一元二次方程根与系数的关系典型例题

1、-元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】.本周教学内容：一元二次方程的根与系数的关系学习目标1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值； 根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣, 及树立勇于探索规律的精神。二.重点、难点：1. 教学重点：一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程

2、，用两根和与积或各系 数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。2. 教学难点：正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将 系数代入。【典型例题】例1.已知方程2/ +iz-3=0的一个根是 2，求它的另一个根及 b的值。分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根, 并确定字母系数的值。解：（方法一）设方程的另一根为,则由方程的根与系数关系得：耕-I<1><2>（方法二）由题意： 2/ 2.解得：-1根据韦达定理设另一根为 x,则_3=2X二 3:、Xj = 3f 4 = -5点拨：解法一较简单，主要原因

3、是突出了求解的整体性。例2.已知方程3疽+ 2工一 3 = 0的两根为h,求下列代数式的值:1 1221 丫 .置（1）I +勺；（2 ）7必；（3） “1 催分析：若方程源+丘y + c = °（gnO）对称式的值，只须将其配成含有 山+布、的i 2根Mi两解：由已知，根据韦达定理则不解方程，可求出关于'1、眄的一11*1 +玛 3 2(2)一1：(3 如 L J=". + 七_七广；!点拨：体会配方思想，将代数式配成含有了1+如 X而的形式,再代系数即可。例3.已知：4 2是两个不相等的实数，且满足 "+3-2二°, X； + 3勺-2二0

4、, 那么求 （互-iYxa -1）的值。分析：由两个条件可得出X、h为方程?+3i-2 = 0的两不等实根，再对所求代数式 配方变形。解：由题意，用 X为J+3"2二。的两个不等实根因而有 ：' 'I' j '又. "，.一 ,"，.一- '（】-*瓦 T）= 2点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。例4.已知关于x的一元二次方程 了一4工+上=0与2】一3应+上二。有一个相同的根, 求k的值。解：（解法一）则有：何+4a = kr=2设方程J 4l +上二0两根a、<1><2><3>

5、;<4>,方程2/ 3x +上二0的两根缶y,< 1 >- <3> :向一/二:<5>由"：二-当如o时，代入<2>! i=0当gO时，由 <&> : f二2，c 5<5> : y-代入一则：-代入 <1 > ! W-1把 f3 = 5f a 二 T 代入<2> 中，i = -5k = 0 或 k = -5（解法二）将了-M +虹。与京3应+阵0相减得:?+x = O此时方程根为0或-1 ,即题中两方程相同根为 0或-1（1）若是0则上二0 ;（2）若是-1,则 k =

6、 -5；k = O 或上=-5点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了 “若方程二°与血=0 有公共根，则公共根必满足方程 »-g(x) = O ”的结论。例5.已知方程F +3x+k = 0(1) 若方程两根之差为 5,求k。(2) 若方程一根是另一根 2倍，求这两根之积。分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数 字母的值。解：(1)设方程两根11与了1+5,由韦达定理知：M +S1 +5)= -3,了 = -4又一 I - - I;= -4 x 1 = -4(2)设方程两根X. 2X,由根系关系知：+2了1 = -3X

7、= -1】k 二芸二二 = 2点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。例6.已知方程X2 +ai+b-Q两根之比为1: 3,判别式值为16,求a、b的值。分析：必用判别式A二&'-43=16，又韦达定理知a = -Am, b = ，显然可求a、 bo解：设已知方程的两根为 m, 3m由韦达定理知：一 一， ''一 一 '即 -A = q48 二部 - 4 x 3 =物，=16推二 ±2把沈二±2代入a = -4状,b = 3点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。例7.已知X、林是关于x的一元二次方程* *伽+

8、 1)了 +顿1 +)二°的两个实数根。(1) 用含m的代数式表示A1十心；(2) 当虹+ &二*时，求m的值。分析：应注意* + x：二+勺)一2和队,即可用根系关系。解：(1)由题意：砂勺=-(2撇+1)硒=wf +1=2 而叱=-（2版+1）亍-+1）=2" +4 也一 1（2）由（1）得：- :一_：_解得：、1'' ； _-检验：当 泓二-4时，原方程无实根。舍去-.-当用二2时，原方程有实根。点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。例8.已知方程2x'-6x + 3=0的两根为用'h,求一

9、个一元二次方程，使它两根为22疝和母。分析：所求方程只要求出的值即可，转化成例2类型了。解：设所求一元二次方程为®殆巧为方程2 J -6x + 3=0的两根-由韦达定理32-2x-2 _ 8<3?351 1（工+ 勿）'2电心* M （平了 （工而）'又1 1 _1_ 1 _4系，系二商二讨勺所求一元二次方程为：:即：,.-点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根冬 那么方程为 疽-（以+介+必=0，当a+囚 邮为分数时,往往化成整系数方程。总结扩展1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和 与积和系数之间的关系，是我们

10、今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟 记，为进一步使用打下基础。2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提 倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程，4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培 养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一.选择题。1. 已知x二-3是关于x的一元二次方程化T）J +2去+3

11、=。的一个根，则k与另 根分别为（）A. 2 , -1B. -1 , 2C. -2 , 1D. 1 , -22. 已知方程为+伽+ 4# +（次+ 1）= °的两根互为相反数，则m的值是（A. 4B. -4C. 1D. -13. 若方程I + X +左拦0有两根，一根大于1, 一根小于1.则k的取值范围是 sl 0<k<-A. B. '11C.D.4. 若方程x二0的两根中，只有一个是0,那么（）A. - 11B. " _，： _ Hc.夕二°，g * °d.不能确定x -+ =05.方程4的大根与小根之差等于( ):A. _.lB.

12、圣 -C. 1D.'2-1-1 + 5 -1-756.以2'2为根的，且二:次项系数为1的一兀二次方程是A. ' L T - 1!B. !+1-1=0C.D. !-i-l=0.填空题。7. 关于x的一元二次方程+ +2（次+ 1）二+梆'二0的两根互为倒数，贝U m=。8. 已知一元二次方程 况 +故+U。两根比2： 3，贝U a, b, c之间的关系是 。9. 已知方程*次+救3*令°的两根X、而且（电-2）（习-2）= 9则瓶二_10. 已知位是方程2=0的两根，不解方程可得：&=,1 1 _疽+呼 ，杪同=。11. 已知疽+俱二13, （

13、l-a）（l-/?） = 2,则以冬D为根的一元二次方程是 三.解答题。12. 已知方程2 了 +3了+瑚二0的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。13. 已知方程3-7 + 3二0的两根如，x? （% 电）不解方程，求 脱1+T 和 了1 - Xg的值。14. 已知方程2x'-3i+7二。的两根冬”，求作以£+软2女+/5为两根的方程。15. 设用、%是方程二一+ 部的两个实根，且两实根的倒数和等于3,试 求m的值。【试题答案】-.选择题。3. D1. A 2. B.填空题。w2 = 14. B5. C6. B7.8.设 X=,则Z -<"n 6*

14、 = 25ac6?=- aJRrL += W!1/ 八< 砂7 = *（梆+ 4）.（】-2）（羽-2）= 9习!梆（秫+4）-2玳-5-2?«-15= 0 n牌二5或次二-3 次二5时，原方程v 0,故舍去，梆二-32B = T岁=（十® 2耶号+ 2二手P （磁=沽时。+向做+同七3纹5 “5 S =_r 2<4）9.10./ +185=238史牛如+JM +尸=13 b + = 1311. (1_袱1逆=2 "1-(说+0+就=2J疽+妒=13由此仁+员=矽(。+宥 *+£+2=13+20即_旷=打_逆+1=廿甘-4快-12 = 0区或

15、二&或a§ 2Ja+月二 5 (a+ = -3a角=6或功=-2所求方程." _:. I '. - .或.、._. - 一 n三.解答题。12.解：设方程的一个根为 x,另一根2x，3x + 2x =<1 >2x* 2x= < 2 >由根系关系知：L2f1x = -2解得：野二1. m- 1r ?=-13.解：由题设条件 51X2 = 1=J(xi+xj - 机内n电一曲亏+273914.解：由题意L 2即。+2段2&+同=如十疣)+ 5矽=2(a +评+矽9 7二一+一2 2=8.9x -x + 8 = 0. 3 .故所求方程是2 ，即2 x-9x+16 = 0A = -(2+l)2>0< 1 >电+ Kj = M + 1< 2 >I= 3<4 >15.解:由<4> ：血+ “三版1私m - 1)(+1)3不符合题意,4舍去:、切"-2tn- 1 = 0 m - 1)(+1) = 0【励志故事】果断有一个6岁的小男孩，一天在外面