机械振动4两自由度系统的动力学方程1-2

1、机械振动1第四章机械振动2kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对汽车的上下振动进行动力学建模要求：对汽车的上下振动进行动力学建模例子：汽车行驶在路面上会产生上下振动例子：汽车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点：模型简单（单自由度）优点：模型简单（单自由度）分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合机械振动3k2c2m

2、车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼的弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响需两个独立坐标需两个独立坐标机械振动4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相优点：分别考虑了人

3、与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？需多个独立坐标需多个独立坐标机械振动5机械振动6机械振动7m1m2k1k2k3x1x2k1x1k2(x1-x2)11xm m1k2(x1-x2)22xm m2 k3x2 0)(2121111xxkxkxm 0)(2321222xkxxkxm 写成矩阵形式：写成矩阵形式：0 KxxM 其中：其中：2100mmM322221kkkkkkK21xxx实例：实例：机械振动8021211111xkxkxm 022212122xkxkxm 找x1与x

4、2同步运动的解：)(),(2211tfuxtfux代入方程得：代入方程得：22211211322221kkkkkkkkkkK，令1121kkk，21122kkk。2232kkk0)()()(21211111tfukuktfum 0)()()(22212122tfukuktfum 2222212111212111)()(umukukumukuktftf 机械振动9与单自由度振动的方程一样，要有振动，必须为正实数。0)()(tftf 代入方程得：代入方程得：0)(21211211ukumk0)(2222211212112mkkkmk)sin()(tCtf而且解为：为初相位角。为振动频率，为任意常数

5、，其中：C)2 , 1()sin()(itCutfuxiii，0)(22222121umkuk机械振动100)(2222211212112mkkkmk0)()(212221121122214212kkkkmkmmm2121222112211122212111222122214)(2121mmkkkmmkmkmmmkmkm2122232212211)(kkkkkkkk)2 , 1(02ii频率。为正实根，即两个固有)2 , 1( ii，得到：代入方程每个)101 . 4(i0)(21211211ukumki12121112kmkuui0)(22222121umkuki222212mkki机械振动

6、1122122121212111)1(1)1(21mkkkmkuur得：22222121212211)2(1)2(22mkkkmkuur1)1(1)1(2)1(1)1(1ruuuu得矩阵：2)2(1)2(2)2(1)2(1ruuuu)151 . 4(a)151 . 4(b。、量，分别对应于称为振型向量或模态向、21)2()1(uu)2 , 1()sin()sin()(2)(2)(1)(1ituCxtuCxiiiiiiiiiii，：对每个机械振动12)sin(1)()()()(11111)1()1(2)1(1)1(trCtftxtxtux得：)161 . 4(a)161 . 4(b实际振动为：由

7、初始条件确定。、和、其中2121CC)sin(1)()()()(22222)2()2(2)2(1)2(trCtftxtxtux)()()()2()1(tttxxx)171 . 4()sin(1)sin(122221111trCtrC机械振动13m1m2k1k2k3x1x2解：方程解：方程0 KxxM 其中：其中：mm200Mkkkk32K例例4.1-1：，mmmm2,21kkkkk2321，。求固有频率和固有振型0232)(222222211212112mkkkmkmkkkmk0572)(22422kmkmmkmkmk2/5/10)27(214722221mkmk25,21机械振动14m1m2

8、k1k2k3x1x2mkmkmk5811. 125,21121212111)1(1)1(21kkkkmkuur得：5 . 02/521212211)2(1)2(22kkkkmkuur11)1(1)1(2)1(1)1(uuuu得固有振型：5 . 01)2(1)2(2)2(1)2(uuuu)1(u11mk1)2(u1-0.5mk252节点机械振动15例例4.1-2：求扭转振动系统的固有频率和固有振型：求扭转振动系统的固有频率和固有振型两圆盘两圆盘 转动惯量转动惯量 ，21,II轴的扭转刚度轴的扭转刚度 k1I22Ik111 I)(21k22 I)(21k建立方程：建立方程：)()(21221211

9、kIkI 0021222111kkIkkI )sin()sin(2211tt设代入微分方程组，得机械振动161I22Ik1特征方程：特征方程：0)(0)(22212112IkkkIk:相应的振幅比，这里1011r0)(22212kIkIk0)(221421IIkII特征根：特征根：, 021212221IIIIk21122)2(1)2(22IIkIkr, 1121)1(1)1(21kIkr，轴段无变形。振动时，转角是相同的说明以1,)(1DtCtf对应的不是振动。这实际上是刚体转动，机械振动171I22Ik121122121,:IIlIlIIlIl节面的位置特性。改变该扭振系统的振动在节面处进

10、行固定，不节面处始终保持不动。节面处始终保持不动。节面1221IIll：振动时，固有振型如图以2121IIl1l2l向扭振的单自个以同一频率按相反方即该扭振系统可看成两由度系统。机械振动18k1k2ABCl1l2x机械振动19两弹簧的伸缩量为：ABCl1l2x1lxxA2lxxB)()(2211lxklxkxm 222111)()(llxkllxkJ 00)()(002222112211221121xlklklklklklkkkxJm )(11lxk)(22lxk机械振动20)sin()sin(ttXx，设解为：代入微分方程，得：0)(12211kXmk222211222211122111),

11、(,lklkklklkkkkk令：0)(22221JkXk000022211211xkkkkxJm 原方程变为：0)(212222211kJkmkmJkkkmJmkJkmJmkJk)(4)(21)(2121222112221122112221机械振动21mJkkkmJmkJkmJmkJk)(4)(21)(2121222112221122112221,212122211112)1()1(1kJkmkkXr,212222221112)2()2(2kJkmkkXr是同方向，而在第与则在第一阶固有振动时若xrr, 0, 021是反方向。与二阶固有振动时xC)1()1(X节点1l2lC)2()2(X节点

12、1l2l机械振动224.2 静力耦合和动力耦合一般情况下，两自由度以上振动系统的微分方程组都会出现耦合项，如果以矩阵形式表示，则耦合项体现在非对角元素上。振动微分方程通过刚度项来耦合，称为静力耦合或弹性耦合； 振动微分方程通过质量项来耦合，称为动力耦合或惯性耦合； 耦合的性质决定于所选用的坐标，而非系统的特性。以前文小车振动为例，来说明耦合的性质。机械振动23ABCl1l2x)()(2211lxklxkxm 222111)()(llxkllxkJ 00)()(002222112211221121xlklklklklklkkkxJm )(11lxk)(22lxk机械振动24ABCl1l2x221

13、1212112)(xkxkllxlxlm 2221112121)(xlkxlkllxxJ )(11lxk)(22lxk11lxx22lxx211221llxlxlx2112llxx得：代入前页动力学方程，机械振动25既存在弹性耦合（既存在弹性耦合（静力耦合静力耦合）,也存在惯性耦合（也存在惯性耦合（动力耦合动力耦合）00)()()()(21212221112122112112xxlllklllkllkllkxxJJmlml 2211212112)(xkxkllxlxlm 2221112121)(xlkxlkllxxJ 整理后：整理后：0)()(221212112112xllkxllkxmlxml 0)()(221221211121xlllkxlllkxJxJ 写成矩阵形式：写成矩阵形式：机械振动26ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDDxCx)(11axkD)(22axkDDM，DDCexxC)()()(2211axkaxkexmDDD )()(222111eaaxkeaaxkJDD C2meJJC