【研究生应用数学基础】3.度量空间ppt课件

1、第一章集合上的数学构造第一章集合上的数学构造 3. 3.度量空间度量空间3.3.度量空间度量空间一、度量空间的定义和例一、度量空间的定义和例度量空间的定义度量空间的定义;lp;lp空间空间,Ca,b,Ca,b空空间间二、度量空间的拓扑构造二、度量空间的拓扑构造度量拓扑、开集、闭集、闭包、稠度量拓扑、开集、闭集、闭包、稠密密三、延续映射三、延续映射一致延续、一致延续、LipschitzLipschitz延续、序列延续、序列收敛收敛四、完备性四、完备性 一、度量空间的定义和例一、度量空间的定义和例定义定义3.1 3.1 设设V V是一非空集合是一非空集合, ,其中元素称其中元素称为为点点, ,:V

2、:VV VR R是非负泛函是非负泛函, ,满足满足: : (1) (1)x,yx,yV,V,(x,y)0;(x,y)0; (x,y)=0(x,y)=0 x=y(x,yx=y(x,yV).V). (2) (2)(x,y)=(x,y)=(y,x)(x,y(y,x)(x,yV).V). (3)(3)(x,z)(x,z)(x,y)+(x,y)+(y,z)(x,y,z(y,z)(x,y,zV).V).那么称那么称是是V V上的间隔函数或度量上的间隔函数或度量, ,V,V, 称为度量空间称为度量空间. .o设设V,V, 是度量空间是度量空间,A,AV.V.o点点x x到到A A的间隔以的间隔以(x,A)(

3、x,A)表示表示, ,定义为定义为o (x,A)=Inf(x,A)=Inf(x,y)|y(x,y)|yA.A.oV V的子集的子集A A的直径的直径dia(A)dia(A)定义为定义为o 当当A=A=时时,dia(A)=0;,dia(A)=0;o 当当A A时时,dia(A)=Sup,dia(A)=Sup(x,y)|x,y(x,y)|x,yA.A.oV V中子集中子集A A称为有界集称为有界集, ,o假设存在常数假设存在常数M0,M0,使使o dia(A)M. dia(A)M.o设设S SV,V,|S:S|S:SS SR R是是在在S S上的限制上的限制, ,o它仍满足度量三公理它仍满足度量三

4、公理, ,因此因此S,S,|S|S是度量量空是度量量空o间间, ,称之为称之为V V的子度量空间的子度量空间. .q例例3.1 3.1 x,yx,yR,xR,x与与y y的间隔定义为的间隔定义为q (x,y)=|x-y|,(x,y)=|x-y|,q它满足度量三条公理它满足度量三条公理. .q实践上实践上, ,q(1)(1)x,yx,yR,R,(x,y)=|x-y|0;(x,y)=|x-y|0;q (x,y)=|x-y|=0(x,y)=|x-y|=0 x=y.x=y.q(2)(2)x,yx,yR,R,(x,y)=|x-y|=|y-(x,y)=|x-y|=|y-x|=x|=(y,x).(y,x).

5、q(3)(3)x,y,zx,y,zR,R,q(x,z)=|x-z|x-y|+|y-z|(x,z)=|x-z|x-y|+|y-z|q = =(x,y)+(x,y)+(y,z).(y,z).q例例3.2 3.2 设设V V是是R R上线性空间上线性空间, ,在在V V上定义上定义内积内积q ( , ):V ( , ):VV VR,R,满足满足: : (1)(1)x xV,(x,x)0;(x,x)=0V,(x,x)0;(x,x)=0 x=x=qq. . (2)(2)x,yx,yV,(x,y)=(y,x).V,(x,y)=(y,x). (3)(3)k kR,x,yR,x,yV,(kx,y)=k(x,y

6、).V,(kx,y)=k(x,y). (4)(4)x,y,zx,y,zV.(x+y,z)=(x,z)+(y,z).V.(x+y,z)=(x,z)+(y,z). 那么称那么称V V是欧氏空间。是欧氏空间。x xV V的长度定义为的长度定义为 ),(xxx=x, yVx, yV两点间的间隔定义为两点间的间隔定义为 d(x,y)=x-y= d(x,y)=x-y=),(yxyx可以证明：可以证明：d d满足度量三公理，从而满足度量三公理，从而V,dV,d是度量空间。是度量空间。 首先证明首先证明: :x,yx,yV,V,有有CauchyCauchy不等式不等式 |(x,y)|xy. |(x,y)|xy

7、. 当当y=y=qq时时, ,上式显然成立上式显然成立. . 设设y yqq,t,t为实数为实数, ,置置 z=x+ty z=x+ty 那么不论那么不论t tR R取何值取何值, ,都有都有 (x+ty,x+ty)0, (x+ty,x+ty)0, 即即 (x,x)+2(x,y)t+(y,y)t20. (x,x)+2(x,y)t+(y,y)t20. 特别取特别取),(),(yyyxt那么有那么有0),(,(),()2yyyxxx 由于由于 (x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) (x,x)+2xy+(y,y) =(x+y)2 从而有从而有 x+yx+y. 设设=x-y,=y-z

8、(x,y,zV),那么有那么有 + 即即 x-zx-y+y-z 从而有从而有 d(x,z)d(x,y)+d(y,z)例例3.3 3.3 实数域实数域R R上的上的n n维向量空间维向量空间 Rn=(x1,x2,Rn=(x1,x2,xn)T|xi,xn)T|xiR,1in,R,1in,取取 x x =(x1,x2,=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T,yn)TRnRnx x与与y y的内积为的内积为 (x,y)=yTx=x1y1+x2y2+ (x,y)=yTx=x1y1+x2y2+xnyn+xnyn度量为度量为.),(12)(niyxiiyxd此外，在

9、此外，在RnRn上还可以定义其它度量，例如上还可以定义其它度量，例如|;|),(11yxdiniiyx |.),(max|1yxdiniiyx显然它们都满足度量公理显然它们都满足度量公理(1)(1)和和(2).(2).只需验证只需验证公理公理3 3。而。而|),(1111niiiiniiniiizyyxzxdzx =d1(x,y)+d1(y,z). =d1(x,y)+d1(y,z).由于由于|maxmax11zyyxzyyxzxiniiiniiiiiiii因此因此. |maxmax|max111zyyxzxiniiiniiinii即即 d d(x,z)d(x,z)d(x,y)+d(x,y)+d

10、(y,z).(y,z).例例3.4 Ca,b3.4 Ca,b是是R R上的线性空间。上的线性空间。f,gf,gCa,bCa,b，f f与与g g的内积定义为的内积定义为badxxgxfyx)()(),(那么那么Ca,bCa,b是欧氏空间，其度量为是欧氏空间，其度量为.)()(),(2badxxgxfgfd例例3.5 3.5 思索思索lplp空间空间(1p(1p) )。,| ),(|121Cxxxxxlipiinp x=(x1,x2, ),y=(y1,y2, ) lp，它们之间间隔，它们之间间隔为为|/11|),(ppiiiyxyx显然它满足度量公理显然它满足度量公理1和和2。 下面将证明，它也

11、满足度量公理下面将证明，它也满足度量公理3，从而从而 lp,是度量空间。是度量空间。设设p,qR(1p),. 111qp先证先证Hlder不等式：不等式：)|)|11111|(|(|qpqniipniiiniiyxyx这里，这里，(x1,x2,xn)T,(y1,y2,yn)TRn.先证不等式先证不等式).,(11Rbabaqbpaqp思索思索01,那么函数那么函数 x)=xx(0 x)的导数为的导数为 x)=(x11)它在它在0 x1为负。为负。因此，因此，(x)在在x=1取最大值。取最大值。所以所以 x)(1)=1(0 x)于是，于是，xR+，有，有 xx+(1)得到代入上式并乘以特别取,b

12、bax .)1 (1baba从而则置,11,1qp.11qbpabaqp下面证明下面证明Hlder不等式。不等式。 niqqknippkyybxxaikik11|,取取那么那么有有|)|)|1111|1|1|(|(|11qiniqknipipkniqiknipikyyxxyyxxqpqp于是有于是有. 111|1|1|(|(|1111111|)|)|11qpqpniqinkqknipinkpknkniqniipikkyyxxyxyxqp即得即得Hlder不等式不等式)|)|11111|(|(|qpqniipniiiniiyxyx由由Hlder不等式可推出不等式可推出Minkowski不等式：不

13、等式：假设假设1p0, 自然数自然数N,当当nN时有时有 d(xn,x)N时有时有 (xn,x)1令令M=1+max(x1,x),(xN,x),1,那么那么对一对一切切nN,有有 M2)x,x()x,x()x,x(mnmn 设设, xxlimnn . yxlimnn 由于由于)n(0)y,x()x, x()y, x(nn 所以，所以，. yx, 0)y, x( 即二、度量空间拓扑构造二、度量空间拓扑构造v度量空间中开球的定义度量空间中开球的定义v度量空间中集合的内点、内部等概念度量空间中集合的内点、内部等概念v度量空间中开集、闭集、极限点、导集度量空间中开集、闭集、极限点、导集v 闭包等概念闭

14、包等概念v度量空间中闭集的充要条件度量空间中闭集的充要条件v度量空间中开集的特征；闭集的特征度量空间中开集的特征；闭集的特征v度量空间中序列收敛的条件度量空间中序列收敛的条件定义定义3.2 设设V，是度量空间，是度量空间，xV,rR+.集合集合 Br(x)=yV|(x,y)N时时xnB (x).证明证明: ) 0,B (x)=y V| (x,y)N时有，时有，xn B (x),即即xxlimnn (xn,x)0,0,存在存在 = = (x0,(x0, )0,)0,使使当当d(x,x0)d(x,x0) 时有时有 (F(x),F(x0)(F(x),F(x0)0,0,存在存在 = = (x0,(x0

15、, )0,)0,使使 F FB B (x0)(x0) B B (F(x0).(F(x0).定理定理3.6 3.6 设设(V,(V, ) )是度量空间，是度量空间，A,BA,B V.f:AV.f:AB B是映射是映射. .那么以下命题相互等价那么以下命题相互等价： (1)f:AB延续延续. (2)开集开集OB,f-1(O)是是A中开集中开集. (3)闭集闭集FB,f-1(F)是是A中闭集中闭集.证明：证明：12 任取开集任取开集OB，xf1(O),f(x) O,所以有所以有f(x)的邻域的邻域 Uf(x),)O,于是于是f1(O)包含包含x的一个邻域的一个邻域Ux,)f1(O),即即x是是f1(

16、O)的内点，从而的内点，从而f1(O)是开集。是开集。23 设设FB是任一闭集，是任一闭集，BF=BF是是B中开集，那么中开集，那么f1(BF)是是A中开中开集。集。而而 f1(F)=f1(B(BF)=f1(B)f1(B F)所以，所以，f1(F)是闭集是闭集A作为作为R的子拓扑空间为的子拓扑空间为开集。开集。31xX,0,B(F(x)是是Y中开中开集，集，从而从而Y- B(F(x)是是Y中闭集。因此，中闭集。因此，,X)x(F(B(F)Y(F)x(F(BY(F111中闭集是 ),x(F(B(F)x(B, 0,X)x(F(B(F11 使存在所以中开集是)x(F(B)x(B(F 定义定义3.7

17、设设(X,d),(Y,)是度量空间，映射是度量空间，映射f:XY称为在称为在X上一致延续上一致延续,假设假设0,0,只与只与有关有关,当当|x-y|(x,yX)时时,有有 |f(x)-f(y)|0,使使)Xy, x)(y, x(Cd)y(F),x(F( Lipschitz延续的映射必一致延续延续的映射必一致延续.例例3.8 设设X=Rn,Y=Rm都是欧氏空间都是欧氏空间,因此是度因此是度量空间量空间,欧氏度量为欧氏度量为.|),(,|),(21122112|niiiniiivuyxvuyxd其中其中 x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,y2,yn)TRn u=(u1,u2,um)T, v

18、=(v1,v2,vm)TRm.映射F:XY为)(2121222211121121xFvxxxFFFFFFFFFvvvnmnmmnnm它是Lipschitz延续的.这里,FijR(1im,1jn).此映射的分量表达式为)1 (1mixFvjnjiji假设取x0X,v0=F(x0),那么|)20120|,(vvvimiiv|201120111)(|xxFxFxFjminjjijjminjnjijjij |201112|xxFjminjjnjij于是有于是有 (v,v0)Cd(x,x0)这里这里minjijFC1122|因此因此F是是Lipschitz延续的延续的.定理定理3.4 设设X,d和和Y,

19、 是度量空间是度量空间,F:XY是映射是映射.那么那么F在在X上延续上延续 对于对于X中任一收敛序列中任一收敛序列xn,有有 ).()(limlimxxnnnnFF证明证明:) 设设F在在X上延续，上延续，xnx(n),任取任取Y中中开集开集B，F(x) B,所以，所以，xF-1(B),于是存在于是存在自然自然数数N，当，当nN时，时，xn F-1(B),F(xn) B,因此因此).()(limlimxxnnnnFF)对于对于X中任一收敛序列中任一收敛序列xn,设设).()(limlimxxnnnnFF要证要证:F在在X上延续上延续.假设不对假设不对,即即F在在x*不延续不延续,那么存在那么存

20、在00.0,存在存在xX,使使 d(x,x*), 而而 (F(x),F(x*)0.特别取特别取 1=1,得得x1 X,使使 d(x1,x*)0,存在自然数存在自然数N,当当m,nN时有时有 (xm,xn)0,存在自然数存在自然数N,当当m,nN时有时有2),(,2),(xxxxmn于是于是 (xm,xn)(xm,x)+ (xn,x) 我们知道我们知道,R中中Cauchy列一定收敛列一定收敛.但在度量空但在度量空间中这一结论普通间中这一结论普通 不成立不成立. 例如例如,X=xR|0n0时有时有 (xm,xn)n2时有时有 ),(),(),(xxxxxxkknnnnxxnn lim2),( xx

21、kn;2),( nmxx例例3.10 R是完备的是完备的.证明：先证：任何实数列证明：先证：任何实数列xn必有单调子列。必有单调子列。记记 Ep=xp,xp+1, (p=1,2, )当每个集合当每个集合Ep都有最大值时，选取都有最大值时，选取,max,max,max1111121 kknnnnnExExEx.的一个单调减少的子列是nnxxk当存在某个当存在某个Ep=xp,xp+1, 无最大值时，那么无最大值时，那么对任对任意意n1p,11pnnxxE 也无最大值。此时取于是于是xp+1,xp+2, 中必有大于中必有大于xp的，取为的，取为,3222221nnnnnxxxxx的，取为中必有大于而

22、在 得到得到 knnnxxx21为一个单调增加子列knx再证：再证：R中的任何中的任何Ccauchy列列xn是收敛的。是收敛的。由于由于xn是有界的，所以是有界的，所以xn有一个单调有界有一个单调有界的的子列子列收敛由单调有界准则知，,kknnxx从而，从而，xn收敛。收敛。例例3.11 lp(1p0,存在自然数存在自然数N,当当m,nN时有时有.|),(11)()(|pipinimnmxx于是当于是当m,nN时有时有 |i(m)i(n)|N,有有.|,(1)(*|)pipiinpnxx这里这里x*=(1,2,)lp.实践上实践上,取取=1,存在自存在自然数然数N,当当nN时有时有 (xn,x

23、*)0,0,存在自然数存在自然数N,N,当当nNnN时有时有 |fn(x) |fn(x)fn(x)|d(fn,fm)fn(x)|d(fn,fm) ( ( x x a,b)a,b)于是于是, ,对每一个固定对每一个固定x x a,ba,b fn(x) fn(x)f(x)(nf(x)(n),),而而fn(x)fn(x)在在a,ba,b上一致收敛于上一致收敛于f(x),f(x),所以所以, ,f(x)f(x) Ca,b.Ca,b.从而从而,Ca,b,Ca,b是完备的是完备的. .下面讨论度量空间的几个完备性定理下面讨论度量空间的几个完备性定理. .定理定理4.1 4.1 完备度量空间完备度量空间V,

24、V, 完备完备A A是闭集是闭集. .对于每一个开球对于每一个开球),(1aBn).(,1aAByynnn使必有即即 (a,yn).lim,1aynnn因此yn是是A中中Cauchy列列由于由于A A是完备的，所以是完备的，所以a aA,A,即即A A是闭集。是闭集。设设A A是闭集。任取是闭集。任取A A中中CauchyCauchy列列yn,yn,由于由于ynynV,V,且是完备，所以，且是完备，所以，.*limVyynn但但y y* *是怕极限点，而是怕极限点，而A A是闭集，所以，是闭集，所以，y y* *A,A,从从而，而，A A是完备的。是完备的。证明证明: : ) )设设A A是完

25、备的。任取是完备的。任取a aA.A.) )类似类似. .不完备的度量空间能否可在某种意义下成为完不完备的度量空间能否可在某种意义下成为完备的度量空间备的度量空间? ?这不仅是必要的而且是能够的这不仅是必要的而且是能够的. .定义定义4.2 4.2 度量空间度量空间X,dX,d称为可完备化的称为可完备化的, ,假设存在度量空间假设存在度量空间XX* *,d,d* *,满足满足: :(1)(1)存在存在XX* *,d,d* * 的子度量空间的子度量空间Z,dZ,d* *,它在它在X X* *中稠密中稠密, ,且且Z Z与与X X是等度的是等度的; ;(2)X(2)X* *是完备的是完备的. .称

26、称X X* *是是X X的完备化空间的完备化空间. . 可以证明可以证明: :每一个度量空间都可完备化每一个度量空间都可完备化. . ( (二二) )紧缩映射与不动点原理紧缩映射与不动点原理 定义定义4.3 4.3 设设X,dX,d是度量空间是度量空间, ,映射映射F:XF:XY Y称称 为紧缩映射为紧缩映射, ,假设存在常数假设存在常数k,k,满足满足0k1,0k0;d(x0,x1)0;这样可得序列这样可得序列xnxnX,X,满足满足 xn=F(xn-1),d(xn-1,xn)0下面证明下面证明,xn是是Cauchy列列.取自然数取自然数m1,m2(m2m1),那么有那么有)(),(),(112121xxxxmmmmFFdd),(1121xxmmkd)(),(2221xxmmFFkd),(22221xxkmmd),(21xxkrrrmmd取取r=m1-1,得得),(),()1(1112121xxkxxmmmmmdd),(1210 xxkmmmd留意到),()(),(),(101021xxxxxxkdFFdd),()(),(),(1022132xxkxxxxdFFdd),