3Lindeloff空间

1、德州学院数学系点集拓扑教案§ 5.3 Lindeloff 空间本节重点：Lindeloff 空间的定义；Lindeloff空间与第一（二）可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关丁连续映射的是否可保 持性.一 Lindeloff 空间的概念如果U a=B,贝U称集族AA定义5.3.1 设A 是- -个集族， B是- -个集合.A是集合B的一个覆盖，并且当A是可数族或有限族时，分别称集族 A是集 合B的一个可数覆盖和有限覆盖.设集族A是集合B的一个覆盖.如果集族A的一个子族A i也是集合B的 覆盖，则称集族A i是覆盖A （关丁集合B）的一个子覆盖.设X是一个

2、拓扑空间.如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集 B的一个覆盖，则称集族 A是集合B的一个开（闭）覆盖.在数学分析中读者所熟知的 Heine Borel定理告诉我们：实数空间R的子 集A是一个有界闭集当且仅当 A的每一个开覆盖都有有限子覆盖.因而具有“每 一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性.对丁这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论.但是另一方 面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中.这使我们有必要放松一点限制.定义5.3.2 设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个可数 子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelo

3、ff 空间.由定义可知，任何平庸空间是 Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间 是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个 Lindeloff空间.这 是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖.例5.3.1 ,包含着不可数多个点的可数补空间X是一个Lindeloff 空间,且X的每个子空间也是Lindeloff 空间.（例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理.）证明 设A是X的任意一个开覆盖.任意在A中取定一个非空集合 A.对 丁每一个x A',在A 中选取一个A x使得x A x

4、,由丁 A是可数集，所 以A的子族 A x A |x A x, x A' U A也是可数的，易见它也覆盖X.所 以包含着不可数多个点的可数补空间X是Lindeloff 空间.设YuX,下面证Y也是Lindefoff 空间.设A i是Y的任意一个开覆盖，则存在X的开集族A使A i = A | y .任 取一个A A ，则A U Y'是X的一个开集（因为AU Y'的补可数）,丁是A U A U Y' 是X的一个开覆盖.由丁 X是Lindefoff 空间，所以在A U AU Y' 中有一个可数子集族B是X的覆盖，不妨设B =Ai ,A2,A , -AU Y&#

5、39; 其中Ai ,A A , i=1,2,（注A U Y'若不在其内，则加进去也无妨），则B | y = AiA Y AH Y ,，衔 Y ,AH Yu A|y =A i,即 B | y 是 A 1 的可数 子覆盖.故Y是Lindefoff 空间.二Lindefoff性与第二可数性的关系定理5.3.lLindeloff 定理任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindeloff 空间.（即A2空间一定是Lindeloff 空间）证明 设拓扑空间X是A2空间，B是它的一个可数基.设A是X的一个开覆盖（注意，证这类问题的开头）.对丁每一个A A , 由丁 A是一个开集，所以存在BauB

6、，使得A=b? B,令B 1 = aW B a ,由丁 B 1是B的一个子族，所以是一个可数族.并且B=B=（ B）= A = XB.B1BE. B AA 三AB .B AA 三AA .A故B i也是X的一个覆盖.如果B B i,则存在A A使得B Ba,（因为A士己B ）因此B u A . 丁是对丁每一个B Bi;我们可以选定某一个B B AAb £ A 使得B u Ab , I己A i =Ab | B B 1,它是A的一个子族,并且 aE A =bAb n bE b = X ,所以A 1是A的一个子覆盖此外由丁 B 1是可数的，所以A 1也是可数的.丁是开覆盖 A有一个可数子覆盖

7、A 1 .这证明X是一个Lindefoff 空间.推论5.3.2满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空问.（即A2空间的子空间仍然是A2空间）特别，n维欧氏空间Rn的每一个子空间都是Lindeloff 空间.证明 由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论；第二句结论成立是因为Rn是A2空间.说明 定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X,由例5.3.1知它是Lindeloff 的，由例5.1.1知X不是A1空间，从而由定理5.1.3知X也不是A2空间.即：Lindeloff 空间 =/ A2空间.（2）推论5.3.2的逆命题都不成立.因为由例

8、 5.3.1知上述空间X的每个子空间都是Lindeloff 空间，但X不是A2空间.（3）X是Lindeloff 空间 寸 A1空间；（即中所说）X是A1空间F X是Lindeloff空间.（因为任何一个离散空间是是 A1空间，但含不可数多个点的离散空间不是Lindeloff空间）107对度量空间X, X是A2空间u X是Lindeloff空间.必要性由定理5.3.1得，充分性是下面的定理:定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都是A2空间.证明设(X, d)是个Lindeloff的度量空间.对丁每一个k Z+ ,集族X是一个Lindeloff 空间,B =B (x, 1/k )

9、|x X 是X的一个开覆盖.由丁1所以B有一个可数子覆盖，设为B k = B(xki ,-)|i W ZkJ B k是一个可数族.以下证明B是X的一个基. k 二Z .?x£X和x的任何一个邻域U, ?£使得B(x, £)u U.由丁 B k是X的一个11覆盖，所以？ B(xki,) B k使得x B(xki,)，令k > 2/ &，则对任何y B( xki, -)有 d (x, y)1.x B(xki, k ) u U214d(x,xki) +d(xki,y)一 < 8，所以 B 以心,一)U B(x, ) 丁是证毕.据定理2.6.2可见B是

10、X的一个基.X有一个可数的基B ,故为A2空间.思考：可分性与Lindeloff 性有何关系？三 Lindeloff 空间的性质1 . Lindeloff空间不具有遗传性.例5.3.2 Lindeloff空间的子空间可以不是Lindeloff 空间的例子.设 X 是一个不可数集，z X.令 X =X-z , T =P (X1) U U P (X) | z U,U' 是可数集.容易验证T是X的一个拓扑.(请读者自己验证.)德州学院数学系点集拓扑教案拓扑空间（X, T ）是一个Lindeloff 空间.因为如果A是X的一个开覆盖， 则存在AC A使得z A. 丁是A'是一个可数集.

11、对丁每一个x A,选取A x A 使得x A x 易见A U A x | x A' 是A的一个可数子覆盖.另外，由丁 T|xi= P （Xi） .因此Xi作为X的子空间是一个包含着不可数多个 点的离散空间.所以Xi不是一个Lindeloff 空间.2. Lindeloff空间对丁闭子空间是可遗传的定理5.3.4 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是 Lindeloff 空间.证明 设Y是Lindeloff 空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开 覆盖.则对丁每一个AC A，存在X中的一个开集Ua使得UaA Y=A 丁是 Ua|A A U 丫 是X的一个开覆盖，它有一个可数子

12、覆盖，设为 Uai , UA2 , , U 丫 （即使不包含丫，多加一个也无妨）.这时易见， Ai , A2, , , 其中Ai= UAi AY, i Z+，便是A的一个（关丁子空间Y的）可数子覆盖.证毕.3. Lindeloff性质是连续映射下的不变性质，从而是拓扑性质，也是可商的性质.（见习题i）命题X和Y是两个拓扑空间，f : XtY是连续映射.如果X是一个Lindeloff空间，贝U f（X）也是一个Lindeloff 空间.证明 因为f : XtY是连续映射，由§3.i习题6知，f : Xtf(X)也连续.设B是f(X)的一个开覆盖，由连续知 BE B时，f-i(B) T

13、x，乂由定理i.6.4的 知 U f %B) = f * U B) = f 九 f (X ) = X ,可知 A =f-i(B) | B B 是 X 的B "BB :B开覆盖.因X是一个Lindeloff 空间，故A 有可数子覆盖Ai=f-i(Bi) | Bi B ,i e Z+,与此相应的，B有可数子族B i = BiC B| i Z+,因为U Bi= u ff"(Bi) = fU f'(Bi) = f(X)，可见 B i 是 B 的(关丁Bi B iBi .B iBi .B if(X)的)可数子覆盖.故f(X)是一个Lindeloff 空间.i08德州学院数学系

14、点集拓扑教案*4. Lindeloff空间不具有有限可积性结论见习4* .以下是子空间都是Lindeloff 空间的拓扑空间一一当然这时该空间本身也是Lindeloff 空间的一个性质定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff 空间.如果 A匚X是一个不可数集，贝U A中必定包含A的某一个凝聚点，即AH d(A)丈.特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集 A中都包含着A的某一个凝聚点.证明 设AuX是一个不可数集.如果 A中没有A的凝聚点，则对丁每一个 a A,存在a在X中的一个邻域Ua ,使得Ua n A=a,这说明单点集a是子空 问A中的一个开集.从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾.四各类拓扑空间关系表11维欧氏控间R15的子空间度Ain空空IB空间间UU 度量7T可分 或 Lindeloff可