江苏省南通大市高三数学二模试卷

1、南通市2015届高三第二次调研测试数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间 为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 .答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。3 .作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。nn样本数据X1 , X2,，Xn的方差s2 - （Xi x）2 ,其中x - Xi .n i 1n i 1锥体的体积V 、

2、Sh,其中S为锥体的底面积，h为高.3一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1 .命题“ x R , 2x 0”的否定是“I 1While I < 7S 2 I + 1I - I + 2 End While Print S（第4题）2 .设a bi （i为虚数单位，a, b R）,则ab的值为1 i3 .设集合 A 1, 0,2,3 , B x| x2>1 ，则 AIB 4 .执行如图所示的伪代码，则输出的结果为一4一.5 . 一种水稻试验品种连续 5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2） 如下：9.8, 9.9, 10.1, 10

3、, 10.2,则该组数据的方差为.6 .若函数f（x） 2sin x才（0）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2,则实数 的值3为 .7 .在平面直角坐标系xOy中，若曲线y ln x在x e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax y 3 0垂直，则实数a的值为数学I试卷第2页（共24页）8 .如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB 3 cm, AD 2 cm, AAi 1 cm,则三棱锥 Bi ABDi9.i0.的体积为 cm3 已知等差数列an的首项为4,公差为若 Sk ak 5 44( k32设 f(x) 4x mx(m3)xii.在平行四边形ABCD中,uurACuur

4、AD12 .如图，在 ABC中，AB3,ACtan CAD的值为 13 .设x, y, z均为大于i的实数，且则生”的最小值为一44lg x lg yN ）,则k的值为R）是R上的单调增函数，则 m的值为 uuirACuurBD 3 ,则线段AC的长为-4BC 4,点D在边BC上，BAD45° ,则（第i2题）z为x和y的等比中项,i4.在平面直角坐标系xOy中，圆Ci：(x i)2 (y 6)2 25,圆 C2： (x i7)2 (y 30)2若圆C2上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆 Ci依次交于点A, B ,满足PA 2AB,则半径r的取值范围是 .、解答题：本大题共6小

5、题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.15 .本本小题满分i4分）如图，在四面体 ABCD中，平面BAD平面CAD, BAD 90 . M , N , Q分别为棱AD ,A(第i5题)BBD, AC的中点.（i）求证：CD/平面MNQ ;（2）求证：平面 MNQ 平面CAD .16 .本本小题满分14分)体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格.某班50名学生参加测试的结果如下:等级优良中不及格人数519233(1)从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；(2)测试成绩为“优”的 3名男生记为为，a2, a3,

6、2名女生记为加，b2.现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛. 写出所有等可能的基本事件； 求参赛学生中恰有1名女生的概率. 7.本本小题满分14分)在平面直角坐标系 xOy中，已知向量a (1,0), b (0, 2).设向量x a (1 cos ) b,y ka Lb,其中0 仁 sin(1)若k 4 ,6，求x y的值；(2)若xy,求实数k的最大值，并求取最大值时的值.18.本本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系2xOy中，椭圆十 a2 y b2b 0 )的左顶点为A ,右焦点为数学I试卷 第4页(共24页)F(c, 0).P( % , y°)为椭圆上一点，且 PA

7、PF .(1)若 a 3 , b 45 ,求 Xo 的值；(2)若Xo 0 ,求椭圆的离心率；(3)求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的 右准线x ac-相切.19 .本本小题满分16分)设 a R ,函数 f (x) x x a a .(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)若对任意的x 2,3, f(x)>0恒成立，求a的取值范围;(3)当a 4时，求函数y f f(x) a零点的个数.20 .本本小题满分16分)设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q(q 1)的等比数列.记 弟an bn，(1)求证：数列 Cn 1 Cn d为等比数列；(2)已知数列 Cn的前4项分另I为

8、4, 10, 19, 34.求数列an和bn的通项公式； 是否存在元素均为正整数的集合AAi,n2,，nk(k>4,k N ),使得数列。，Cn2 ,，Cnk为等差数列？证明你的结论.南通市2015届高三第二次调研测试数学n （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共2页，均为非选择题（第 2123题）。本卷满分为40分，考试时间为30分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 .答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用 2B铅笔正确填涂考试号。3 .作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡

9、上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。21 .【选做题】本题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB求证：AP BC AC CP .B.选彳4-2:矩阵与变换（本小题满分10分）、一 2a 2设 是矩阵M的一个特征向量，求实数33 2C.选彳4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）2在极坐标系中，设直线；与曲线10 cos 4 0相交于A,

10、B两点，求线段 AB中点3的极坐标.D.选彳4-5:不等式选讲(本小题满分10分)设实数 a , b , c 满足 a 2b 3c 4,求证：a2 b2 c2>1 .【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.22 .本本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A(8,4), P(2,t)(t 0)在抛物线y2 2Px (p 0)上.(1)求p , t的值；y a(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线 AM与抛物线的另一交点为 B,点C在直线AM上.若PA, PB, PC -O 岛弋X的斜率

11、分别为K , k2, k3 ,且K k2 2k3,求点C的坐标.P(第22题)23 .本本小题满分10分)设A, B均为非空集合，且 AI B , AUB 1,2,3,，n ( n> 3, n N ).记A,B中元素的个数分别为 a, b,所有满足“a B,且b A”的集合对(A, B)的个数为an.(1)求a3, a4的值；(2)求 .数学I试卷第7页(共24页)南通市2015届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1 .命题“ x R , 2x 0”的否定是“【答案】x R , 2x<

12、02,设容 a bi （i为虚数单位，a, b R）,则ab的值为 .【答案】03 .设集合 A 1, 0, -2,3 ,B x| x2>1 ，则 AIB .I 1While I < 7S 2 I + 1I - I + 2End WhilePrint S（第4题）【答案】1 , 34 .执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 .【答案】115 . 一种水稻试验品种连续 5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）如下：9.8, 9.9, 10.1, 10, 10.2,则该组数据的方差为【答案】0.026 .若函数f（x） 2sin x噂（0）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2,则实数

13、 的值3为 .【答案】工 27 .在平面直角坐标系xOy中，若曲线y ln x在x e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax y 3 0垂直，则实数a的值为 .【答案】e8.如图，在长方体 ABCD AB1GD1中，AB3 cm, AD 2 cm, AA11 cm,则三棱锥B1 ABD1的体积为一一cm3.【答案】19.已知等差数列 an的首项为4,公差为2,前n项和为Sn .数学I试卷第7页（共24页）若 Ska 544( k N ),则k的值为10 .设 f(x)34x2 mx(m3)xR)是R上的单调增函数，则 m的值为 11 .在平行四边形ABCD 中,uurACuurADuumAC

14、uurBD 3 ,则线段AC的长为 12 .如图，在 ABC中，AB3,ACBC 4 ,点D在边BC上,BAD45° ,则tan CAD的值为C13 .设 x , y8157z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则加Z4lg x史的最小值为-4 lg y2214 .在平面直角坐标系 xOy中，圆Ci： (x 1) (y 6)25,圆C2 :222(x 17) (y 30) r若圆C2上存在一点P ,使得过点P可作一条射线与圆 Ci依次交于点A,B,满足PA 2AB,则半径r的取值范围是二、解答题：本大题共 6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、明过程

15、或演算步骤.15.本本小题满分14分)(第15题)(2)求证：平面 MNQ 平面CAD .证明：(1)因为M , Q分别为棱AD , AC的中点，所以MQCD ,2分又CD 平面MNQ , MQ 平面MNQ ,故CD 平面MNQ .6分(2)因为M , N分别为棱 AD , BD的中点，所以 MNAB,又 BAD 90 ,故MN AD .8分因为平面 BAD 平面CAD ,平面BAD I平面CAD AD ,且MN 平面ABD ,所以MN 平面ACD ,11分又MN 平面MNQ ,平面 MNQ 平面CAD ,14分(注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平

16、面”证明" MN 平面ACD ”，扣1分.)16.本本小题满分14分)体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格.某班50名学生参加测试的结果如下:等级优良中不及格人数519233(1)从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；(2)测试成绩为“优”的 3名男生记为a2, a3, 2名女生记为 ,b2,现从这5人中数学I试卷第14页(共24页)任选2人参加学校的某项体育比赛. 写出所有等可能的基本事件； 求参赛学生中恰有1名女生的概率.解：(1)记“测试成绩为良或中”为事件 A, “测试成绩为良”为事件 A, “测试成绩为中”为事件A2,事件A, 4是互斥

17、的.由已知,有p10, P(A2) 53.因为当事件 A , A2之一发生时，事件 A发生,所以由互斥事件的概率公式，得P(A) P(Ai A2) P(Ai) P(A2)(2)有10个基本事件:答:19 23 2150 50 25 ,a2), (&,a3), (a,b1),(&,b2),，H),，b),区，b2)， 包，bj ，区，b2) ， (W, b2) 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B .在上述等可能的10个基本事件中,事件 B包含了(a, bj, (a, b2),，n),，b2) , (as, bj ,区，b2) .故所求的概率为 P(B)(1)这名学生的测试成绩

18、为“良”或“中”的概率为(注：不指明互斥事件扣14(2)参赛学生中恰有1名女生的概率为1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣 1分.事件B包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a (1,0),b (0, 2).设向量 x a ( 1 cos ) b,1y ka而若x/y,解:(1)(方法(方法b,其中0兀 、6,求TT.x y的值;求实数k的最大值，并求取最大值时的值.1)2)(2)依题意,依题意,1,因为xy,整理得,k(2sin令f()sincos工时61,2石，y ( 4,4),1 ( 4)2b 0,2 co

19、s2coscos4acoscos),sin(sin2b 4a2 2 1-23 b21122cos cos 12cos 1 cos 1 .令 f ( ) 0 ,得 cos 2 或 cos 1 ,又0 支，故 .14列表：0,学 32兀T2兀于兀f ()0f()极小值姮4故当 学时，f( )min¥3,此时实数k取最大值 4户.349数学I试卷 第12页(共24页)(注：第(2)小问中，得到x 1,2 2cosk, sn2一，及k与的等式，各1.)18.本本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中,椭圆b 0 )的左顶点为A ,右焦点为F(c, 0).P( xo,y° )

20、为椭圆上一点，且 PA PF .(1)若a 3, b而，求Xo的值；若Xo 0 ,求椭圆的离心率；(3)求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的2右准线x a相切.解：(1)因为aa2 b24,即 c 2 ,由 PA PF 得，0yXo 3 Xo 21 ,即 y2X2 Xo6,分数学I试卷第18页（共24页）2又Xo9所以4X2 9Xo 9 0,解得Xo微或xo3（舍去）.当Xoo时，yo2由PAPF得,所以e2b2,V。 V。a c0,解得（3）依题意，椭圆右焦点到直线由PA PF得,由得,解得天所以PFXoyo a(Xoa)XoXo丹（负值已舍）.yoXoca b2102的距离为c1,即

21、y2acc2Xo(c a)x0ca ,2ac c-或 Xoca （舍去）.13y2.Xo2ac cc2Xo(ca)x0 cac,所以以F为圆心，FP为半径的圆与右准线.目切.16（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线X的距离为c,得1分；直接使用焦径公式扣1分.）分19.本本小题满分16分)设 a R ,函数 f (x) x x a a .(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)若对任意的x 2,3, f(x)>0恒成立，求a的取值范围;(3)当a 4时，求函数y f f (x) a零点的个数.解：(1)若f(x)为奇函数，则f( x) f(x),令 x 0得，f (0)f(0),

22、即 f (0) 0,所以a 0,此时f(x) xx为奇函数.(2)因为对任意的 x 2, 3,f(x)>0恒成立，所以 f(x)mm>0 .a»0恒成立，所以a<0 ；当a<0时，对任意的x 2,3, f (x) x x a2当a 0时，易得f(x) : aX a，X3在，a上是单调增函数，在a x ax a, x> a22是单调减函数，在a,上是单调增函数，当 0 a 2 时，f(x)mmf(2) 2(2 a) a>0 ,解得 a<(,所以 a<33当2V a<3时，f (x)minf(a)a»0,解得a<0,所

23、以a不存在；当 a 3 时，f (x)mm min f (2) , f (3) =min 2(a 2) a, 3(a 3) a >0 ,解得92，所以a>|；综上得，a/或a4.32(3)设 F(x) f f (x) a ,令 t f(x) a x x a贝U y f (t) t t a a , a 4 ,第一步，令 f(t) 0 tt a a,所以，当t a时，t2 at a 0,判别式 a(a 4) 0,解得 tia24a , I?a a2a.当 t>a 时，由 f(t)。得，即 t(t a) a ,解得 t3aa24a；2第二步，易得0 t12t2at3,且a2若x x

24、 a ti,其中0 ti全，22当x a时，x ax ti 0 ,记p(x) x ax ti ,因为对称轴x a a ,p(a) ti 0,且i a2 4ti 0 ,所以方程t2 at ti 0有2个不同的实根;当 x>a 时，x2 ax ti 0 ,记 q(x) x2 ax ti,因为对称轴 x | a , q(a) ti 0,且2 a2 4ti 0 ,所以方程x2 ax ti 0有i个实根，从而方程x x a ti有3个不同的实根；2D 若 x x a t2,其中 0 t2 a7 ,4由知，方程xx a t2有3个不同的实根;若xx a t3,当 x a 时，x2 ax t3 0,记

25、 r(x) x2 ax t3,因为对称轴 x | a ,一 .22r(a)t3 0,且3 a4t3 0 ,所以方程x ax t3 0有i个实根；数学I试卷第i5页(共24页)当 x<a时，X2 ax t3 0 ,记 s(x) x2 ax t3,因为对称轴 x 2 a ,2s(a) t3 0,且 3 a4t3,232a 4t3 0 a 4a 16 0 ,14分 、一 .3. 2记 m a 4a 16,则 m(a) a(3a 8) 0,故 m(a)为(4,)上增函数，且 m(4)16 0, m(5) 9 0,所以m(a) 0有唯一解，不妨记为 a0 ,且a。(4,5),2右4 a a0,即3

26、 0 ,万程x ax t3 0有0个实根；若aa0,即30,方程x2ax t30有1个实根；若aa0,即30 ,方程x2ax t30有2个实根，所以，当4 a a0时，方程xx a t3有1个实根；当a a0时，方程x x a t3有2个实根；当a a时，方程x x a t3有3个实根.综上，当4 a %时，函数y f f(x) a的零点个数为7；当aa0时，函数yf f (x)a的零点个数为8；当aa0时，函数yf f (x)a的零点个数为9. 16(注：第(1)小问中，求得a 0后不验证f(x)为奇函数，不扣分；第(2)小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第(3)小问中使用数形结合，但缺

27、少代数过程的只给结果分.)20.本本小题满分16分)设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q(q 1)的等比数列.记cn an bn .(1)求证：数列 Cn 1 Cn d为等比数列；(2)已知数列 Cn的前4项分另I为4, 10, 19, 34.求数列an和bn的通项公式;是否存在元素均为正整数的集合A n ,电,kN),使得数a?,，加为等差数列？证明你的结论.解：(1)证明：依题意，g 1dan 1 bn 1an bndan 1 andbn 1 bnbn(q 1) 0,从而Cn 2 Cn 1 dCn1 C1dbn1(q 1)bn(q 1)q ,又 C2 C1dbi(q 1)0,数学I试

28、卷第22页(共24页)所以Cn1 Cn d是首项为bi(q 1),公比为q的等比数列.分(2)法1：由(1)得，等比数列 Cn 1 Cn d的前3项为6 d , 9 d , 152 则 9 d 6 d 15 d ,解得d 3 ,从而q 2, 分 a1立 4, a1 3 2。 10,10解得 a1 1 , b1 3 , _n 1 所以 an 3n 2, bn 3 2.分7法2:依题意，得a1 b14,ai d biq 10 , 2ai 2d biq 19,3ai 3d biq 34 ,d biq 匕 6, 2 d biqbiq 9,d biq3 biq2 i5,24biq 2blq 匕 3,I

29、3 cl 2,八biq 2bq bq 6,消去bi ,得q 2 ,从而可解得，ai i, D 3 , d 3, 所以 an 3n 2, bn 3 2nl.假设存在满足题意的集合Cp, cr成等差数列,i0A,不妨设 l, m , p, r A (l m p r),且 q,则 2cm Cp G ,因为Cl 0 ,所以2Cm Cp ,若 p m i ,则 pR m 2 ,结合得，2 (3m 2) 3 2m i(3p 2) 3 2p i >3(m 2) 2 3 2m i化简得，2mm 8 0,3因为m> 2, m n,不难知2mm 0 ,这与矛盾，所以只能p m i,同理，r p i ,

30、所以Cm, Cp, Cr为数列g的连续三项，从而2cmi Cm Cm2即 2 am ibm iambmam 2bm 2 ,数学I试卷第i8页（共24页）故2bm i bm bm 2 ,只能q i,这与q i矛盾,所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A .16数学I试卷第26页（共24页）分（注：第（2）小问中，在正确解答的基础上，写出结论“不存在”，就给1分.）南通市2015届高三第二次调研测试数学n （附加题）O外一点P引圆的切线PC及割线PAB,如图，从圆求证：AP证明：因为所以P（第21 . A题）3A.选彳4-1:几何证明选讲（本小题满分10分）BC AC CP.PC为圆O的切线,

31、PCA CBP,又 CPA CPB ,板4 CAPs BCP ,所以第BCAPPC '10即 AP BC AC CP .B.选彳4-2:矩阵与变换（本小题满分10分）2 - a 2设 是矩阵M的一个特征向量，求实数 a的值.33 2二 2 一.， 一 解：设 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量，35数学I试卷 第28页（共24页）2a故12=4.解得a 1.10C.选彳4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线J与曲线2 103cos0相交于A, B两点，求线段 AB中点的极坐标.解:（方法1）将直线三化为普通方程得, 3将曲线联立解得所以210 cos4 0化为普通方程得,2 一一v 10X 4 0,XiAB10xX22中点的横坐标为化为极坐标为2（方法2）联立直线消去，得2 5并消去0y 得，2x2X1 X2-2l与曲线C的方程组3，210 cos 4 0,104 0,解得1 1所以线段AB中点的极坐标为-，即5,232 310（注：将线段AB中点的极坐标写成 5, - 2k % （k2 3Z）的不扣分.）