曲线积分与曲面积分补充题

1、曲线积分与曲面积分补充题1. 设有3表示曲面：x2y2 z2 =4a2 (z _ 0), Z2表示曲面 X y2 = 2ax(0 Mz 込2a).(1)求匕1行2及z = 0所围立体的体积；(2 )求11被匕2所截部分的表面积； 求12被3所截部分的侧面积； 2 2 2 若S表示為被戈2所截的部分曲面，求I = «(x + y +z ds ； 若S表示12被二所截的部分曲面，求1=x2y2ax 3dS ；- S 若匕表示二被二2所截曲面的上侧部分,求I二xdydz ydzdx zdxdy ； 若丨表示曲面 二，-的交线在第一卦限部分曲线，从z轴正向往下看是逆时针；设力F =xi yj

2、 2zk ,求该力沿曲线从A(2a,0,0)到B(0,0,2a)所做的功.(8)若其他条件同(6),力为F = xi yj zk,此时功为多少？若B点为丨上任 点，功又为多少？2. (1)设f (x, y)为连续函数，且对任意平面闭曲线 C都有f(x,y)ds=0.LC试证:f (x, y) = 0 (2) 设f (x,y,z)为连续函数，且对任意空间闭曲面 匕都有.(x,y,z)dS = 0.试证:f (x, y,z)三 0 .(3) 设P(x,y),Q(x, y)有连续偏导数，且对任意封闭曲线 C ,有.Pdx Qd 0.C试证二q=0.dyex 设P(x, y,z),Q(x, y,z),

3、 R(x, y, z)有连续偏导数,且对任意封闭曲面三都有ii. Pdydz Qdzdx Rdxdy 二 0 .试证:3.设丨为从点A(Xi，yi，zJ到点B(X2,y2,Z2)的有向光滑曲线弧.函数f (x), g(y),h(z)连续.证明：”f (x)dx = f (x)dx；2#g(y)dy=J g(y)dy； _y1z2梓(z)dz= Jz h(z)dz.54. 设有向光滑曲线弧:在xoy面上的投影曲线为L ,其正向与:的正向相应，且在光滑曲面 z = (x, y)上，函数 P(x, y,z), Q(x, y, z), R(x, y, z)连续.证明:.P(x,y,z)dx Q(x,y

4、,z)dy = .Lpx,y,(x,y)dx Qx, y, (x, y)dy.R(x, y, z)dz = l Rx,y, (x,y)( Jdx ：dy)Ivxvldx5. 设f (x)在(-"：)内具有连续导数，求：x 2y2f(xy) -1dy， y答案:-4其中L是从点A(3,2/3)到点B(1,2)的直线段.6. 设函数f(x), g(x)具有二阶连续导数.曲线积分Cy2 f (x) 2yex 2yg(x)dx 2yg(x) f (x)dy =0其中C为平面上任一简单封闭曲线.(1)求f(x),g(x)使f (0) = g(0) = 0. (2)计算沿任一条曲线从(0,0)到

5、(1,1)的积分.11111答案：f (x) = -(ex -e) -xex, g(x) = -(ex -e) 一 xex；I = _(7e _ e斗)424247. 设;：,有连续导数，对平面上任意一条分段光滑曲线L ,积分I 二 L2x (y (y)dx x2 (y) 2xy2 -2x (y)dy与路径无关. 当：(0) = -2, (0) =1 时，求 (x), (x)设L是从(0,0)到(二，二/ 2)的分段光滑曲线,求I .答案：(x)二 sin x x2 -2, (x)二 cosx 2x; I -二 2(1 二 2 / 4)8. 设f (x)连续可导，f (1) =1 , G为不含

6、原点的单连通区域.任取M ,N G ,在GN1内曲线积分2(ydx - xdy)与路径无关也 2x2 +f(y)2221 -(1) 求 f (x) ； (2) 求(ydx - xdy),其中 为 x3y3 = a3 取正向12x + f (y)答案：f(x)二 x2；2二.9. 设f (u)为连续函数，C为xoy平面上分段光滑闭曲线，证明：f (x2 y2)(xdx ydy) = 0 .10. 设曲线L : x2 y2 x0的方向为逆时针，证明：2 2ysinx dx xcosy dy 2 L 211. 若对平面上任何简单闭曲线C恒有 2xyf (x2)dx f (x2)x4 dy = 0 ,

7、其中f (x)在(-：)上有连续的一阶导数，且f(0) =2,试求：(1,2) 2 2 4(1) f(x); (2)(oo)2xyf(x2)dx f(x2) -X4dy .答案:f (x) =4ex -2(x 1);8e-10."2-2 2212.设u(x, y)在圆盘D ：x2y2 < 1内有二阶连续偏导数，且耳'u=e""),excy贝U 巴ds二二(1-e J). ( n是C的外单位法向量). C ：n13. 求|二(X y)dx -(：-y)dy其中C是绕原点两周的正向闭曲线答案：一4二.七x +y14. 计算 I 二；(y2 _z2)dx

8、(2z2 _x2)dy (3x2 一 y2)dz.其中 C 是平面x + y+z=2与柱面x+|y =1的交线，从z轴正向看C是逆时针.答案：24.15. 已知平面区域 D = '(x, y) 0岂x玄恵,0岂y < :' , L为D的边界，试证:(1).-Lxesin ydy - yein xdx = jxein y dy - yesin xdx ；sin v.sin x2.Lxe dy - ye dx_2 二.16. 确定常数,使在右半平面x 0上的向量a*aa.A(x, y) =2xy(x4 y2) i -x2(x4y2) ' j为某二元函数u(x, y)的

9、梯度，并求u(x, y).答案：-1; u(x, y) - - arcta，C .x17. 计算|八上警学一菖、，其中匕：x2y2z2 =1取外侧.-x cos x cos y zcos z答案:4二 tan 1.1 fxyX、18.设f (u)有连续导数 ,计算 I = J- f dydz 十一 f dzdx十 zdxdy. F ly丿x ly丿其中匕是y=x2，z26,y=8-x2-z2所围立体的外侧.答案：2二.|= £ 十 219.计算曲面积分I = _xz2dydz-sinxdxdy.其中匕是曲线 yz_ & =0(1_z_2)绕z轴旋转一周而成的曲面，其法向量与z

10、轴的正向夹角为锐角答案：I - -128 二20.求 I 4xzdydz2zdzdx （1z2）dxdy 其中匕为156z = ay (0兰y兰2,a =0,a式1)绕z轴旋转所成的曲面下侧答案：4 a144一肿仙昇你1 一门2 221.设S为椭球面x yz2 = 1的上半部分，点P x, y, z 三S ,二为S在点P的切2 2平面，川x, y, z为点O 0,0,0至U平面二的距离.求I =y（x,yz）dS22.设C是圆周x-12 y -1 2 =1的正向边界曲线.f(x)为大于零的连续函数.证明：(啊-靂严23.设函数u(x, y),v(x,y)具有一阶连续偏导数，且满足 ,闭曲线c包围 ex釦®ex原点，取正向.证明:A2 - xv - yu dx xu yv dy 2 二 u 0,0 x y 2 2 2 224.设二是球面 x y z -2ax -2ay -2az a = 0 （常数 a