立体几何中的向量方法平行和垂直PPT课件

1、lAPa 直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量APta 一、方向向量与法向量第1页/共75页2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量第2页/共75页oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)第3页/共

2、75页第4页/共75页第5页/共75页 练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依题题意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)XYZ设平面EDB的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1

3、101, 1, 1220ynxy于是第6页/共75页 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决几何问题第7页/共75页二、立体几何中的向量方法二、立体几何中的向量方法平行关系平行关系第8页/共75页mlab一一. 平行关系：平行关系：第9页/共75页au aAC axAByAD 第10页/共75页v u 第11页/共75页例例1.用

4、向量方法证明用向量方法证明 定理定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行已知已知 直线直线l与与m相交相交, ,lm,lm.求证 l,ma, .bv 证明 取的方向向量取 , 的法向量u,lm ,av bv v u ab,b 又a 不共线 所以v是 的一个法向量于是 v 同时是 、 的一个法向量 .第12页/共75页 例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG

5、.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)32 AE =FGAE =FGAE/FG 证证 ：如图所示：如图所示, , 建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系. ./ AEFGAEFGAEAE与与FGFG不共线不共线几何法呢？几何法呢？第13页/共75页 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， (1)求证：求证：PA/平面平面ED

6、B.ABCDP PE EXYZG解解1 立体立体几何法几何法第14页/共75页ABCDP PE EXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依题题意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/第15页/共75页ABCDP PE EXYZ解解3：如

7、图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)设平面EDB的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn 第16页/共75页ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系

8、，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)PAxDEyDB 设解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面第17页/共75页ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面练 如图，已知矩形和矩形所在平面相交于ADAD，点分别在对角线上，且求证：2133DCDE MNMDDE

9、EN 证明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面几何法呢？几何法呢？第18页/共75页三、立体几何中的向量方法三、立体几何中的向量方法垂直关系垂直关系第19页/共75页(1) lm0aba b 二、垂直关系：二、垂直关系：lmab第20页/共75页(2) l /auau lauABC第21页/共75页3 （）0uvu v u v 第22页/共75页 例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证1 立几法第23页/共75页 例1 四面

10、体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证2MAADDN 1122ABADDC 11()22ABADACAD 111222ABACAD 111()0222MN ABABACADAB MNAB, 同理 MNCD.第24页/共75页 例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy(0,0,0)B(0,2,0)D( 3,1,0)C32 6(,1,)33A3 16(,)623M3 3(,0)22N第25页/共75页 练习练习 棱长为棱长为a a 的正方体的

11、正方体 中中,E,E、F F分别是棱分别是棱AB,OAAB,OA上的动点，且上的动点，且AF=BE,AF=BE,求证：求证： CBAOOABC OCBAOAB CEFZ11A FO Exy 解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.1( , , )A a a a(0,0)Fab1(0,0, )Oa(, ,0)E ab a1(,)A Faba 1(, ,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO E第26页/共75页ABCDPEFXYZ-, ,. (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱锥锥

12、中中 底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证平平面面 证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.)1,1 ,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以第27页/共75页ABCDPEFXYZ-, ,:.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱锥锥中中底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点作作交交于于点点求求证证平平面面 证2：第28页/共75页A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,1,，CD中点，求证：D1

13、F1111DCBAABCD 练习 正方体中，E、F分别平面ADE. 证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 则则， 所以1D FADE 平平面面DADE 则则， 第29页/共75页A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,1,，CD中点，求证：D1F1111DCBAABCD 练习 正方体中，E、F分别平面ADE. 证明2：第30页/共75页,E,E是AA1 1中点，1111DCBAABCD 例3 3 正方体平面C1 1BD. 证明：E求证：平面EBD设正

14、方体棱长为2, 建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面C1 1BD. 平面EBD第31页/共75页 证明2：E,E,E是AA1 1中点，1111DCBAABCD 例3 3 正方体平面C1 1BD. 求证：平面EBD第32页/共75页-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 练练习习 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正

15、方方形形底底面面是是上上的的点点求求证证 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPXYZG第33页/共75页立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法夹角问题夹角问题第34页/共75页夹角问题：夹角问题：lamb(1) , l m的夹角为 ，coscos, a b lamb 第35页/共75页夹角问题：夹角问题：(2) , l的夹角为 ，sincos, a u u cos(-cos(- )= cos )= cos 2 2u cos(+cos(+ )= cos )= cos 2 2 ula ula 第36页/共75页夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，u v coscos =co

16、s =cos u v 第37页/共75页夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，u v coscos =cos =cos u v 第38页/共75页xyz 解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F3030=.=.1010所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF30100111111111111 , 90Rt ABCBCAABC

17、ABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、 ，求与所成的角的余弦值.第39页/共75页0111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、 ，求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解2第40页/共75页 练习练习 空间四边形空间四边形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB与与CD成成600角，求角，求AD与与BC所成的角大小所成的角大小.1AB 解 设ADABBCCD 2222 222ADABBC

18、CDAB BCBC CDAB CD 1 1 1 00 14 2AD ()1AD BCABBCCD BC cos,1/ 2AD BC 第41页/共75页例： 的棱长为 1.111.B CAB C求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.11(010)则，- ， ，BC B 11 平面AB C的一个法向量为D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF第42页/共75页例：的棱长为 1.111.B CAB C求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解2 A1

19、xD1B1ADBCC1yzEF第43页/共75页 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F第44页/共75页,2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1 ,()

20、 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.第45页/共75页)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 112(,)333FD 第46页/共75页 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中

21、点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为 解2 如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 60第47页/共75页 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。

22、的大小。ABCDP PE EF F 解3 设DC=1., 2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。第48页/共75页练习练习 的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面PBD1的一个法向量为的一个法向量为1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一个法向量为的一个法向量为1(1,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/ 2, 120 10 .BD二面角A-C的大小为12第49页/共75页的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2A1D1B1ADBCC1第50页/共75页

23、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法距离问题距离问题第51页/共75页距离问题：距离问题：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则222121212()()()ABxxyyzz第52页/共75页距离问题：距离问题：asin, dAPAP a (2) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则第53页/共75页距离问题：距离问题：(3) 点点P与平面与平面的距离为的距离为d , 则则 u A P O d第54页/共75页距离问题：距离问题：(4) 平面平面与与的距离为的距离为d , 则则 umDCPAlab第55页/共75页 例1 如图1：一个结晶体的形状为四棱

24、柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解：解：如图如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC答答: 这个晶体的对角线这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。6第56页/共75页 例1 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们

25、彼此的夹角都是60，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解解2：如图如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设，第57页/共75页 练习.(P107.2).(P107.2)如图，6060的二面角的棱上有A A、B B两点， 直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内, ,且都垂直AB, AB, 已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求CDCD的长. . BACD 68解1第58页/共75页 练习.(P107.2).(P107.2)如图，6060的二面角的棱上有A A、B B两点， 直线ACAC、BDB

26、D分别在这个二面角的两个半平面内, ,且都垂直AB, AB, 已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求CDCD的长. . BACD 68解2第59页/共75页ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离. 建立坐标系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 点点E到直线到直线A1B的距

27、离为的距离为1113sin, 24dAEAEAB 第60页/共75页ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离.解2第61页/共75页ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.u 建立坐标系11111 11 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B

28、=(0,1,-1)2 2设设 =(1,y,z)=(1,y,z)为为面面A BEA BE的法向的法向量量uu 1 11 1A E = 0,A E = 0,由由A B = 0,A B = 0, 得 u u = = ( (1 1, ,2 2, ,2 2) ) 1111A B = 0,1,0 ,A B = 0,1,0 , 11111111 B B 到到面面A BEA BE的距的距离离为为A B nA B n2 2 d= d=3 3n n第62页/共75页ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1

29、到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111BA BEE A BBVV解2第63页/共75页ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离. 解1:D1C面A1BE D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离. 仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距离为的距离为1113D A udu 第64页/共75页ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的

30、中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111DA BEB A D EVV解2第65页/共75页ABCD1A1B1C1Dxyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 解解1:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距离即的距离即 为面为面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离1111( 1,1,1),(1,0,0) 平面的一个法向量为且A BDACD A 111133D AACdAC 第66页/共75页ABCD1A1B1C1D 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.等体积法等体积法111