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文档简介
1、德州学院数学系点集拓扑教案§ 5.3 Lindeloff 空间本节重点:Lindeloff 空间的定义;Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系;Lindeloff空间的遗传性、关丁连续映射的是否可保 持性.一 Lindeloff 空间的概念如果U a=B,贝U称集族AA定义5.3.1 设A 是- -个集族, B是- -个集合.A是集合B的一个覆盖,并且当A是可数族或有限族时,分别称集族 A是集 合B的一个可数覆盖和有限覆盖.设集族A是集合B的一个覆盖.如果集族A的一个子族A i也是集合B的 覆盖,则称集族A i是覆盖A (关丁集合B)的一个子覆盖.设X是一个
2、拓扑空间.如果由X中开(闭)子集构成的集族A是X的子集 B的一个覆盖,则称集族 A是集合B的一个开(闭)覆盖.在数学分析中读者所熟知的 Heine Borel定理告诉我们:实数空间R的子 集A是一个有界闭集当且仅当 A的每一个开覆盖都有有限子覆盖.因而具有“每 一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性.对丁这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论.但是另一方 面,正如所知,连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中.这使我们有必要放松一点限制.定义5.3.2 设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个可数 子覆盖,则称拓扑空间X是一个Lindelo
3、ff 空间.由定义可知,任何平庸空间是 Lindeloff空间;含可数多个点的离散空间 是Lindeloff空间;包含着不可数多个点的离散空间不是一个 Lindeloff空间.这 是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖,这个开覆盖没有任何可数子覆盖.例5.3.1 ,包含着不可数多个点的可数补空间X是一个Lindeloff 空间,且X的每个子空间也是Lindeloff 空间.(例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理,所以它也不满足第二可数性公理.)证明 设A是X的任意一个开覆盖.任意在A中取定一个非空集合 A.对 丁每一个x A',在A 中选取一个A x使得x A x
4、,由丁 A是可数集,所 以A的子族 A x A |x A x, x A' U A也是可数的,易见它也覆盖X.所 以包含着不可数多个点的可数补空间X是Lindeloff 空间.设YuX,下面证Y也是Lindefoff 空间.设A i是Y的任意一个开覆盖,则存在X的开集族A使A i = A | y .任 取一个A A ,则A U Y'是X的一个开集(因为AU Y'的补可数),丁是A U A U Y' 是X的一个开覆盖.由丁 X是Lindefoff 空间,所以在A U AU Y' 中有一个可数子集族B是X的覆盖,不妨设B =Ai ,A2,A , -AU Y
5、39; 其中Ai ,A A , i=1,2,(注A U Y'若不在其内,则加进去也无妨),则B | y = AiA Y AH Y ,,衔 Y ,AH Yu A|y =A i,即 B | y 是 A 1 的可数 子覆盖.故Y是Lindefoff 空间.二Lindefoff性与第二可数性的关系定理5.3.lLindeloff 定理任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindeloff 空间.(即A2空间一定是Lindeloff 空间)证明 设拓扑空间X是A2空间,B是它的一个可数基.设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头).对丁每一个A A , 由丁 A是一个开集,所以存在BauB
6、,使得A=b? B,令B 1 = aW B a ,由丁 B 1是B的一个子族,所以是一个可数族.并且B=B=( B)= A = XB.B1BE. B AA 三AB .B AA 三AA .A故B i也是X的一个覆盖.如果B B i,则存在A A使得B Ba,(因为A士己B )因此B u A . 丁是对丁每一个B Bi;我们可以选定某一个B B AAb £ A 使得B u Ab , I己A i =Ab | B B 1,它是A的一个子族,并且 aE A =bAb n bE b = X ,所以A 1是A的一个子覆盖此外由丁 B 1是可数的,所以A 1也是可数的.丁是开覆盖 A有一个可数子覆盖
7、A 1 .这证明X是一个Lindefoff 空间.推论5.3.2满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空问.(即A2空间的子空间仍然是A2空间)特别,n维欧氏空间Rn的每一个子空间都是Lindeloff 空间.证明 由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论;第二句结论成立是因为Rn是A2空间.说明 定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X,由例5.3.1知它是Lindeloff 的,由例5.1.1知X不是A1空间,从而由定理5.1.3知X也不是A2空间.即:Lindeloff 空间 =/ A2空间.(2)推论5.3.2的逆命题都不成立.因为由例
8、 5.3.1知上述空间X的每个子空间都是Lindeloff 空间,但X不是A2空间.(3)X是Lindeloff 空间 寸 A1空间;(即中所说)X是A1空间F X是Lindeloff空间.(因为任何一个离散空间是是 A1空间,但含不可数多个点的离散空间不是Lindeloff空间)107对度量空间X, X是A2空间u X是Lindeloff空间.必要性由定理5.3.1得,充分性是下面的定理:定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都是A2空间.证明设(X, d)是个Lindeloff的度量空间.对丁每一个k Z+ ,集族X是一个Lindeloff 空间,B =B (x, 1/k )
9、|x X 是X的一个开覆盖.由丁1所以B有一个可数子覆盖,设为B k = B(xki ,-)|i W ZkJ B k是一个可数族.以下证明B是X的一个基. k 二Z .?x£X和x的任何一个邻域U, ?£使得B(x, £)u U.由丁 B k是X的一个11覆盖,所以? B(xki,) B k使得x B(xki,),令k > 2/ &,则对任何y B( xki, -)有 d (x, y)1.x B(xki, k ) u U214d(x,xki) +d(xki,y)一 < 8,所以 B 以心,一)U B(x, ) 丁是证毕.据定理2.6.2可见B是
10、X的一个基.X有一个可数的基B ,故为A2空间.思考:可分性与Lindeloff 性有何关系?三 Lindeloff 空间的性质1 . Lindeloff空间不具有遗传性.例5.3.2 Lindeloff空间的子空间可以不是Lindeloff 空间的例子.设 X 是一个不可数集,z X.令 X =X-z , T =P (X1) U U P (X) | z U,U' 是可数集.容易验证T是X的一个拓扑.(请读者自己验证.)德州学院数学系点集拓扑教案拓扑空间(X, T )是一个Lindeloff 空间.因为如果A是X的一个开覆盖, 则存在AC A使得z A. 丁是A'是一个可数集.
11、对丁每一个x A,选取A x A 使得x A x 易见A U A x | x A' 是A的一个可数子覆盖.另外,由丁 T|xi= P (Xi) .因此Xi作为X的子空间是一个包含着不可数多个 点的离散空间.所以Xi不是一个Lindeloff 空间.2. Lindeloff空间对丁闭子空间是可遗传的定理5.3.4 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是 Lindeloff 空间.证明 设Y是Lindeloff 空间X的一个闭子空间,A是子空间Y的一个开 覆盖.则对丁每一个AC A,存在X中的一个开集Ua使得UaA Y=A 丁是 Ua|A A U 丫 是X的一个开覆盖,它有一个可数子
12、覆盖,设为 Uai , UA2 , , U 丫 (即使不包含丫,多加一个也无妨).这时易见, Ai , A2, , , 其中Ai= UAi AY, i Z+,便是A的一个(关丁子空间Y的)可数子覆盖.证毕.3. Lindeloff性质是连续映射下的不变性质,从而是拓扑性质,也是可商的性质.(见习题i)命题X和Y是两个拓扑空间,f : XtY是连续映射.如果X是一个Lindeloff空间,贝U f(X)也是一个Lindeloff 空间.证明 因为f : XtY是连续映射,由§3.i习题6知,f : Xtf(X)也连续.设B是f(X)的一个开覆盖,由连续知 BE B时,f-i(B) T
13、x,乂由定理i.6.4的 知 U f %B) = f * U B) = f 九 f (X ) = X ,可知 A =f-i(B) | B B 是 X 的B "BB :B开覆盖.因X是一个Lindeloff 空间,故A 有可数子覆盖Ai=f-i(Bi) | Bi B ,i e Z+,与此相应的,B有可数子族B i = BiC B| i Z+,因为U Bi= u ff"(Bi) = fU f'(Bi) = f(X),可见 B i 是 B 的(关丁Bi B iBi .B iBi .B if(X)的)可数子覆盖.故f(X)是一个Lindeloff 空间.i08德州学院数学系
14、点集拓扑教案*4. Lindeloff空间不具有有限可积性结论见习4* .以下是子空间都是Lindeloff 空间的拓扑空间一一当然这时该空间本身也是Lindeloff 空间的一个性质定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff 空间.如果 A匚X是一个不可数集,贝U A中必定包含A的某一个凝聚点,即AH d(A)丈.特别,如果X是一个满足第二可数性公理的空间,则X的每一个不可数子集 A中都包含着A的某一个凝聚点.证明 设AuX是一个不可数集.如果 A中没有A的凝聚点,则对丁每一个 a A,存在a在X中的一个邻域Ua ,使得Ua n A=a,这说明单点集a是子空 问A中的一个开集.从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间,它必然不是一个Linde1off空间,这与定理的条件矛盾.四各类拓扑空间关系表11维欧氏控间R15的子空间度Ain空空IB空间间UU 度量7T可分 或 Lindeloff可
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