椭圆定点定值专题习题

1、1已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4（）求椭圆C的标准方程；（）P（2，n），Q（2，n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A、B两点在椭圆上运动，且满足APQ=BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由2已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m0），求直线l的斜率3如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别

2、是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M（）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（）设过点M垂直于PB的直线为m求证：直线m过定点，并求出定点的坐标4已知F1，F2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由5在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（ab0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=

3、1上（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角，使（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB26已知椭圆的左焦点为F（，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点（）求椭圆标准方程；（）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由（）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MNMB7一束光线从点F1（1，0）出发，经直线l：2xy+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2

4、（1，0）（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由8已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，kOD为直线OD的斜率，求证：kkOD为定值；（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围9如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，c）（c0），抛物线x2=2py

5、（p0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当2，4时，求椭圆的离心率e的取值范围10已知椭圆（ab0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上证明点A在定圆上；设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围11在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（ab0）的焦点为 F1（1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6（1）

6、求动点P的轨迹方程；（2）若，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DMCN，BQ分别交直线m于点M，N（i）当直线AQ的斜率为时，求AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DMCN为定值12（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值（2）将椭圆（ab0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论（3）如图，若AB、CD是过椭圆（ab0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：为定值13作斜率为的直线l与

7、椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方（1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若APB=60°，求PAB的面积14设椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=（1）若过AQF2三点的圆恰好与直线l：xy3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于MN两点试证明：+为定值；在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由15已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点

8、，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，ab0（I）若P（），Q（，1），求椭圆Cl的方程；（）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1k2+k3k4为定值；（）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断PMN是否可能为正三角形，并说明理由16已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若KQA+KQB=2与l的斜率

9、无关，求t的值17如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点（1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的斜率k的取值范围；在直线l的斜率k不断变化过程中，探究MF1A和NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由18已知椭圆E：=1（ab0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段M

10、N上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上19如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0b2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：OAA2与OA2P不相似（III）设满足（x，y）|，xR，yR（x，y）|，xR，yR 的正数m的最大值是b，求b的值20已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（3

11、）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由21已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2斜率为k（k0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）试用m表示MPQ的面积，并求面积的最大值22已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F（）求椭圆E的方程；（）已知两点Q（2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设

12、线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（） 过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PAPB23已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B（1）（）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（）若椭圆上存在点P，使得APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值24已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切（）求椭圆的标准方

13、程；（）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x2=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由25已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（ab0），A，B分别为椭圆上的两点，且OAOB（1）求证：为定值；（2）求AOB面积的最大值和最小值26设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围（3）设A（2，

14、0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点求四边形AEBF面积的最大值27已知椭圆的左焦点F1（1，0），长轴长与短轴长的比是（）求椭圆的方程；（）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若mn，求证：为定值28已知椭圆的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线（称为椭圆的右准线）于P，Q两点（1）若当=30°时有，求椭圆的离心率；（2）若离心率e=，求证：为定值29已知点P在椭圆C：（ab0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF1|=6|PF2|，且椭圆C的离心率为（）求椭圆C的方程；（）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直