量 a , b 夹角 的计算公式: cosab; | ab | | a | b | 。如a b(1)已知 a ( ,2) , b(3 ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则的取值范围是 _(答:4 或0 且1 );33(2)已知OFQ 的面积为 S ,且 OF FQ1,若 1S3 ,则OF,FQ夹角的取值范围是 _22(答:( ,) );43六向量的运算:1 几何运算 :向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用
7、于不共线的向量,如此之外,向量 加 法 还 可 利 用 “ 三 角 形 法 则 ”: 设 ABa, BCb , 那 么 向 量 AC 叫 做 a 与 b 的 和 , 即abABBCAC ;向量的减法:用“三角形法则”:设 ABa, ACb, 那么 abABACCA ,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如(1)化简:ABBCCD_; ABADDC_ ; ( ABCD )( ACBD)_(答: AD ; CB ; 0 );(2)若正方形 ABCD 的边长为1, AB a, BCb, AC c ,则 | abc | _(答:2 2);( 3 )若 O 是 ABC
8、 所在平面内一点,且满足OB OCOBOC2OA ,则ABC 的形状为 _(答:直角三角形) ;(4)若 D 为 ABC 的边 BC 的中点,ABC 所在平面内有一点P ,满足 PA BP CP0,设 |AP|,|PD|则 的值为 _(答: 2);(5)若点 O 是 ABC 的外心,且 OAOB CO0 ,则 ABC 的内角 C 为 _(答: 120);2 坐标运算 :设 a (x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ,则:向量的加减法运算 : a b( x1 x2 , y1 y2 ) 。 如精品知识点已知作用在点A(1,1)的三个力 F1(3,4), F2(2,5), F3(3,1),则
9、合力 FF1F2F3的终点坐标是(答:( 9,1) 实数与向量的积 : ax1, y1x1,y1。若 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则 ABx2x1, y2y1,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 A(2,3), B(1,5) ,且 AC1AB, AD3AB ,则 C、D 的坐标分别是 _(答: (1,11),(7,9) );33 平面向量数量积 : abx1 x2y1 y2 。 向量的模 : | a |x2y22| a |2x2y2 。 如, a已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为60,那么 | a3b | _(答:13 ); 两点
10、间的距离 :若 A x1 , y1, B x2 , y2 ,则 | AB |x22y12x1y2。七向量的运算律:1交换律: abba ,aa , a b ba ;2结合律: abcabc, abcabc,ababab;3分配律:aaa,abab , abc acb c 。如下列命题中:a(bc )aba c ; a (bc )( a b)c ; ( ab) 2| a |2222abb2 | a | | b | b | ; 若 ab0 ,则 a0或 b0 ;若 a bc b, 则 ac ; aa;2;aa (a b)2 a22b)222ab2。其中正确的是 _(答:)b ; (aab提醒:(
11、1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量, 切记两向量不能相除 ( 相约 ) ;(2)向量的“乘法”不满足结合律,即 a(bc) (a b)c ,为什么?八向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 : a / b ab( a b) 2(| a | b |)2x1 y2y1 x2 0。 如(1) 若向量 a( x,1),b(4, x) ,当 x _时 a 与 b 共线且方向相同(答: 2);( 2)已知 a(1,1),b(4, x) , u a 2b , v2
12、ab ,且 u / v ,则 x_(答: 4);学习必备精品知识点( 3)设 PA(k ,12), PB(4,5), PC(10,k) ,则 k_时, A,B,C 共线(答: 2 或 11)九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 :aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 . 特 别 地A BA CA BA C()(。如A B)A BA CA C(1) 已知 OA ( 1,2), OB (3, m) ,若 OAOB ,则 m(答:3 );B 902( 2)以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,则点 B 的坐标是 _(答: (1,3)或( 3, 1
13、);( 3)已知 n ( a, b), 向量 n m ,且 nm ,则 m 的坐标是 _(答: (b,a)或(b,a) )十线段的定比分点:1定比分点的概念 :设点 P 是直线 P1P 2上异于 P、 P2的任意一点,若存在一个实数,使 1PP2 ,1PP则叫做点 P 分有向线段 PP12所成的比, P 点叫做有向线段PP12 的以定比为的定比分点;2的符号与分点P 的位置之间的关系:当 P 点在线段 P1P2上时>0;当 P 点在线段P1P 2 的延长线上时< 1;当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时10 ;若点 P 分有向线段 PP12所成的比为,则点 P 分有向线段
14、 P2 P1所成的比为 1 。如若点 P 分 AB 所成的比为3 ,则 A 分 BP 所成的比为 _4(答:7 )3x1x2x3线段的定比分点公式 :设 P (x ,y ) 、P ( x, y ) ,分有向线段PP12所成的比为,则1,1 1 1222P( x, y)y1y2y1xx1x2= xx1= yy12。在使用定比分点的坐标公式时,应明确( x, y) ,线段 P1P 2 的中点公式yy2x2xy2yy12( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比。如(
15、1)若 M ( -3, -2),N ( 6, -1),且 MP1 MN,则点 P 的坐标为 _3(答: (76, ));3( 2)已知 A(a,0), B(3,21ax与线段 AB交于 M ,且 AM 2MB ,则 a 等于 _a) ,直线 y2(答:或)十一平移公式 :如果点 P(x, y) 按向量 ah, k 平移至 P( x , y ) ,则 a = pp' , xxh ;曲线 f ( x, y) 0yyk按向量 ah, k 平移得曲线 f ( x h, yk)0 .注意 :( 1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?( 2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如( 1)按
16、向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ,则按向量 a 把点 ( 7,2) 平移到点 _(答:(,);(2)函数y sin 2x 的图象按向量a 平移后,所得函数的解析式是y cos2 x 1 ,则 a _(答: (,1) )412、向量中一些常用的结论:( 1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;( 2) |a |b | | ab | | a | b |,特别地,当a、b 同向或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | ; 当 a、b 反 向 或 有 0| ab | | a |b | | |a |b| a|b ;| 当 a、b 不 共
17、线|a |b| | a|b| a| b(|这些和实数比较类似).在 ABC 中,若 A x1 , y1 , B x2 , y2 , Cx3 , y3,则其重心的坐标为 Gx1x2x3 , y1y2y3。如33若 ABC的三边的中点分别为 ( 2,1)、( -3 ,4)、( -1 ,-1 ),则 ABC的重心的坐标为24_(答: (, ));33 PG 1(PAPB PC)G 为 ABC 的重心,特别地 PAPBPC0P 为ABC 的重心;3PA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心;向量 (ABAC)(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在直线) ;|AB|AC|
18、( 4)向量 PA、PB、PC 中三终点A、B、C 共线存在实数、使得 PAPBPC 且1 .如平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3,1) , B( 1,3) , 若点 C 满足 OC1 OA2 OB , 其中学习必备精品知识点1,2R且12 1, 则点 C 的轨迹是 _例二: 设两个非零向量e1 与 e2,不共线,(答:直线 AB)( 1)如果 ABe1e2 , BC3e12e2 ,CD8e12e2 ,求证: A, C, D三点共线;12、向量与三角形外心 .( 2)如果 ABe1e2 , BC2e13e2 ,CD2e1k e2 , 且A,C, D三点共线,求实数 k 的值。三角
19、形外接圆的圆心, 简称外心 . 是三角形三边中垂线的交点. (下左图)重心三角形三条中线的交点, 叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍. (上右图)三、垂心三角形三条高的交点, 称为三角形的垂心. (下左图)变式一: 设 e1 与 e2两个不共线向量,AB121212若三点 A,B,D 共线,求2eke ,CBe3e , CD2ee ,实数 k 的值。变式二: 已知向量 a, b ,且 ABa2b, BC5a2b, CD7a2b, 则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D题型二:线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一:
20、 设 P 是三角形ABC所在平面内的一点,2BPBCBA, 则()A.0 PA PBB.0PCPAC.0PBPCD. 0PC PA PB四、内心变式一: 已知 O 是三角形 ABC所在平面内一点,D 为 BC边的中点,且0 2OAOB OC , 那么() A.三角形内切圆的圆心 ,简称为内心 . 是三角形三内角平分线的交点 .A0 OD B.A0 2ODC.A03ODD.2A0OD三角形内角平分线性质定理: 三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例. (上右图)题型一:共线定理应用变式二: 在平行四边形 ABCD中 ABa , ADb , AN3NC ,M 为 BC的中点,
21、则 MN( 用 a, b 表示 )例一: 平面向量 a, b 共线的充要条件是() A. a, b 方向相 同 B.a, b 两向量中至少有一个为零向量C.存在R, baD 存在不全为零的实数1 , 2 , 1 a2 b0例二: 在三角形 ABC中, ABc , AC b , 若点 D 满足 BD2DC,则AD ()变式一: 对于非零向量a, b ,“ a b0 ”是“ a/ b ”的()A. 2 b1 c , B.5 c2 b,C.2 b1 c,D.1 b2 c,33333333A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式二: 设 a, b 是两个非
22、零向量()变式一:( 高考题 )在三角形 ABC中,点 D 在边 AB上,CD平分角 ACB,CBa ,CA b, a1, b 2 , 则 CD( )A. 若 a ba _ b 则 a bB.若 ab ,则 a b a _ bA. 1 a2 b, B.2 a1 b, C.3 a4 b , D.4 a3 b,33335555C. 若 a ba _ b ,则存在实数,使得 baD 若存在实数,使得 ba ,则 a ba _ b学习必备精品知识点变式二: 设 D,E,F分别是三角形ABC 的边 BC,CA,AB 上的点,且 DC2BD , CE 2EA, AF 2FB, 则AD BE, CF与BC(
23、 )A. 反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D. 既不平行也不垂直变式三:在平行四边形ABCD中,E 和 F 分别是边CD和 BC的中点,若 ACAEAF , 其,R, 则=变式四:在平行四边形ABCD中,AC与 BD交于点 O,E 是线段 OD的中点,AE的延长线与CD交于点 F,若 AC a,BD b, 则 AF ()A.1 a1 b, B.2a1 b, C.1 a1 b , D.1 a2 b,42332433题型三:三点共线定理及其应用例一: 点 P 在 AB 上,求证: OPOAOB 且=1(,R,)变式:在三角形 ABC中,点 O是 BC的中点,过点 O的直线分别交直线AB、AC
24、于不同的两点M和 N, 若 ABmAM ,ACnAN , 则 m+n=例二: 在平行四边形ABCD中, E,F 分别是 BC,CD的中点, DE与 AF交于点 H, 设 AB a, BCb, 则 AHA. 2 a4 b, B.2 a4 b, C.2 a4 b, D.2 a4 b,55555555变式:在三角形 ABC中,点 M是 BC的中点,点 N 是边 AC上一点且 AN=2NC,AM与 BN相交于点 P, 若 APPM ,求 的值。题型四:向量与三角形四心一、内心例一: O是ABC所在平面内一定点,动点P满足 OPOA(ABAC ), 【0,)ABAC,则点 P 的轨迹一定通过ABC的()
25、A.外心B. 内心C. 重心D.垂心变式一: 已知非零向量AB与 AC 满足 ( ABAC )BC0,且 ABAC1,则ABC为ABACABAC2()A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形变式二:ABPCBCPACAPB0P 为ABC的内心二、重心例一: O是ABC内一点, OCOAOB0 ,则为ABC的() A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心变式一: 在ABC中, G为平面上任意一点,证明:GO1 (GA GB GC )O为ABC的重心3变式二: 在ABC中, G为平面上任意一点,证明:GO1 ( AB AC )O为ABC的重心3三垂心:例一
26、: 求证:在ABC中, OAOBOBOCOCOAO 为ABC的垂心变式一:O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABAC),R, 则点 P 的轨迹一定通过ABC的()AB COSBAC COSCA. 外心B. 内心C.重心D. 垂心四外心例一: 若 O是ABC的外心, H是ABC的垂心,则 OHOA OC OB变式一: 已知点O, N,P 在ABC 所在平面内,且 OAOBOC,0 NANBNC ,PAPBPBPCPCPA ,则 O, N, P 依次是ABC的()A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心 、内心C. 外心 、重心、垂心D. 外心 、重心、内心学习
27、必备精品知识点题型五:向量的坐标运算例一: 已知 A(-2,4),B(3, -1) ,C(-3 , -4) ,且 CM3CA , CN2CB , 试求点 M,N和 MN 的坐标。变式一: 已知平面向量 a(3,1), b( 1,3 ),向量 xa ( t3)b, yk at b, 其22中 t和 k 为不同时为零的实数, ( 1)若 xy ,求此时 k 和 t 满足的函数关系式k=f(t);(2)若 x / y ,求此时 k 和 t 满足的函数关系式 k=g(t).变式二:平面内给定3 个向量 a( 3,2), b(1,2), c( 4,1) ,回答下列问题。( 1)求 3ab2 c ;( 2
28、) 求 满 足 am bn c 的 实 数m,n;(3)若 ( ak c) /( 2b a) , 求 实 数k ;( 4) 设d( x, y) 满足 ( dc) / / a(b) 且 dc1 ,求 d 。题型六:向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示例一: 已知两个向量a(1.2), b( 3,2) , 当实数 k 取何值时,向量ka2b 与 2a4b 平行?变式一: 设向量 a,b 满足 |a|= 25 ,b=( 2,1 ),且 a 与 b 反向,则 a 坐标为 _例二: 已知向量OA (k,12), OB (4,5), OC ( k,10) 且 A,B,C 三点共线,则k=()A: 3B
29、:2C:2D:32332变式一: 已知 a( 3 sin), b(cos, 1), 且 a/b ,则锐角 为 _23变式二: ABC的三内角 A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量 p (a c, b), q(b a,c a), 若 p / q ,则 C 的大小为()A:B:C:2D:6323题型七:平面向量的数量积例一:( 1)在 Rt ABC中, C=90°, AC=4,则 AB AC() A: -16B:-8C:8D:16(2) ( 高 ) 已知正方形 ABCD的边长为1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE CB 的值为 _; DE CB 的最大值为 _( 3)在 A
30、BC中, M是 BC中点, AM=1,点 P在 AM上满足 AP2PM ,则 PA (PB PC) 等于()A:4444B:C:D:9933变式一: ( 高)如图所示,平行四边形ABCD中, AP BD,垂足为 P,且 AP=3,则 AP AC =_变式二: 在 ABC中, AB=1, BC= 2 , AC= 3 ,若 O为 ABC的重心,则AO AC 的值为 _例二: ( 高 ) 在矩形 ABCD中,AB=2 ,BC=2, 点 E 为 BC的中点, 点 F 在边 CD上,若 AB AF2 , 则 AE BF的值是变式一: ( 高) 在 ABC中,A 900, AB1,AC=2. 设点 P,Q
31、 满足 APAB, AQ (1 ) AC,R , 若BQ CP2,则 =(1B:2C:4D:2) A:333例三: 已知向量 a, b, c 满足 abc0, a1, b2, c2, 则 a bb cc a变式一: 在 ABC中,若AB3, BC4, AC6, 则 ABBCBC CACAAB变式二: 已知向量 a, b,c 满足 abc0,且 ab, a1, b2, 则 c变式三: 已知向量 a, b,c 满足 a b c0,且(a b)c, a b, 若 a2221, 则 abc题型八:平面向量的夹角例一: 已知向量 a(1,3), b( 2,0), 则 a与 b 的夹角是例二: 已知 a,
32、 b 是非零向量且满足 (a2b)a, (b2a)b, 则 a与 b 的夹角是变式一: 已知向量 a, b,c 满足 a1, b2,cab, ac, 则 a与b 的夹角是学习必备精品知识点变式二: 已知 a, b 是非零向量且满足abab , 则 a与ab 的夹角是变式三: 若向量 a与b 不共线, a b0,且 c a ( aa)b, 则 a与 c 的夹角是ab变式四:( 高 )若向量与满足1,1, 且以向量与为邻边的平行四边形的面积为. ,则与的夹角的取值范围是例二:已知 a2 , b1, a与b 的夹角为 45 0 ,求使向量 ab 与ab 的夹角为锐角的的取值范围。变式一: 设两个向量
33、 e1 ,e2 ,满足 e12, e2 1, e1与e2 的夹角为,若向量 2te17e2 与 e1t e2 的夹角3为钝角,求实数t 的范围。变式二: 已知 a与b 均为单位向量,其夹角为,有下列 4 个命题:p1 : a b 10, 2 );p2 : a b 1( 2, ;p3 : a b 10, );333p4 : a b 1( , ; 其中的真命题是() A. p1 , p4B.p1, p3 C. p2 , p3 D.p2 , p43题型九:平面向量的模长例一: 已知 ab5 ,向量 a与b 的夹角为,求 ab , ab 。3变式一: 已知向量 a与b 满足 a1, b2, ab 2,则 ab =变式二: 已知向量 a与b 满足 a1, b2, a与 b 的夹角为,则 a b =3变式三: 在 ABC中,已知 AB3, BC4,ABC600 ,求 AC .例
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