一阶微分方程重修

1、第第6 6章章 微分方程微分方程I微分方程的基本概念微分方程的基本概念 微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy第一部分、一阶第一部分、一阶微分方程微分方程线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ;

2、02)(2 xyyyx微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲

3、线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .IIII、一阶微分方程、一阶微分方程 dxxfdyyg)()(1 、形形如如可分离变量方程可分离变量方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 2、解法、解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法一、可分离变量方程一、可分离变量方程 例例1 1

4、求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12|lnCxy .2为所求通解为所求通解xCey 例例2 求微分方程求微分方程(x+xy2)dx+(yx2y)dy=0的通解的通解 解：解：变形变形 x(1+y2)dx+y(1x2)dy=0 分离变量分离变量 dxxxdyyy2211 两端积分两端积分 dxxxdyyy2211得得 |ln211ln21)1ln(21222Cxy 所以方程通解为所以方程通解为 1+y2=C(1x2) 说明：任意常数的变形是为了解的表达式简单说明：任意常数的变形是为了解的表达式简单 例例

5、3 求初值问题求初值问题1,)1(1 xxxyeyyedxeeydyxx 1解解Ceyx )1ln(212两边积分：两边积分：)1ln(2111eCyx 代入：得：代入：得：将将特解为：特解为：)1ln(21)1ln(212eeyx 二、齐次方程二、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义代入的原方程的通解代入的原方程的通解求出通解，再将求出通解，再将xy

6、u 例例1 求求xyyxy 解：解：xyu 令令uudxduxu 1分离变量得分离变量得 xdxudu Cxu ln22代入代入将将xyu 222ln2Cxxxy 得得由初始条件：由初始条件：y|x=1=2，得得C=4。方程的特解为方程的特解为 y2 = 2x2ln|x|+4x2 的满足初始条件的满足初始条件y|x=1=2的特解的特解 则原方程变形为则原方程变形为 两端积分得两端积分得)()(xQyxPdxdy 1、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当三、一阶线性

7、微分方程三、一阶线性微分方程 2、解法、解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次方程通解对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.1,sin1的特解的特解求方程求方程 xyxxyxy,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1 .cos11,Cxxyyx 代入代入将将 .1cos1, 1 xxyC的

8、特解的特解：求：求例例1,)(203 xyyyxy21yxydydx 解：方程化为：解：方程化为：为为x的一阶线性方程的一阶线性方程 )()()(CdyyQeexdyyPdyyP 211Cdyyeedyydyy414Cyy .411, 0 Cyx代入，得代入，得将将4144 yxy特解为：特解为：1、伯努利、伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n四、伯努利方程四、伯努利方程,1 nyz 令令),()1()()1(xQnzxPndxdz 则原方程化为则原方程化为2、解法、解法通解为通解为. )1)()()1()()1(1 Cdx

9、enxQezydxxPndxxPnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy 21 n,yz 令令,21242xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解例例1,2122xzxdxdz 有有连连续续导导数数，且且满满足足，连连续续，在在，在在、设设)0()0)(2 xf).(,)(21)(1034xfxxxfdttxfx求求 解解: xduufutxdttxfx010)()(340)(21)(xxxfduufx 原方程变为：原方程变为：3238)(1)( xxfxxf两两边边求求导导314)(xCxxf 解解此此一一阶阶线线性性方方程程得得：例例3. . 设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:, 0)0(),()(),()( fxfxgxgxf且且(1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 ;(2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF )()(22xfxg )()(2)()(2xgxfxfxg )(2)2(2xFex 所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非