2013理科二模 上海市奉贤区高三数学

1、 2013年上海市奉贤区高三年级二模试卷数学（理科） 2013年4月 （考试时间120分钟，满分150分） 一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、函数xxf2sin2)(?的最小正周期是_ 2、在81?xx的二项展开式中，常数项是 3、已知正数x、y满足xyyx?，则yx ?的最小值是 4、执行如图所示的程序框图，输出的S值为 5、已知直线yt?与函数()3xfx?及函数()43xgx?的图像分别相交 于A、B两点，则A、B两点之间的距离为 6、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所

2、在的 平面所成角为045，容器的高为10cm，制作该容器需要 cm2 的铁皮 7、（理）若实数t满足f(t)t，则称t是函数f(x)的一个次不动点 设函数?xxfln?与反函数的所有次不动点之和为m，则m_ 8、（理）关于x的方程022?mxx?Rm?的一个根是ni?1?Rn， 在复平面上的一点Z对应的复数z满足1?z，则nimz?的取值范围是 9、（理）在极坐标系中，直线2sin()2cos42?与圆的位置关系是 _ 10、（理）已知函数?lg10xxfxabab?，且221ab?， 则不等式?0fx?的解集是 11、设?fx是定义在R上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x?，?12log1

3、fxx?，则函数?fx在(1,2) 上的解析式是 12、设正项数列?na的前n项和是nS，若?na和nS都是等差数列，且公差相等， 则?da1 13、（理）椭圆)0(12222?babyax上的任意一点M(除短轴端点除外)与短轴两个端点21,BB的连线交x轴于点N和K，则OKON?的最小值是 14、（理）如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(ACB90°，AC2) 沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是yf(x)，当?x0,224?时 yf(x)= _ cm10045题第)6()14(开=0 k6+ 输出Sk=k1 结束 是 题第)4( 二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，

4、每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15、下列命题中正确的是（ ） （A）函数xysin?与xyarcsin?互为反函数 （B）函数xysin?与xyarcsin?都是增函数 （C）函数xysin?与xyarcsin?都是奇函数 （D）函数xysin?与xyarcsin?都是周期函数 16、（理）设事件A，B，已知()PA=51，()PB=31 ,()PABU=815，则A，B之间的关系一定为（ ） (A)两个任意事件 (B)互斥事件 (C)非互斥事件 (D)对立事件 17、（理）数列na前n项和为nS，已知115a?，且

5、对任意正整数,mn，都有mnmnaaa?，若nSa?恒成立，则实数a的最小值为（ ） （A）14 （B）34 （C）43 （D）4 18、直线2?x与双曲线14:22?yxC的渐近线交于BA,两点，设P为双曲线C上的任意一点，若OBbOAaOP?(ORba,?为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ） （A）222ab? （B）2122?ba （C）222ab? （D）2212ab? 三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（理）长方体1111DCBAABCD?中，底面ABCD是正方形，1,21?ABAA，E是1DD上的一

6、点 求异面直线AC与DB1所成的角； 若?DB1平面ACE，求三棱锥CDEA?的体积； 20、 位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距 202 海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45?00450?的C 处135?AC在离观测站A的正南方某处E ，13132cos?EAC （1）求?cos； （2）求该船的行驶速度v（海里/小时）； 21、三阶行列式xbxxD31302502?，元素b?Rb?的代数余子式为?xH，?0?xHxP， (1) 求集合P； (2) （理）函数?22log22fxaxx?的定义域为,Q若,PQ?求实数a的取

7、值范围； CBAE 22、（理）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn ，且1()2nnnaaS? （1）求a1，a3； （2）求证：数列an为等差数列，并写出其通项公式； （3 ）设1lg3nnnab?，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由 23、（理）动圆C过定点 F,02p?， 且与直线2px?相切，其中0p?.设圆心C的轨迹?的程为?0,?yxF （1）求?0,?yxF； （2）曲线?上的一定点?00,yxP(0y?0) ， 方向向量?pyd?,0的直线l（不过P点）与曲线?

8、交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为PAk，PBk，计算PBPAkk?； （3）曲线?上的两个定点?000,yxP、?000,yxQ，分别过点00,QP作倾斜角互补的两条直线NQMP00,分别与曲线?交于NM,两点，求证直线MN的斜率为定值； 上海市奉贤区2013年高考二模数学试题（理科） 参考答案 一、填空题 1?； 270； 34； 462； 54log3； 6 ?2100； 7（理）0； 8 （理）?15,15? ； 9（理）相离； （文）32 （文）1? （文）12?xy 10（理）?2?xx； 11 ?1log21?xy 12 43 （文）?2,0 13（理）a2 14（理）?

9、 ?224248202822xxxxx f（每空2分） （文）31 （文）32362b? 二、选择题 15 C 17 理A 文 B 16 理B 文D 18 B 三、解答题 19、（理）以D为原点，DA、DC 、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 1分 依题意，)0 , 0 , 0(D，)0 , 0 , 1(A，)0 , 1 , 0(C，)2 , 1 , 1(1B ， 所以)0 , 1 , 1(?AC，)2 , 1 , 1(1?DB 3分 所以01?ACDB， 所以异面直线所成角为2? 6分 设) , 0 , 0(aE，则) , 0 , 1(aAE? 7分 因为?DB1平面A

10、CE， ?AE平面 ACE ，所以AEDB ? 1 9分 所以01?AEDB，所以021?a，21?a 10分 所以12112112131?CDEAV 12分 19、（文）解：（1）由题意得AEBG， DGB?（或其补角）就是所求的异面直线所成的角 2分 计算2,25,25?DBBGDG 4分 51cos?DGB 所以所求的异面直线的角大小51arccos 6分 （2）1111ABCDABCD?中，有BC面EGC 所以BC是三棱锥CECB1?的高， 9分 BCSVCECCECB?1113 1611112131? 12分 20、（1 ）13133cos1sin,13132cos2?EACEACE

11、AC? 2分 EACEACEAC?sin43sincos43cos43coscos? ?262651313322)13132(22? 6分 （2 ）利用余弦定理55,125cos2222?BCACABACABBC? 10分 该船以匀速直线行驶了20 分钟的路程为55海里， 该船的行驶速度5153155?v（海里/小时） 14分 21、解：（1）、?xxxxH1252?=2522?xx 3分 ?221xxP 7分 （2）、（理） 若,PQ?则说明在1,22?上至少存在一个x值，使不等式2220axx?成立， 8分 即在1,22?上至少存在一个x 值，使222axx?成立， 9分 令222,uxx

12、?则只需minua?即可。 11分 又22221112.22uxxx? 当1,22x?时，11,2,2x?4,21,4min?uu从而4min?u 13分 由知， min4,u? 4.a? 14分 2、(文) 若,PQ?，则说明不等式2220axx? 在1,22x?上恒成立， 8分 即不等式222axx?在1,22x?上恒成立， 9分 令222,uxx?则只需maxau?即可。 11分 又22221112.22uxxx? 当1,22x?时，11,2,2x?从而max114,22uu? 13分 1.2a? 14分 22、（理）解：(1)令n=1，则a1=S1 =111()2aa?=0 2分； a

13、3=2； 3分 （2 ）由1()2nnnaaS? ，即2nnnaS?， 得 11(1)2nnnaS? ，得 1(1)nnnana? 5分 于是，21(1)nnnana? +，得212nnnnanana?，即212nnnaaa? 7分 又a1=0，a2=1，a2a1=1， 所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列 所以，an=n1 9分 法二，得 1(1)nnnana? 5分 于是，121,1211ananananannnn? 7分 11?nan 所以，an=n1 9分 (3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列， 则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 10分

14、于是，21333pqpq? 11分 所以，213()33qppq?()易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解 12分 当p3，且pN* 时，112(1)224333pppppp?<0， 故数列 23pp(p3)为递减数列 14分 于是2133pp? 323133?<0，所以此时方程()无正整数解 15分 综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列 16分 22、（文） 解：（1）设等差数列?na的首项1a，公差d，dnaan)1(1? 0)1(22)2(211111?dnadnandaaaannn 3分 所以任何的等差数列不可能是“Z数列”

15、4分 或者根据等差数列的性质：nnnaaa211? 3分 所以任何的等差数列不可能是“Z数列” 4分 （2）假设?nalg是等比数列，则 na?是“Z数列”，所以nnnaaalg2lglg11? 6分 211nnnaaa?，所以?na不可能是等比数列， 7分 等比数列?1,0111?qcqccnn只要首项01?c公比1?q 11分 其他的也可以：?02?acbnancn 11分 )0(4?aancn 等比数列?nc的首项1c，公比q，通项公式11?nnqcc 112111122?nnnnnnqcqcqcccc?0112221221?qqcqqqcnn恒成立，01?c 补充说明：分析：11?nn

16、nnaaaa ，)1()1(11?nnaannaannnn 根据几何意义只要?nfcn?的一阶导函数单调递减就可以 （3）因为 sssaab?1，121?sssaab，232?sssaab，11?tttaab ?项一共1211211?ststtssttttstbbbaaaaaaaa 12分 同理： ?项一共1211211?stmsmtmtmsmstmtmmtmtmsmtbbbaaaaaaaa 13分 因为数列nb满足对任意的,1*nnbbNn?均有 所以,2211smsmttmttbbbbbb? 14分 msmtstaaaa? 16分 23、（理）（1）过点C 作直线2px?的垂线，垂足为N，

17、由题意知：CNCF?，即动点C到定点F与 定直线2px?的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线， 2分 其中,02pF? 为焦点，2px?为准线，所以轨迹方程为?022?ppxy； 4分 （2）证明：设 A(11,yx)、B(22,yx) 过不过点P 的直线方程为bxypy?0 5分 由?bxypypxy022得022002?byyyy 6分 则0212yyy?， 7分 02020101xxyyxxyykkBPAP? =pypyyypypyyy2222202202202101? =020122yypyyp? 8分 =)()2(20201021yyyyyyyp?=0. 10分 （3）设

18、?11,yxM，?22,yxN 1212xxyykMN? =pypyyy22212212? =212yyp? （*） 12分 设MP的直线方程为为?00xxkyy?与曲线pxy22?的交点?11000,yxMyxP 由?)(2002xxkyypxy ，0222002?pxkpyykpy的两根为10,yy 则kpyy210? ?012ykpy? 14分 同理kpyy?220 ，得?022ykpy 15分 代入（*）计算?0021yyyy 17分 ?002yypkMN 18分 23、（文） （1）过点C作直线1?x的垂线，垂足为N，由题意知：CNCF?， 即动点C到定点F与定直线1?x的距离相等， 由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线 2分 其中?0,1为焦点，1?x为准线，所以轨迹方程为xy42?； 4分 （2）证明：设 A(11,yx)、B(22,yx) 由题得直线的斜率1? 5分 过不过点P的直线方程为bxy? 6分 由?bxyxy42得 0442?byy 则421?