直线方程对称、最值、定点

1、与直线相关的最值问题归类解析1、距离之和型的最值问题例 1、已知两点 A 2,3 ,B 4,1 ，在直线 l： x 2y 2 0上求一点 P，使得 PA PB的值最小2、距离之差型的最值问题例 2、已知点 A 4,1,B 0,4 和直线 l：3x y 1 0 ，试在直线上找一点 P，使得 PA PB 最大， 试求 P 点的坐标3、距离乘积型的最值问题例 3、过点 P 2,1 做直线 l 分别交 x轴、 y轴的正半轴于 A、 B两点（ 1 ）若 OA OB 取最小值时，求直线 l 的方程2）若 PA PB 取最小值时，求直线 l 的方程4、截距之和型的最值问题例 4、过点 P 1,4 做直线与两

2、坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程5、周长型的最值问题例 5、已知点 M 3,5 ,在直线 l：x 2y 2 0和 y轴上各找一点 P和Q，使 MPQ周长最小6、面积型的最值问题例 6、已知定点 P6,4 与定直线 l1: y 4x，过 P点的直线 L与 l1交于第一象限的 Q点，与 x轴的正半轴交于点 M ，求使 OQM 面积最小的直线 L 的方程7、斜率型的最值问题例 7、已知数 x, y满足 2x y 8，当 2 x 3时，求 y 的最大值与最小值 x8、平行线间距离的最值问题A 6,2 和 B 3, 1 并且各自绕着 A,B 旋转，如果两平行例 8 、

3、两条互相平行的直线分别过点 线间的距离为 d ，求：（ 1 ） d 的变化范围（ 2 ）当 d 取最大值时两直线的方程9、距离的平方和最值问题例 9、已知三点 P1,2,Q 2,1,R 3,2 ，过原点做一条直线，使得 P,Q,R到此直线的距离的平方 和最小，求此直线方程10、视角的最值问题11、两点间距离的最值问题直线方程中的对称问题、最值问题、定点问题一、点关于点的对称问题例 1、求点 A（2，4）关于点 B（3，5）对称的点 C的坐标 .练习： 1、求点 A（-3 ， 6）关于点 B（2，3）对称的点 C的坐标.2、已知点 A（5,8）,B（4,1）, 试求 A点关于 B点的对称点 C的

4、坐标 .二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面： 两点连线与已知直线斜率乘积等于 -1 两点的中点在已知直线上 .例 2、求点 A（1，3）关于直线 l ：x+2y-3=0 的对称点 A的坐标 .练习： 1、求 A（ 4， 0）关于直线 5x+4y+21=0的对称点是 2、已知直线 l :3x y 3 0,求p （4,5）关于 l的对称点这里需要注意到的是两对三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题， 可转化为直线上的点关于某点对称的问题， 称直线是平行的 . 我们往往利用平行直线系去求解 .例 3、求直线 2x+11y+16=0关于点 P（ 0，1）对称的直线方程 .练习

5、： 1、若直线 l1:3x-y-4=0 关于点 P（2，-1）对称的直线方程 l2. 求l2的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行， 两直线相交 . 对于，我们可转 化为点关于直线的对称问题去求解；对于，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为 点关于直线对称问题 .例 4、求直线 l 1：x-y-1=0 关于直线 l 2：x-y+1=0 对称的直线 l 的方程 .例 5、试求直线 l 1：x-y-2=0 关于直线 l 2：3x-y+3=0 对称的直线 l 的方程 .练习： 1、求直线 m: x-y-2=0 关于直线 l: 3x-y+3=0 对称

6、的直线 n 的方程五、最值问题1、过点 P（2,1） 作直线 l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B.求 AOB 的面积最小时直线 l 的方 程;2、若直线过点（ 1,1 ），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2，则这样的直线有（ ）条 A、1B、2C、3D、4（变式题：若面积为 5呢，面积为 1 呢？）P，使得 |PA|+|PB| 的值最小3、已知点 A（2,5 ）， B（4，-7 ），试在 y 轴上求一点4、过点 P（2,1） 作直线 l 分别交 x 轴、 y轴于点 A、B，求|PA| ·|PB| 取最小值时直线 l 的方程.5、位于第一象限的点 A在直线 y=3x上，

7、直线 AB交 x 轴的正半轴于点 C，已知点 B（ 3,2 ），求 OAC面积的最小值，并求此时 A 点坐标6、已知点 M（1,3）,N（5,-2）, 在 x 轴上取一点 P，使得 |PM|-|PN| 最大，则 P点坐标是（ ） A、（5,0 ）B、（13,0 ）C、（ 0,13 ）D 、（3.4,0 ）变式：若使 |PM|+|PN| 最小呢？7、函数 y= x2 9 x2 8x41 的最小值是六、过定点1、若 k， 1，b三个数成等差数列，则直线 ykxb必经过定点 ()A、(1 ， 2) B 、(1,2)C、(1,2)D、( 1，2)12、当 0<k<2时，直线 l 1：kxy

8、k1与直线 l 2：kyx2k的交点在 ( )A、第一象限B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限3、直线 kxy 1 3k，当 k 变动时，所有直线都通过定点 ( )A、(0,0)B、(0,1)C、(3,1)D 、 (2,1)4、已知直线 (3k1)x(k2)yk0，则当 k 变化时，所有直线都通过定点 ( )1 2 2 1 1 1A、(0,0)B、(7，7)C、(7，7)D 、 ( 7，14)课后作业：1、已知点 A(2,5 )， B(4，-7 )，试在 y 轴上求一点 P，使得|PA|+|PB| 的值最小。2、光线由点 P(2,3) 射到直线 xy10 上，反射后经过点 Q(1,1) ，求反射光线所在的直线方程3、已知点 P(3,2) 与点 Q(1,4) 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 4、试求直线 l1: x y 2 0关于直线 l2: 3x y 3 0对称的直线 l 的方程.5、若直线 l 1：yk(x4)与直线 l 2关于点(2,1) 对称，则直线