2017虹口高三数学一模

1、实用标准文档 文案大全 2017年上海市虹口区高考数学一模试卷 一、填空题（16题每小题4分，712题每小题4分，本大题满分54分） 1已知集合A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA，则AB= 2 已知，则复数z的虚部为 3设函数f（x）=sinxcosx，且f（）=1，则sin2= 4 已知二元一次方程组 的增广矩阵是，则此方程组的解是 5数列an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和， 则= 6已知角A是ABC的内角，则 “”是 “的 条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一） 7若双曲线x2 =1的一个焦点到其渐近线的距离为 2，则

2、该双曲线的焦距等于 8若正项等比数列an满足：a3+a5=4，则a4的最大值为 9一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 10设函数f（x） =，则当x1时，则ff（x）表达式的展开式中含x2项的系数是 11点M（20，40），抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 实用标准文档 文案大全 12当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3x2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是 二、选择题（每小题5分，满分20分） 13在空间，表示平面，m

3、，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A若m，m、n不平行，则n与不平行 B若m，m、n不垂直，则n与不垂直 C若m，m、n不平行，则n与不垂直 D若m，m、n不垂直，则n与不平行 14 已知函数在区间0，a（其中a0）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A B C D 15如图，在圆C中，点A、B 在圆上，则的值（ ） A只与圆C的半径有关 B既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关 C只与弦AB的长度有关 D是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值 16定义f（x）=x（其中x表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如2.1=3，4=4以下关于“取上整函数”性质的描述，正确

4、的是（ ） f（2x）=2f（x）； 若f（x1）=f（x2），则x1x21； 任意x1，x2R，f（x1+x2）f（x1）+f（x2）； A B C D 实用标准文档 文案大全 三、解答题（本大题满分76分） 17在正三棱锥PABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4 （1）求证：PABC； （2）求此三棱锥的全面积和体积 18如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处 （1）求此时该外国船只与D岛的距离； （2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行

5、为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 19已知二次函数f（x）=ax24x+c的值域为0，+） （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断此函数在 ，+）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求出f（x）在1，+）上的最小值g（a），并求g（a）的值域 20椭圆C ：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F实用标准文档 文案大全 的直线l与椭圆C相交于A、B两点设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2 （1）

6、求椭圆C的方程； （2）如果直线l的斜率等于1，求出k1?k2的值； （3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围 21已知函数f（x）=2|x+2|x+1|，无穷数列an的首项a1=a （1）如果an=f（n）（nN*），写出数列an的通项公式； （2）如果an=f（an1）（nN*且n2），要使得数列an是等差数列，求首项a的取值范围； （3）如果an=f（an1）（nN*且n2），求出数列an的前n项和Sn 实用标准文档 文案大全 2017年上海市虹口区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（16题每小题4分，712题每小题4分，本大题

7、满分54分） 1已知集合A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA，则AB= 2，4，8 【考点】交集及其运算 【分析】先分别求出集合A和B，由此能出AB 【解答】解：集合A=1，2，4，6，8， B=x|x=2k，kA=2，4，8，12，19， AB=2，4，8 故答案为：2，4，8 2 已知，则复数z的虚部为 1 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 ，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求 【解答】 解：由， 得=22i+ii2=3i， 则z=3+i 复数z的虚部为：1 故答案为：1 3设函数f（x）=sinxcosx，且f（）=1，则sin2= 0 【考

8、点】二倍角的正弦 【分析】由已知可得sincos=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解 【解答】解：f（x）=sinxcosx，且f（）=1， 实用标准文档 文案大全 sincos=1， 两边平方，可得：sin2+cos22sincos=1， 1sin2=1，可得：sin2=0 故答案为：0 4 已知二元一次方程组 的增广矩阵是，则此方程组的解是 【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组 【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得 【解答】 解：由题意，方程组 解之得 故答案为 5数列an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n 项和，则=

9、【考点】数列的极限 【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可 【解答】解：数列an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn =n2an=1+（n1）×2=2n1， 则 = = 故答案为：； 6已知角A是ABC的内角，则 “”是 “的 充分不必要 条件实用标准文档 文案大全 （填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可 【解答】解：A为ABC的内角，则A（0，180°）， 若命题p： cosA=成立，则A=60°， sinA=

10、； 而命题q： sinA=成立，又由A（0，180°），则A=60°或120°； 因此由p可以推得q成立，由q推不出p， 可见p是q的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 7若双曲线x2 =1的一个焦点到其渐近线的距离为 2，则该双曲线的焦距等于 6 【考点】双曲线的简单性质 【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论 【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=bx，即bx+y=0， 焦点坐标为F（c，0）， 则焦点到其渐近线的距离 d= = =b=2， 则 c= = =3， 则双曲线的焦距等于2c=6， 故答案为：6 8若正项等比

11、数列an满足：a3+a5=4，则a4的最大值为 2 【考点】等比数列的性质 【分析】利用数列an是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值 【解答】解：数列an是各项均为正数的等比数列， 实用标准文档 文案大全 a3a5=a42， 等比数列an各项均为正数， a3+a5 2， 当且仅当a3=a5=2时，取等号， a3=a5=2时，a4的最大值为2 故答案是：2 9一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 【考点】椭圆的简单性质 【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距

12、，即可 【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为： =8， a2=b2+c2， c= =2， 椭圆的焦距为； 故答案为： 4 10设函数f（x） =，则当x1时，则ff（x）表达式的展开式中含x2项的系数是 60 【考点】分段函数的应用 【分析】根据分段函数的解析式先求出ff（x）表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系实用标准文档 文案大全 数求出结果 【解答】解：由函数f（x） =， 当x1时，f（x）=2x1， 此时f（x）min=f（1）=

13、21=1， ff（x）=（2x1）6=（2x+1）6， Tr+1=C6r2rxr， 当r=2时，系数为C62×22=60， 故答案为：60 11点M（20，40），抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 42或22 【考点】抛物线的简单性质 【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小， 20+=41，解得：p=42，当M（20，40 ）位于抛物线外，由勾股定理可知： =41，p=22或58，当p=58时，y2=

14、116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值 【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离， 过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|， 当M（20，40）位于抛物线内， |PM|+|PF|=|PM|+|PD|， 当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小， 由最小值为41，即 20+=41，解得：p=42， 当M（20，40）位于抛物线外， 当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值， 即=41，解得：p=22或58， 由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去， 实用标准文档 文案大全 故答案为：

15、42或22 12当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3x2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是 ，+） 【考点】圆方程的综合应用 【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cos，y=sin，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3x2y|的值与x，y均无关时a的取范围 【解答】解：实数x，y满足x2+y2=1， 可设x=cos，y=sin， 则 x+2y=cos+2sin=sin（+），其中=arctan2； x+2y， 实用标准文档 文案大全 当 a时， |x+2y+a|+|3x2y|=（x+2y+a）+（3x2y）=a+3，其

16、值与x，y均无关； 实数a的取范围是 ，+） 故答案为： 二、选择题（每小题5分，满分20分） 13在空间，表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A若m，m、n不平行，则n与不平行 B若m，m、n不垂直，则n与不垂直 C若m，m、n不平行，则n与不垂直 D若m，m、n不垂直，则n与不平行 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【分析】对于A，若m，m、n不平行，则n与可能平行、相交或n?，即可得出结论 【解答】解：对于A，若m，m、n不平行，则n与可能平行、相交或n?，故不正确 故选A 14 已知函数在区间0，a（其中a0）上单调递增，则实数a的

17、取值范围是（ ） A B C D 【考点】正弦函数的单调性 【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得 2a+ ，求得a的范围 【解答】 解：函数在区间0，a（其中a0）上单调递增， 则 2a+ ，求得 a，故有0 a， 故选：B 实用标准文档 文案大全 15如图，在圆C中，点A、B 在圆上，则的值（ ） A只与圆C的半径有关 B既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关 C只与弦AB的长度有关 D是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可 得 =则答案可求 【解答】解：如图， 过圆心C作CDAB，垂足为D ，则 =

18、| |?cos CAB= 的值只与弦AB的长度有关 故选：C 16定义f（x）=x（其中x表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如2.1=3，4=4以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ） f（2x）=2f（x）； 若f（x1）=f（x2），则x1x21； 任意x1，x2R，f（x1+x2）f（x1）+f（x2）； A B C D 【考点】函数与方程的综合运用 【分析】充分理解“取上整函数”的定义如果选项不满足题意，只需要举例说明实用标准文档 文案大全 即可 【解答】解：对于，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4所以f（2x）2f（x）；错 对于，若

19、f（x1）=f（x2）当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2x11，即x1x21当x1不是整数时，f（x1）=x1+1x1表示不大于x1的最大整数x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时x1x21故正确 对于，当x1，x2Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2?Z，f（x1+x2）f（x1）+f（x2），故正确； 对于，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4f（2.4）=3故错误 故选：C 三、解答题（本大题满分76分） 17在正三棱锥PABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4 （1）求证：PABC； （2）求此三棱锥的全面积和

20、体积 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质 【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM由ABC是等边三角形，可得AMBC再由PB=PC，得PMBC利用线面垂直的判定可得BC平面PAM，进一步得到PABC； （2）记O是等边三角形的中心，则PO平面ABC由已知求出高，可求三棱锥的体积求出各面的面积可得三棱锥的全面积 【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM 实用标准文档 文案大全 ABC是等边三角形， AMBC 又PB=PC， PMBC AMPM=M， BC平面PAM， 则PABC； （2）解：记O是等边三角形的中心，则PO平面ABC A

21、BC是边长为6的等边三角形， ， ， ； 18如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处 （1）求此时该外国船只与D岛的距离； （2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 实用标准文档 文案大全 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】（1）依题意，在ABD中，DAB=60

22、76;，由余弦定理求得DB； （2）法一、过点B作BHAD于点H，在RtABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sinEAH，则EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t ，由求得速度的最小值 法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴可得A，D，B的坐标，设经过t 小时外国船到达点，结合ED=12， 得，列等式求得t， 则 ， ，再由求得速度的最小值 【解答】解：（1）依题意，在ABD中，DAB=60°， 由余弦定理得DB2=AD2+AB22AD?AB?cos60°=182+2022×18×15×cos60&

23、#176;=364， ， 即此时该外国船只与D 岛的距离为海里； （2）法一、过点B作BHAD于点H， 在RtABH中，AH=10，HD=ADAH=8， 以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE， 在RtDEH中， HE= ， 又 AE=， sin EAH= ，则41.81° 外国船只到达点E 的时间（小时） 海监船的速度（海里/小时） 实用标准文档 文案大全 又90°41.81°=48.2°， 故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时 法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴 则A

24、（0，0），D（18，0） ，设经过t 小时外国船到达点， 又ED=12 ，得 ，此时（小时） 则 ， 监测船的航向东偏北41.81° 海监船的速度（海里/小时） 19已知二次函数f（x）=ax24x+c的值域为0，+） （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断此函数在 ，+）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求出f（x）在1，+）上的最小值g（a），并求g（a）的值域 【考点】二次函数的性质 【分析】（1）由二次函数f（x）=ax24x+c的值域，推出ac=4，判断f（1）f（1），f（1）f（1），得到此函数是非奇非偶函数 （2）求出函数的单调递增区间设x

25、1、x2 是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）f（x1），即可判断函数是单调递增 （3）f（x）=ax24x+c ，当，即0a2 时，当，即a2时实用标准文档 文案大全 求出最小值即可 【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax24x+c的值域为0，+），得a0 且， 解得ac=4 f（1）=a+c4，f（1）=a+c+4，a0且c0，从而f（1）f（1），f（1）f（1）， 此函数是非奇非偶函数 （2）函数的单调递增区间是 ，+）设x1、x2 是满足的任意两个 数，从而有 ，又a0 ， 从而， 即，从而f（x2）f（x1），函数在 ，+）上是单调递增 （3）f（x）=ax24x+c

26、，又a0 ，x1，+） 当，即0a2时，最小值g（a）=f（x0）=0 当，即a2 时，最小值 综上，最小值 当0a2时，最小值g（a）=0 当a2 时，最小值 综上y=g（a）的值域为0，+） 20椭圆C ：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2 实用标准文档 文案大全 （1）求椭圆C的方程； （2）如果直线l的斜率等于1，求出k1?k2的值； （3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围 【考点】直线与椭圆的位置关系 【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程 （2）直线l：y=x+1，设AB 坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可 （3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可 【解答】解：（1）a=2，又c=1， ， 椭圆方程为 （2）直线l：y=x+1，设A（x1，