南京工业大学高等数学ch110

1、第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质前页后页返回机动第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质n一、最值定理一、最值定理 n二、有界性定理有界性定理n三、介值定理三、介值定理n四、内容小结四、内容小结返回前页后页返回机动一、一、最值定理最值定理 定理定理1 1 在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(bacxf则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.在该区间上一定有最大(证明略)的的条条件件能能否否放放宽宽？定定理理思思考考： 1 yx0ab12)(xfy 前页后页返回机动例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最

2、小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 前页后页返回机动,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mm 由定理 1 可知有, )(max,xfmbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(bacxf,)(mxfm有上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 二、有界性定理二、有界性定理 前页后页返回机动三、介值定理三、介值定理定理定理3 ( 零点定理 ), ,)(bacxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 证明略 )( ( 介值定理介值定理 ) )设 , ,

3、)(bacxf且,)(aaf,)(babbf则对 a 与 b 之间的任一数 c ,一点, ),(baabxoya)(xfy bc使.)(cf至少有证明推论推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .前页后页返回机动的的正正根根。过过有有不不超超证证明明三三次次代代数数方方程程例例 1 0 1 23xx1验证根存在。找隔根区间；作辅助函数；方法： 3 2 1 oooxy0ab)(xfy 1 23 xxxf)(令令证：证：上连续，上连续，在在显然显然 10 ,)(xf0 11 0 10 )()(ff，且且0 10 )(),(f使使，则由零点定理知，则由零点定理知，。即为方程满

4、足题意的根即为方程满足题意的根 x前页后页返回机动0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 , 设设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxf, 则,)(bacxf)()(21xfxf)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xfxf故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(f即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x

5、或2x, 则有)()()(21xfxff证明:返回前页后页返回机动四、内容小结四、内容小结返回则设, ,)(bacxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba前页后页返回机动返回1. 任给一张面积为 a 的纸片(如图), 证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.xoy则面积函数,)(cs因,0)(sas)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0as使)(s, 2,0)(acxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff 设设一点前页后页返回机动( 介值定理介值定理 )设 , ,)(bacxf且,)(aaf,)(babbf则对 a 与 b 之间的任一数 c ,一点, ),(ba