空间的直线方程PPT课件

1、在(1)式中，令.000tpzznyymxx则,0mtxx,0ntyy,0ptzzt为参数 （2）称（2）式为直线L的参数方程第1页/共44页 0m, ,000pzznyyxx; /平面yzl 0n, ,000pzzmxxyy; /平面xzl 0p, ,000nyymxxzz. /平面xzl 0 nm, ,00yyxx; /轴zl 0 pn, 00zzyy; /轴xl 0 mp,zz 00 xx . /轴yl第2页/共44页例例1 求过点求过点 A(1, 1, 1)，B(1, 2, 3)的直线的直线 l 的对称式的对称式 方程、参数方程方程、参数方程.解：l 的方向).2 , 1 , 0()

2、13 , 12 , 11 ( ABs则得 l 的对称式方程参数方程, 1x,1ty;21tz;211101zyx第3页/共44页2 2 空间直线一般方程111122220(3)0A xB yC zDA xB yC zD称（3）式为空间直线L的一般方程 当把直线看作两个相交平面的交线时，直线L L的就可以写成联立方程组的形式：点P0 0( (x0 0, ,y0 0, ,z0 0) )在L L上的充要条件是： x0 0, ,y0 0, ,z0 0同时满足（3 3）式的两个平面方程. . 化一般方程为点向式方程或参数方程。第4页/共44页例2 用对称方程及参数方程表示直线0,1zyxl：0.432z

3、yx解：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上上一定点和一定点和 l 的方向即可的方向即可.21nns)3 , 1 , 2() 1 , 1 , 1 (312111kjikji121132113111).3 , 1 , 4(第5页/共44页现求一定点. 将联立方程组0,1zyx0432zyx相加:0.543 zx令z = 1得 x = 3, y=1,得一定点( 3, 1, 1). 故得对称式 311.413xyz第6页/共44页即而得参数方程： x = 3 + 4t, y = 1 t , z = 1 3t . t 为参数.第7页/共44页练习 用对称

4、方程表示直线237xyzl：321xyz 解：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上上一定点和一定点和 l 的方向即可的方向即可.21nns(2, 3, 1) (3, 2, 1)231321ijk(1, 5, 13).第8页/共44页现求一定点. 将联立方程组237xyz321xyz 令x = 1得 y= 1, z =2,得一定点(1, 1, 2). 故得对称式 1121513xyz第9页/共44页12,ll已知两直线 和定理定理12vv当 和 共线时，12121llPPv （2） 和 重合当且仅当与 共线；11122212111222,xxyyz

5、zxxyyzzllXYZXYZ：1111222212( ,)(,)P x y zP xyzll和分别为 和 上的点，1111222212(,)(,).v X Y ZvXY Zll和表示 和 的方向向量12112llPPv （1） 和 平行当且仅当与 不共线；二 两直线的位置关系12vv当 和 不共线时，121122(,)0llPP v v （3） 和 交于一点当且仅当121122(,)0llPP v v （4） 和 异面当且仅当第10页/共44页0(0,0,2):32130Pxyz 求过点与平面例平(, ,),lvX Y Z解 设直线 的方向向量为因为直线113:.421xyzl行,且与直线相

6、交的直线方程1111(4, 2,1),(1,3,0).lvlP的方向向量为且 过点1011llP P v v 由于直线 与 相交，因此(, , )=0,即1324210,XYZ20.XYZ展开得，第11页/共44页320.lXYZ又因为 与 平行，则0,2 ,XYZ由以上两个方程我们可以解得，2.021XYZ 故直线的方程为：第12页/共44页 0P1Pvld0,lPv设直线 过点方向向量为 由下图可以看出，101PldP Pvv 点 与直线 的距离 是以和 为邻边的平行四边形底边 上的高，01.P Pvdv 故三 点到直线的距离第13页/共44页四、两直线的夹角、直线与平面的夹角1212|c

7、os| |s sss .|cos222222212121212121pnmpnmppnnmm两直线两直线l1, l2的方向的方向s1, s2之间夹角称为该两之间夹角称为该两直线的夹角直线的夹角 (通常指锐角通常指锐角). 易知易知令s1=(m1, n1, p1), s2=(m2, n2, p2).1、两直线的夹角第14页/共44页 l1 / l2.212121ppnnmm l1 l2. 0212121ppnnmm s1 s2=0 s1 , s2线性相关. s1 s2=0第15页/共44页例例4 求直线求直线l1：158121xyz 直线直线l2：623xyyz 的夹角。的夹角。解：解： 两直线

8、的方向向量分别为：两直线的方向向量分别为：11, 2,1s 212 1, 1,2snn 122nnl其中 ， 为 所对应的平面的方向量12121cos21arccos23ssss 所以两直线的夹角为：第16页/共44页我们称直线我们称直线 l 与它所在平面与它所在平面 上的投影直线上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求通常要求 ).20ln第17页/共44页设直线 l ：000,xxyyzzmnp) , ,(pnms 平面 ：, 0DCzByAx). , ,(CBAn .2 2或).2cos() ,cos(sn.|sin222222pnmCBACpBnAml

9、n则 n 与 s 的夹角为 第18页/共44页【注】2（2）一般情形平面 的法向量n,l的方向向量v，则有：/0LAmBnCpABCLmnp.|sin222222pnmCBACpBnAm（1）当直线 l 垂直与平面 时，其夹角为由此可知：（I）（II）第19页/共44页例例5 求直线求直线l：321021030 xyzxyz 且有平面且有平面：420 xyz则直线则直线l（ ）解：解： 直线直线l的方向向量的方向向量s为：13228147 28,14, 721104 -21ijksijks ,4 -21又因为平面 的法向量为 ,Bl所以直线 与平面 垂直，故选择（ ）（A）平行平面）平行平面

10、（C）在平面在平面上上（B）垂直平面）垂直平面 （D）与平面与平面斜交斜交第20页/共44页定义定义.ll空间中过同一直线 的平面的集合称为有轴平面束， 称为该平面束的轴定理定理12l 设直线 是平面和的交线，空间中平行与同一平面的所有平面的集合称为平行平面束.1111122222:0,:0.AxB yC zDA xB yC zD五 平面束l则以 为轴的所有轴平面束的方程为：111112222212()()0,(4)AxB yC zDA xB yC zD其中 和不全为零.第21页/共44页, ,x y z 12由于相交，则上式的系数不全为零，l12首先证明对于任意一组不全为零的数 和,(4)表

11、示一个过证明的一个平面，将(4)改写为122122122122()AAxBByCCzDD1111()() +()=0.ll即(4)可表示一平面方程.显然直线 的点均满足(4)，因而(4)表示过直线 的平面第22页/共44页12, 因而有一组不全为零的数使得这样，方程l下证过直线 的平面 均可写成(4)的形式.0000(,),lP xyz取平面 上不在 的一点显然10101012020202AxB xC xDA xB xC xD和不全为零.110101 0122020202()()0,AxB yC zDA xB yC zD1111122222()()0.AxB yC zDA xB yC zD即为

12、 的方程第23页/共44页定理定理 0AxByCzD平行与平面 ：的平行平面束方程为0AxByCz其中 为任意实数.第24页/共44页0( 1,0,26),P 求经过点并例经过平面31(25)0.xyzxyz12设所求平面的(解方程为)+00,0PP12因为所以将 的坐标代入以上方程得2+5，12310250 xyzxyz ：与：的交线的平面 的方程.5,2177150.xyz 12令得，因而所求的平面方程为：第25页/共44页10,:010,7xyzlxyzxyz 求直线在平面上投例影直线的方程.11lxyzxyz112设过 垂直与 的平面方程为()+解()=0,1121212() 1 ()

13、 1 () 10 由于 与相垂直得到()()()()0 xyz 12121212即121110yz 1取，故平面 的方程为，10.0.yzxyz 故所求的直线方程为第26页/共44页定义定义1212,( , ).l ld l l两两条直线之间的最短距离称为,记为直线间的距离六 两直线之间的距离 若两直线相交则距离为0，若平行则两直线之间的距离等于任意一点到另一条直线之间的距离.第27页/共44页定理定理121212,l lP Pvv设异面，分别过点方向向量分别为和1212121212(,)( , ).llPP v vd l lvv 则 和 间距离为1P2P1l2l2P1P证明由上图的几何意义容

14、易得到第28页/共44页128ll已知直线 和例的方程为12ll直线 和 的解方程可化为121,1,:0,0,yzxzllbcacxy：12120.( , )abclld l l其中试验证 和 为异面直线,并求12:,:,00 xyzcxyzcllbcac1212,(0,0, )(0,0,),l lPcPc直线分别过定点和12(0, ,)( ,0, ).vbcvac它们的方向向量分别为和第29页/共44页1212,0200ccPP v vbcabcac 0-00-0-(- )因为 (,)=12ll所以 和 异面.12121212,( , )PP v vd l lvv (,)2(,)abcbca

15、cab2222222 abcb ca ca b第30页/共44页【1】求过点M0(3, 3, 0)且与直线 l1:211zyx垂直相交的直线 l 的方程.解：M0M1 l1 设所求直线 l 与 l2 与交点为M1(x1, y1, z1).则 , 0)0(2)3(1)3(1111zyx. 062111zyxM0M1 s1 = (1, 1, 2).本节综合习题本节综合习题第31页/共44页令，则tx11.2 , ,111tztytx t + t + 2 2t 6 = 0.t =1,得 (x1, y1, z1)=(1, 1, 2).故直线方程为.22323zyx直线方向 s=M0M1=(1 3, 1

16、 3, 2 0)=( 2, 2, 2).第32页/共44页【2】 设平面过直线 l1:且平行于直线l2：解：两直线的方向向量分别为121,0, 12,1,1ss，121, 3,1nss123101xyz21211xyz求平面的方程。则平面的法向量故可假设平面的方程为：30 xyzD代入(1,2,3)，得D=2所以平面的方程为：320 xyz第33页/共44页【3】 过点P0(1,2,1)和直线 l1:的平面方程。解：由于P0不在平面6xz23(6)0 xyzt xz6230 xzxyz上，故平面不为所求平面；通过直线l的全体平面可表示为：由于点在所求平面上，故代入上式可得从而所求平面的方程为：

17、1t 6xz3yz第34页/共44页【练习】求直线 l1: x+y 1=0, y+z+1=0,在平面 : 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程.解：直线l1的方向1100111kjis kji=(1, 1, 1).第35页/共44页再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解 x+y 1=0, y+z+1=0, 2x+y+2z=0.消元 x + y 1 = 0, y+z+1=0, y+2z+2=0. x + y 1 = 0, y+z+1= 0,3z+3= 0.M0l1nM1得(x0, y0, z0)=(1, 0, 1).第36页/共44页任取 l1上(不在 上)一点M

18、1(x, y, z)=(0, 1, 2) .作过 M1且垂直于 的直线l2 :.221120tzyxM0l1nM1第37页/共44页设 l2 与 交点为M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足2 2t +1+t+2( 2+2t )=0).34 ,34 ,32(得交点 M2(x2, y2, z2)31t所求直线方程为,134103401321zyx即.11411zyx第38页/共44页思想： 求直线与 交点M0； 求直线上平面 外一点M1 ； 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ; 求 l2 与 的交点M2 ； 求过M0，M2 的投影直线方程.M0l1nM1第39页/共44页解解：由题意，只需求过：由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直的平面束中的一个垂直于于