信号与系统第二章

1、第 2 章 连续信号与系统的时域分析 2.0 引引 言言2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 2.2 卷积积分卷积积分 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 2.0 引引 言言 信号与系统分析的信号与系统分析的基本任务基本任务： 在给定系统和输入的条件下，求解系统的在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。输出响应。2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号1、奇异信号、奇异信号 阶跃函数阶跃函数(t) 和冲击函数和冲击函数(t

2、)都是奇异信号都是奇异信号。2、正弦信号、正弦信号 f(t)=Asin(wt+) 其中 T=2/wA Atf (t)oT图 2.1 1 正弦信号 【注意】：正弦信号与指数信号的重要关系：欧拉公式2)cos(2)sin(jwtjwtjwtjwteewtjeewt3、指数信号、指数信号1）普通指数信号f(t)=a-t2）复指数信号 f(t)=ejwt注意复平面上的几个特殊点 欧拉公式欧拉公式：ejwt=cos(wt)+jsin(wt) 4、抽样信号Sa(t)=sin(t)/(t) 另外： sinc(t)=sin(t)/(t) =Sa(t)n特点：特点：1.是偶函数偶函数；2.过零点：3.4.nt,

3、2,dttSadttSa)(2)(0sin()sin ( )tc tt5、门函数、门函数2| , 02| , 1)(tttg图2：门函数的波形6、单位斜变信号、单位斜变信号其中：对一个信号积分记为：)(0,0, 0)()(1trtttdttdftft)()(17. 符号函数符号函数 定义 sgn(t) 1 0 可用阶跃信号表示可用阶跃信号表示 -1 1(0)sgn( )0(0)1(0)ttttsgn( )2 ( )1tt8.复指数信号复指数信号n复指数信号是指数因子为复数的指数信号，其表示式为:n 是复频率 的实部， 是其虚部。上式用欧拉公式展开后，有n指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度的指数

4、变化情况， 时指数增长， 时指数衰减。指数因子的虚部 表征了正弦振荡的角频率。 jsKetfst其中,)(stjKetKeKetftttjsincos)(00n复指数信号是指数因子为复数的指数信号，其表示式为:n 是复频率 的实部， 是其虚部。上式用欧拉公式展开后，有n指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度的指数变化情况， 时指数增长， 时指数衰减。指数因子的虚部 表征了正弦振荡的角频率。 jsKetfst其中,)(【例例】：写出下图波形的函数表示式解解：用基本信号表示为f(t)=2(t)-(t-1)+(t-1)-(t-2)+(-t+3)(t-2)-(t-3) = (t)+(-t+2)(t-2)-

5、(-t+3)(t-3) )()()(21tftftf2.2 卷积积分卷积积分2.2.1 卷积的定义卷积的定义已知定义在区间已知定义在区间(-，)上的两个函数上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分为为f1(t)和和f2(t)的卷积的卷积 (Convolution)， 简记为简记为 dtfftf)()()(21 即即 : 注意注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变 量，t为参变量。 积分的结果仍为t的函数。 dtfftftftg)()()()()(2121 2.2.2 卷积的图解法卷积的图解法例：两个矩形波例：两个矩形波f1(t)与与 f2(t) 如图所示：如图所示：12t

6、f1(t)c1tf2(t) 01)(1tf20 t其它 0)(2ctf10 t其它求解求解 f1(t) f2(t) dtfftftftg)()()()()(2121解：解：1、变量置换：、变量置换：12 f1( )c1 f2( )2、反转：、反转：c-1 f2(- )03、平移：、平移：c-1 f2(- )0将将f(- )沿时间轴沿时间轴 平移平移t，t为参变量为参变量c-1 f2(t- )0tt-1t0时向右平移，时向右平移，t0时向左平移时向左平移c-1 f2(t- )0tt-1)()(22 tftf随随t取值不同，取值不同，f2(t- )出现在不同位置出现在不同位置4、相乘：将、相乘：将

7、f1( )和和 f2(t- )相乘相乘12 f1( )c f1( )f2(t- )0tt-15、积分、积分c f2(t- )0tt-1c f1( )f2(t- )0tt-1阴影的面积，即阴影的面积，即g(t)的值，是的值，是一个一个t的函数的函数12 f1( )f1( ) f2(- ) 012 f1( )c-1 f2(- )0c1 f2(1- )0f1( ) f2(1- ) 0112 f1( )c1 f2(2- )0f1( ) f2(2- ) 0212 f1( )c3 f2(3- )0f1( ) f2(3- ) 0g(t)t21c12 f1( )g(t)t21以上可以归纳为下列情况以上可以归纳

8、为下列情况：f1(t) f2(t)可见，卷积过程可分解为四步：可见，卷积过程可分解为四步： 1）换元，）换元，t换成换成 f1(), f2() ； 2）反转平移，由）反转平移，由f2() 反转反转 f2(-)； 3）相乘，）相乘，f1() f2(t-)； 4）积分，）积分，从从-到到对应项相乘积分对应项相乘积分注意注意：t为参变量为参变量例：例：1( )2( )tf tet2( )( )(2)f ttt求 dtfftg)()()(21（1）、图解法）、图解法2f1( ) 20f2( ) 210f2(- ) 210首先将首先将f2( )反褶反褶再将再将f2(- )沿沿 轴平移轴平移tf2(t-

9、) t10t-2用图解法进行分段积分，求出用图解法进行分段积分，求出g(t)2f1( ) 20f2(- ) 210f1( ) f2(- ) 02f1( ) 20f2(1- ) 1102f1( ) 201f1( ) f2(1- )02 f2(2- ) 2102f1( ) 202f1( ) f2(2- )02 f2(3- ) 31031f1( ) f2(3- ) 0g(t)t0以上可以归纳为下列情况：以上可以归纳为下列情况：2f1( ) 20g(t)t0f1(t) f2(t)当当t0时，时，f1( )f2(t- )=0，所以，所以g1(t)=0当当0 t 2时，时，f1( )与与f2(t- ) 有

10、部分重迭，有部分重迭，积分限积分限 0t，g2(t)为：为： dtfftgt)()()(2012 tde012 )1(2te 当当2 t 时，时，f2(t- ) 完全落在完全落在f1( )上，积上，积分限分限 t-2t，g3(t)为：为： ttdetg2312)( ) 1(22 eet对以上结果用一个函数表达：对以上结果用一个函数表达：( )2(1) ( )(2)tg tett22(1) (2)te et练习：练习：1、已知两函数、已知两函数f1(t),f2(t)的波形如图所示，用图解法求的波形如图所示，用图解法求f(t)=f1(t)*f2(t)2：已知两函数：已知两函数f1(t),f2(t)

11、的波形如图所示，求的波形如图所示，求f(t)=f1(t)*f2(t)2.2.3 卷积性质卷积性质一、卷积代数一、卷积代数满足乘法的三律：满足乘法的三律：1. 交换律交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3. 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) )(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t

12、t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 证：证：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证：

13、上式证：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0

14、显然是错误的显然是错误的。例例 2.2 2 计算常数计算常数K与信号与信号f(t)的卷积积分。的卷积积分。 解解: 直接按卷积定义， 可得 )()()()(波形的净面积tfKdKfKtftfK常数常数K与任意信号与任意信号f(t)的卷积的卷积值等于该信号波形净面积值的波形净面积值的K倍倍。 如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致 dfKdtdtfKt)()(例例2：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttftttt解法一解法一： f1(t)* f

15、2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) f 1(t)t201解解： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(

16、t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t)t201利用时移特性，有利用时移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2)f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 例 2.2 3 计算下列卷积积分： 02(1) (1)(2)(2)(1)(2)3( )( )()4( )(1)(36)ttttty tf ttty tttt （ ）（ ）( )* ( )( )tttt特例：例：冲击函数与信号函数卷积，就是复制信号例：冲击函数与信号函数卷积，就是复制信号又如：f 1(t)toto T2 TT2Tcomb

17、T(t)to T2 TT2TfT(t)(a)(b)(c)求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用三者常常结合起来使用2.2.4 常用信号的卷积公式常用信号的卷积公式 表 2.1 常用信号的卷积公式 练习：P82 2.3 （1）P82 2.7 （1）（3）（4）2.3 系统的

18、微分算子方程系统的微分算子方程 1、 微分算子和积分算子微分算子和积分算子 连续动态系统的输入输出方程为微分方程。如：连续动态系统的输入输出方程为微分方程。如：tdpdtdp()1(1) 微分算子微分算子 引入微分算子引入微分算子:（2）积分算子）积分算子tdpdtdp()1则，微分方程可改写为：则，微分方程可改写为：(3)(3)微分算子微分算子P P的几个运算性质的几个运算性质 性质性质1 H(P)多项式可以进行展开和因式分解。例如：多项式可以进行展开和因式分解。例如： )()2)(2()()4()()65()() 3)(2(22tfpptfptypptypp性质性质2 设设A(p)和和B(

19、p)是是p的正幂多项式，的正幂多项式， 则则 )()()()()()(tfpApBtfpBpA 性质性质3 微分算子方程等号两边微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消的公因式不能随便消去。去。 例如，方程例如，方程 )()(tpftpy解：y(t) f(t)，而是：ctfty)()(例： )()()()(tfaptyapy(t)与f(t)的关系为：atcetfty)()(性质4 所以：运算时最好先积分后微分所以：运算时最好先积分后微分2、LTI系统的微分算子方程系统的微分算子方程 某系统的微分方程为某系统的微分方程为y(t)+5y(t)+7y(t) =8f (t)+3f(t),用微分算子表示

20、为：用微分算子表示为： (P2+5P+7)y(t)=(8P+3)f(t) 它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称的传输作用，故称H(p)为为响应响应y(t) 对激励对激励f(t)的传输算子或系的传输算子或系统的传输算子。统的传输算子。 它是描述系统特性的表达式。它是描述系统特性的表达式。进一步将上式改写为：进一步将上式改写为：)()()(PAPBPH即：图图 2.3 1 用用H(p)表示的系统输入输出模型表示的系统输入输出模型 H(p)f (t)y(t)例例 2.3 1 设某连续系统的传输算子为设某连续系统的传输算子为试

21、写出系统的输入输出微分方程，并画出系统框图。试写出系统的输入输出微分方程，并画出系统框图。4322)(23PPPPPH解：令系统输入为解：令系统输入为f(t) ，输出为，输出为y(t)(4322)()()(23tfPPPPtfPHty则：)()2()()32(23tfPtyPPP整理得：)(2)()(4)(3)(2)(tftftytytyty输入输出方程为：（2）画系统框图 例例2.3-2 某连续系统如下图所示，写出该系统的传某连续系统如下图所示，写出该系统的传输算子。输算子。y(t)f (t) 5 3 24x(t)x (t)x (t)图 2.3 2 例2.3 - 2图 练习：nP842.10

22、 (4) 并画出系统框图2.2.3、电路系统算子方程的建立、电路系统算子方程的建立 电路基本元件（电路基本元件（R,L,C）的伏安关系为：）的伏安关系为：电阻电阻R U=RI电感电感L U(t)=Ld i(t)/dt 或或u(t)=LPi(t)电容电容C因此，如果把电感，电容当成类电阻用，电因此，如果把电感，电容当成类电阻用，电感的感的电阻电阻RL=LP，Rc=1/(PC)(1)()(1)(tiPCtudiCtut，或 例例 2.3-3 电路如图所示，试写出电路如图所示，试写出u1(t)对对f(t)的传输的传输 算子算子。 解：将电感、电容写成类电阻形式如图(b)由节点电压法列方程得例：下图是

23、一个电路系统。写出在电压源例：下图是一个电路系统。写出在电压源us1(t)的激励下，的激励下，响应响应us2(t)的输出传输算子。的输出传输算子。总结总结：明确系统微分方程、系统框图和传输算子之明确系统微分方程、系统框图和传输算子之间的转换关系间的转换关系2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 1、系统初始条件、系统初始条件 根据线性系统的分解性，根据线性系统的分解性，LTI系统的完全响应系统的完全响应y(t)可分解为可分解为零输入响应零输入响应yx(t)和和零状态响应零状态响应yf(t)，即，即 )()()(tytytyfx对对t=0时接入激励时接入激励f(t)的系统，分别令的系统

24、，分别令t=0-和和t=0+，可得，可得 )0()0()0()0()0()0(fxfxyyyyyy对于因果系统，由于激励在对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0+)=yx(0-)。因此，可得如下初值关系因此，可得如下初值关系 同理，可推得y(t)的各阶导数满足 )0()0()0()0()0()0()()()()()()(jxjjjxjxjyyyyyy求解微分方程求解微分方程现代系统理论：采用现代系统理论：采用0-初始条件初始条件传统经典解法：采用传统经典解法：采用0+初

25、始条件初始条件 对于实际系统，对于实际系统，0-初值条件容易得到。我们通常采用初值条件容易得到。我们通常采用现代系统理论法求解微分方程。现代系统理论法求解微分方程。 若要采用传统的经典解法应先由若要采用传统的经典解法应先由y(0+)=y(0-)+yf(0+)求求得得y(0+).2、零输入响应算子方程、零输入响应算子方程 设系统的算子方程为 )()()()(tfpBtypA 称称A(P) 为系统的特征多项式，称为系统的特征多项式，称A(P)=0为系统的特为系统的特征方程，其根为系统的特征根。而由征方程，其根为系统的特征根。而由yx(t)的定义，可得的定义，可得0)()(typAx0t3、简单系统

26、的零输入响应、简单系统的零输入响应 （1） 若若A(p)=p- ，则则yx(t)=c0et。 （2）若A(p)=(p-)2，则 yx(t)=(c0+c1t)et。 trrxretctctcctyppA)()()()(112210若其中C0，C1可由初始条件求得。4、一般系统的零输入响应、一般系统的零输入响应 LTI连续系统零输入响应的求解步骤是连续系统零输入响应的求解步骤是（1）将）将A（p）进行因式分解，求出特征根。）进行因式分解，求出特征根。（2）应用简单系统的）应用简单系统的yx(t)，求出第，求出第i个根对应的零输入响应个根对应的零输入响应yxi(t)（3）将所有的）将所有的yxi(t

27、) (i=1,2,l)相加，得到系统的零输入响应相加，得到系统的零输入响应即：即：（4）根据给定的零输入响应初始条件或者）根据给定的零输入响应初始条件或者0-系统的初始条件，确定系统的初始条件，确定各常系数各常系数lixixtyty1)()(【注意】：零输入响应只与A(P)有关，与B(P) 无关，故H(P)中的分子分母公共因子不能相约。 例：描述某系统的微分方程为例：描述某系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t),已知已知y(0-)=2, y(0-)=0,求系统的零输入响应。求系统的零输入响应。 解题思路：先得到系统的微分算子方程，再根据求解解题思路：先得到系统

28、的微分算子方程，再根据求解步骤即可求得步骤即可求得例例 2.4-2 电路如图 (a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1， R2=5，C=0.25 F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6 V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t0时的零输入响应iLx(t)。 is(t)iL(t)2pp4is(t)iL(t)Lis(t)iL(t)uC(t)+-R2R1CuC(0-)R2R1uL(0-)+-iL(0-)图2.4-1+-(a)(b)(c)5 1 t=0-时的等效电路如图c所示is(t)iL(t)2pp4is(t)iL(t)Lis(t)iL(t)uC(t)+-R2R1CuC

29、(0-)R2R1uL(0-)+-iL(0-)图2.4-1+-(a)(b)(c)5 1 课堂练习：P83 2.14 2.15 P85 2.17并画出框图 2.18 (1) 并画出框图2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 n“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为，n用p(t)表示为：f(0) p(t)n“1”号脉冲高度f() ,宽度为 ，用p(t - )表示为：nf() p(t - )n“-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为，用p(t +)表示 为： f ( - ) p(t + )nntpnftf)()()(dtftftf)()()()(lim02.5.1 连续信号的连续信号的(t)分解分解

30、分析上式可知，任何一个连续信号分析上式可知，任何一个连续信号f(t)都可分解都可分解为为(t)这一基本信号的线性组合。这一基本信号的线性组合。 由卷积运算性质，有任一连续信号由卷积运算性质，有任一连续信号f(t)与单位冲激信号与单位冲激信号(t)卷积运算的结果等于信号卷积运算的结果等于信号f(t)本身本身，即，即 dtfttftf)()()()()(2.5.2 基本信号基本信号(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 1. 冲激响应冲激响应 由单位冲激信号由单位冲激信号(t)所引起的零状态响应所引起的零状态响应称为单位冲称为单位冲激响激响 应，简称冲激响应，记为应，简称冲激响应，记为h(t)

31、 。 LTI系统H(p)h(t) (t)x(0)0式子表示为：h(t)=Tx(0-)=0,f(t)= (t) 2. 冲激响应的计算冲激响应的计算 与求解零输入响应方法类似，复杂与求解零输入响应方法类似，复杂LTI系统可系统可以分解为多个简单系统的线性组合。以分解为多个简单系统的线性组合。求解时，先研究若干简单系统的冲激响应，再求解时，先研究若干简单系统的冲激响应，再在此基础上推导出一般系统冲激响应的计算步骤。在此基础上推导出一般系统冲激响应的计算步骤。 （1）当系统的初始状态为零时，当系统的初始状态为零时，y(t)为零状态响应，微分方程为为零状态响应，微分方程为 )()()(tKftytyff

32、根据根据h(t)的定义，若在上式中令的定义，若在上式中令f(t)=(t)，则，则yf(t)=h(t)，所以有，所以有 )()()( tKthth)()()(tKethpKpHt这是关于这是关于h(t)的一阶微分方程，的一阶微分方程， 容易求得容易求得 )()(tKetht于是 )()()(tKethpKpHt式中，符号式中，符号“”表示表示“系统系统H(p)对应对应的冲激响应的冲激响应h(t)为为”。 特例：当特例：当n=0时，时，H(P)=1 h(t)=(t)* 其他其他H(P)与与h(t)对应关系如课本对应关系如课本P70 表表2.4)()()()(2tKtethPKPHt（2）)()()

33、()(tthPPHnn（3）综上所述，可以得到计算系统冲激响应综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是：的一般步骤是： 例：描述某系统的微分方程为例：描述某系统的微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t) =f (t)+ 2f (t)+3f(t)，求其冲激响应，求其冲激响应h(t)。解：系统微分算子方程为解：系统微分算子方程为: (P2+5P+6)y(t)=(P2+2P+3)f(t)362316532)(22PPPPPPPH)(636);(323; )(132tePtePttt)()63()()(32teetthtt例例 2.5-1 描述系统的微分方程为 )(6)(10)(6)(

34、)(4)(8)(5)()1()2()3()1()2()3(tftftftftytytyty求其冲激响应h(t)。 解解 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为 )()6106()()485(2323tfppptyppp则有： 练习：练习：求下列各系统的冲激响应。（1）y(t)+4y(t)+3y(t)=f(t);（2）y(t)+4y(t)+4y(t)=f (t)+3f(t); P85 2.19 （1） 2.5.3 一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 图图 2.5-4 系统的零状态响应系统的零状态响应 LTI系统h(t)yf(t)f (t) 为了叙述方便，我们采用如下

35、简化符号为了叙述方便，我们采用如下简化符号： )()(tytff(t)yf(t)(*)()()()(thtfdthftyf因此，线性连续信号在一般信号因此，线性连续信号在一般信号f(t)激励下的激励下的零状态响零状态响应为：应为：2.5.4 零状态响应的另一个计算公式零状态响应的另一个计算公式 1. 连续信号的连续信号的(t)分解分解根据卷积运算的微积分性质，有 )()( )()( )()()(ttfdxxtfttftft按照卷积运算的定义，信号f(t)可表示为 dtftf)()( )( 上面在f(t)=f(t)*(t)的基础上，应用卷积的微积分性质得到了(t)分解公式。如果在该式的基础上，再

36、应用一次卷积的微积分性质，可得到单位斜变信号t(t) 形式的分解公式，即 dttftttftf)()( )()()()( 2. 系统的阶跃响应系统的阶跃响应 一个LTI连续系统，在基本信号(t)激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应阶跃响应，通常记为g(t)。 按照g(t)的定义，)()()(thttg再根据卷积运算的微积分性质和(t)的有关性质， 有 dhdhtdhtdtdtgttt)()()()()()(所以阶跃响应g(t)与冲激响应h(t)之间的关系为 dhtgt)()(或者 dttdgth)()(3. 利用利用g(t)计算零状态响应计算零状态响应 总结总结：有两种方法可求yf(t)(

37、*)()(thtftyf例1：如图所示的LTI系统，求其冲激响应和阶跃响应。解： (1)由方框图可得系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=-f (t)+2f(t)2413232)(2PPPPPPH)(3)(131tethPt)(4)(2422tethPt)()43()(2teethtt)()()2() 1(thtg 例例 2.5-3 某LTI连续系统N有A、B、C三部分组成，如图2.5-6所示。已知子系统A的冲激响应，子系统B和C的阶跃响应分别为gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t (t) ， 系统输入f(t)=(t)-(t-2)，试求系统N的冲激响应、阶跃响应

38、和零状态响应。 )(21)(4tethtA图图 2.5-6 例例2.5-3图图 ABCNy(t)f(t)解解 (1) 系统N的冲激响应。设子系统B、C的冲激响应为hB(t)和hC(t)，由冲激响应与阶跃响应的关系可得 按照冲激响应的定义，它是f(t)=(t)时系统的零状态响应， 故由图2.5-6可知， 系统N的冲激响应为 (2) 系统N的阶跃响应。设系统N的阶跃响应为gN(t)，根据冲激响应与阶跃响应的关系， 有 )()()4()()4()()(444teedeedeedhtgtttttNN(3) 系统的零状态响应。系统的零状态响应。方法一：查卷积运算公式计算得：方法二方法二 已经求得系统的阶

39、跃响应 )()()(4teetgttN根据阶跃响应的定义及系统的激励f(t)=(t)-(t-2)。 可利用阶跃响应和系统的线性、时不变特性直接求得 例例 2.5-4 已知某连续系统的微分方程为 )(3)( 2)(2)( 3)(tftftytyty若系统的初始条件y(0-)=y(0-)=1，输入f(t)=e-t(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。 解：解： 则：所以：初值条件代入得：联立解得C10=3，C20=-2。因此(2) 零状态响应。按附录A方法将H(p)展开为 (3) 完全响应：y(t)=yx(t)+yf(t)例例 2.5-5 描述某LTI系统的

40、微分方程为 1)0()0()0( 3)0()0()0(fxfxyyyyyy)(6)( 2)(2)( 3)( tftftytyty解解 满足t=0+时刻的条件式为： 已知f(t)= (t),y(0+)=3,y(0+)=1，求该系统的零输入响应和零状态响应。分析分析：由这个式子无法得到yx(0+)的值即无法求得 yx(t)，可先求出与初值无关的零状态响应。写出系统传输算子，并进行部分分式展开，有 由上式可求得yf(0+)=0，yf(0+)=2。进一步求得yx(0+)=3，yx(0+)=-1。 本例中，A(p)=p2+3p+2。可得系统的零输入响应为 例例 2.5-6 已知某LTI连续系统的冲激响应

41、h(t)=(t)-(t-1)，输入f(t)=(t+2)-(t-2)。 若以t=0为初始观察时刻，试求系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，并画出波形。 解解 以初始观察时刻t=0为时间分界点，将输入区分为历史输入f1(t)和当前输入f2(t)，即 所谓零输入响应，是指历史输入f(t)作用于系统，在t0区间上产生的响应， 即 作业： P86 2.21，2.23，2.252.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 对于连续系统 A(P)y(t)=B(P)f(t)按照微分方程的经典解法，其完全解y(t)由齐次解yh(t)和特解yp(t)两部分组成， 即 )()()(tytyty

42、ph1. 齐次解齐次解 齐次解齐次解yh(t)是下面齐次微分算子方程的解是下面齐次微分算子方程的解满足满足0+初始条件初始条件y (j) (0+)(j=0, 1, , n-1)的解。的解。可见，求解齐次解可见，求解齐次解yh(t)的方法也与求解零输入响应的方法也与求解零输入响应yx(t)一一样分四步进行。样分四步进行。 yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。的函数形式由上述微分方程的特征根确定。齐次解的函数形式如下表所示。齐次解的函数形式如下表所示。0)()(typAh表表 2.3 特征根及其相应的齐次解特征根及其相应的齐次解 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。（2）特解微分方程的特解与输入函数形式有关。输入信号代入微分算子方程后，右边的函数式称为“自由项”。特解的形