对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

1、.§2.2对数函数22.1对数与对数运算1对数的概念一般地，如果axN (a>0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数yax的另一种表达形式，例如：3481与4log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式axNxlogaN，从而得对数恒等式：alogaNN.(2)“log”同“”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面(3)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a1)具

2、有下列性质：零和负数没有对数，即N>0；1的对数为零，即loga10；底的对数等于1，即logaa1.2对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度(1)基本公式loga(MN)logaMlogaN (a>0，a1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和logalogaMlogaN (a>0，a1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数logaMnn·logaM (a>0，a

3、1，M>0，nR)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数(2)对数的运算性质注意点必须注意M>0，N>0，例如loga(3)×(4)是存在的，但是loga(3)与loga(4)均不存在，故不能写成loga(3)×(4)loga(3)loga(4)防止出现以下错误：loga(M±N)logaM±logaN，loga(M·N)logaM·logaN，loga，logaMn(logaM)n.3对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN (b>0，且

4、b1；c>0，且c1；N>0)证明设logbNx，则bxN.两边取以c为底的对数，得xlogcblogcN.所以x，即logbN.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN或logbN·logNb1 (N>0，且N1；b>0，且b1)；(2)logbnNmlogbN(N>0；b>0，且b1；n0，mR). 题型一正确理解对数运算性质对于a>0且a1，下列说法中，正确的是()若MN，则logaMlogaN；若logaMlog

5、aN，则MN；若logaM2logaN2，则MN；若MN，则logaM2logaN2.A与B与CD、解析在中，当MN0时，logaM与logaN均无意义，因此logaMlogaN不成立在中，当logaMlogaN时，必有M>0，N>0，且MN，因此MN成立在中，当logaM2logaN2时，有M0，N0，且M2N2，即|M|N|，但未必有MN.例如，M2，N2时，也有logaM2logaN2，但MN.在中，若MN0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2logaN2不成立所以，只有成立答案C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算

6、性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件 题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32log3log385log53；(2)lg25lg8lg5·lg20(lg2)2；(3).分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算解(1)原式2log32(log332log39)3log3232log325log3223log3231.(2)原式2lg52lg2lg·lg(2×10)(lg2)22lg(5×2)(1lg2)·(lg21)(lg2)22

7、1(lg2)2(lg2)23.(3).点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值 题型三对数换底公式的应用计算：(log2125log425log85)(log52log254log1258)分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值解方法一原式log25·(3log52)13log25·13.方法

8、二原式13.点评方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法已知log(x3)(x23x)1，求实数x的值错解由对数的性质可得x23xx3.解得x1或x3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了正解由对数的性质知解得x1，故实数x的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga10，logaa1，alogaNN (a>0，且a1，N>0)1(上海高考)方程9x6·3

9、x70的解是_解析9x6·3x70，即32x6·3x70(3x7)(3x1)03x7或3x1(舍去)xlog37.答案 log372(辽宁高考)设g(x)则g_.解析gln<0，geln，g.答案1对数式log(a3)(7a)b，实数a的取值范围是()A(，7) B(3,7)C(3,4)(4,7) D(3，)答案C解析由题意得解得3<a<7且a4.2设alog32，则log382log36用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2C5a2 Da23a1答案A解析alog32，log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.3log

10、56·log67·log78·log89·log910的值为()A1 Blg5 C. D1lg2答案C解析原式····.4已知loga(a21)<loga2a<0，则a的取值范围是()A(0,1) B.C. D(1，)答案C解析由题意，得a>0，a1，loga(a21)<loga2a，0<a<1.<a<1.5已知函数f(x)ax1logax (a>0，a1)在1,3上最大值与最小值之和为a2，则a的值为()A4 B. C3 D.答案D6若方程(lgx)2(lg7

11、lg5)lgxlg7·lg50的两根为，则等于()Alg7·lg5 Blg35 C35 D.答案D解析lglg(lg7lg5)lg35lg·.7已知f(log2x)x，则f_.答案解析令log2x，则2x，f2.8log(1)(1)_.答案1解析log1(1)log1log(1)1.9已知lg20.301 0，lg30.477 1，lgx20.778 1，则x_.答案0.06解析lg20.301 0，lg30.477 1，而0.301 00.477 10.778 1，lgx2lg2lg3，即lgxlg102lg6.lgxlg(6×102)，即x6

12、5;1020.06.10(1)已知lgxlgy2lg(x2y)，求log的值；(2)已知log189a,18b5，试用a，b表示log365.解(1)lgxlgy2lg(x2y)，xy(x2y)2，即x25xy4y20.即(xy)(x4y)0，解得xy或x4y，又x>2y>0，xy，应舍去，取x4y.则logloglog44.(2)18b5，log185b, 又log189a，log365.11设a，b，c均为不等于1的正数，且axbycz，0，求abc的值解令axbyczt (t>0且t1)，则有logta，logtb，logtc，又0，logtabc0，abc1.12已知

13、a，b，c是ABC的三边，且关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，试判定ABC的形状解关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，0，即44lg(c2b2)2lga10.即lg(c2b2)2lga0，故c2b2a2，a2b2c2，ABC为直角三角形22.1对数与对数运算(一) 学习目标1理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化2了解常用对数与自然对数的意义3理解对数恒等式并能用于有关对数的计算 自学导引1如果a(a>0且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作blogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质有：(1)1

14、的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数3通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.4若a>0，且a1，则abN等价于logaNb.5对数恒等式：alogaNN(a>0且a1). 一、对数式有意义的条件例1求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x10)；(2)log(x1)(x2)；(3)log(x1)(x1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可解(1)由题意有x10>0，x>10，即为所求(2)由题意有即x>1且x2.(3)由题意

15、有解得x>1且x0，x1.点评在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1在blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是()Aa>5或a<2B2<a<5C2<a<3或3<a<5 D3<a<4答案C解析由题意得，2<a<5且a3. 二、对数式与指数式的互化例2将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54625；(2)log83；(3)216; (4)log101 0003.分析利用axNxlogaN进行互化解(1)54625，log56254.(2)

16、log83，38.(3)216，log162.(4)log101 0003，1031 000.点评指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径在利用axNxlogaN进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置变式迁移2将下列对数式化为指数式求x值：(1)logx27；(2)log2x；(3)log5(log2x)0; (4)xlog27；(5)xlog16.解(1)由logx27，得x27，x27329.(2)由log2x，得2x，x.(3)由log5(log2x)0，得log2x1，x212.(4)由xlog27，得27x，即33x32，x.(5)由

17、xlog16，得x16，即2x24，x4. 三、对数恒等式的应用例3(1)alogab·logbc·logcN的值(a，b，cR，且不等于1，N>0)；(2)4(log29log25)解(1)原式(alogab)logbc·logcNblogbc·logcN(blogbc)logcNclogcNN.(2)原式2(log29log25).点评对数恒等式alogaNN中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数变式迁移3计算：3log3()log3.解原式3log3(3log3).1一般地，如果a(a>0，a1)的

18、b次幂等于N，就是abN，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2利用abNblogaN (其中a>0，a1，N>0)可以进行指数与对数式的互化3对数恒等式：alogaNN(a>0且a1)一、选择题1下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A1001与lg10B27与log27Clog39与93Dlog551与515答案C2指数式b6a (b>0，b1)所对应的对数式是()Alog6aa Blog6baClogab6 Dlogba6答案D3若logx(2)1，则x的值为()A.2 B.2C.2或2 D2答案B4如果f(10x)x，

19、则f(3)等于()Alog310 Blg3 C103 D310答案B解析方法一令10xt，则xlgt，f(t)lgt，f(3)lg3.方法二令10x3，则xlg3，f(3)lg3.521·log25的值等于()A2 B2C2 D1答案B解析21log252×2log252×2log252×52.二、填空题6若5lgx25，则x的值为_答案100解析5lgx52，lgx2，x102100.7设loga2m，loga3n，则a2mn的值为_答案12解析loga2m，loga3n，am2，an3，a2mna2m·an(am)2·an22&#

20、215;312.8已知lg60.778 2，则102.778 2_.答案600解析102.778 2102×10lg6600.三、解答题9求下列各式中x的值(1)若log31，则求x值；(2)若log2 003(x21)0，则求x值解(1)log31，312x27，即x13(2)log2 003(x21)0x211，即x22x±10求x的值：(1)xlog4；(2)xlog9；(3)x71log75；(4)logx83；(5)logx4.解(1)由已知得：x4，2x22，2，x4.(2)由已知得：9x，即32x3.2x，x.(3)x7÷7log757÷5

21、.(4)由已知得：x38，即323，2，x.(5)由已知得：x4.2.2.1对数与对数运算(二) 学习目标1掌握对数的运算性质及其推导2能运用对数运算性质进行化简、求值和证明 自学导引1对数的运算性质：如果a>0，a1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)2对数换底公式：logab. 一、正确理解对数运算性质例1若a>0，a1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有()logax· logayloga (xy)；logaxlogay

22、loga(xy)；logalogax÷logay；loga(xy)logax·logay.A0个B1个C2个D3个答案A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logaxloga·x，logax是不可分开的一个整体四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件变式迁移1若a>0且a1，x>0，nN*，则下列各式正确的是()Alogaxloga B(logax)nnlogaxC(logax)n

23、logaxn Dlogaxloga 答案A 二、对数运算性质的应用例2计算：(1)log5352log5log57log51.8；(2)2(lg)2lg·lg5；(3)；(4)(lg5)2lg2·lg50.分析利用对数运算性质计算解(1)原式log5(5×7)2(log57log53)log57log5log55log572log572log53log572log53log552log552.(2)原式lg(2lglg5)lg(lg2lg5)1lglg1lg1.(3)原式.(4)原式(lg5)2lg2·(lg22lg5)(lg5)22lg5·l

24、g2(lg2)2(lg5lg2)21.点评要灵活运用有关公式注意公式的正用、逆用及变形使用变式迁移2求下列各式的值：(1)log5352loglog5log514；(2)(1log63)2log62·log618÷log64.解(1)原式log5(5×7)2log22log5(52×2)log5(2×7)1log5712log52log52log572.(2)原式log2log62·log6(3×6)÷log622log62(log62log631)÷(2log62)1. 三、换底公式的应用例3(1)设3

25、x4y36，求的值；(2)已知log189a,18b5，求log3645.解(1)由已知分别求出x和y.3x36,4y36，xlog336，ylog436，由换底公式得：x，y，log363，log364，2log363log364log36(32×4)log36361.(2)log189a,18b5，log185b.log3645.点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除变式迁移3(1)设log34·log48·log8mlog416，求m；(2)已知log1227a，求log616的值解(1)利用换底公式，得

26、··2，lgm2lg3，于是m9.(2)由log1227a，得a，lg3，.log616.1对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)2对于常用对数的化简要充分利用“lg5lg21”来解题3对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值一、选择题1lg83lg5的值为()A3 B1 C1 D3答案D解析lg83lg5lg8lg53lg1 0003.2已知lg2a，lg3b，则log36等于()A. B.C. D.答案B解析log36.3若lga，lgb是方程2x24x10的两

27、个根，则2的值等于()A2 B. C4 D.答案A解析由根与系数的关系，得lgalgb2，lga·lgb，2(lgalgb)2(lgalgb)24lga·lgb224×2.4若2.5x1 000,0.25y1 000，则等于()A. B3 C D3答案A解析由指数式转化为对数式：xlog2.51 000，ylog0.251 000，则log1 0002.5log1 0000.25log1 00010.5设函数f(x)logax (a>0，且a1)，若f(x1x2x2 005)8，则f(x)f(x)f(x)的值等于()A4 B8 C16 D2loga8答案C解

28、析因为f(x)logax，f(x1x2x2 005)8，所以f(x)f(x)f(x)logaxlogaxlogax2loga|x1|2loga|x2|2loga|x2 005|2loga|x1x2x2 005|2f(x1x2x2 005)2×816.二、填空题6设lg2a，lg3b，那么lg_.答案解析lglg1.8lglg(lg2lg91)(a2b1)7若logax2，logbx3，logcx6，则logabcx的值为_答案1解析logabcxlogax2，logbx3，logcx6logxa，logxb，logxc，logabcx1.8已知log630.613 1，log6x0.

29、386 9，则x_.答案2解析由log63log6x0.613 10.386 91.得log6(3x)1.故3x6，x2.三、解答题9求下列各式的值：(1)lglglg；(2)(lg5)22lg2(lg2)2.解(1)方法一原式(5lg22lg7)·lg2(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.方法二原式lglg4lg7lglg(·)lg.(2)方法一原式(lg5lg2)(lg5lg2)2lg2lg10·lglg4lglg101.方法二原式(lg10lg2)22lg2lg2212lg2lg222lg2lg221.10

30、若26a33b62c，求证：.证明设26a33b62ck (k>0)，那么6·logk22×3logk3logk(26×36)6logk63×2logk6，即.22.2对数函数及其性质1对数函数的概念形如ylogax (a>0且a1)的函数叫做对数函数对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，)；(2)对数函数的解析式ylogax中，logax前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a必须满足a>0，且a1；(3)

31、以10为底的对数函数为ylgx，以e为底的对数函数为ylnx.2对数函数的图象及性质：a>10<a<1图象性质函数的定义域为(0，)，值域为(，)函数图象恒过定点(1，0)，即恒有loga10当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0函数在定义域(0，)上为增函数函数在定义域(0，)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式yax (a>0，且a1)ylogax(a>0，且a1)定义域(，)(0，)值域(0，)(，)函数值

32、变化情况a>1时，；0<a<1时，xa>1时，logax；0<a<1时，logax图象必过定点点(0,1)点(1,0)单调性a>1时，yax是增函数；0<a<1时，yax是减函数a>1时，ylogax是增函数；0<a<1时，ylogax是减函数图象yax的图象与ylogax的图象关于直线yx对称实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值ylogmn有以下规律：(1)当(m1)(n1)>0，即m、n范围相同(相对于“1”而言)，则logmn>0；(2)当(m1)(n1)<0，即m、n范围相反(相对于

33、“1”而言)，则logmn<0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log2<0，log52>0等，一眼就看出来了！ 题型一求函数定义域求下列函数的定义域：(1)ylog3x1；(2)y (a>0，a1)分析定义域即使函数解析式有意义的x的范围解(1)要使函数有意义，必须同时成立，解得x>1.定义域为(1，)(2)要使原函数有意义，需1loga(xa)>0，即loga(xa)<1logaa.当a>1时，0<xa<a，a<x<0.当0<a<1时，xa>a，x>0.当a>1时，原函数

34、定义域为x|a<x<0；当0<a<1时，原函数定义域为x|x>0点评求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x，还要考虑不能使分母为零 题型二对数单调性的应用(1)log43，log34，log的大小顺序为()Alog34<log43<logBlog34>log43>logClog34>log>log43Dlog>log34>log43(2)若a2>b>a>1，试比较loga，logb ，logba，logab的大小(1)解析log34>1,0&

35、lt;log43<1，loglog11，log34>log43>log.答案B(2)解b>a>1，0<<1.loga<0，logb(0,1)，logba(0,1)又a>>1，且b>1，logb<logba，故有loga<logb<logba<logab.点评比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a>1为增；0<a<1为减)比较如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较如果两对数的底数不同而真数相同，如yloga1x与yloga

36、2x的比较(a1>0，a11，a2>0，a21)当a1>a2>1时，曲线y1比y2的图象(在第一象限内)上升得慢即当x>1时，y1<y2；当0<x<1时，y1>y2.而在第一象限内，图象越靠近x轴对数函数的底数越大当0<a2<a1<1时，曲线y1比y2的图象(在第四象限内)下降得快即当x>1时，y1<y2；当0<x<1时，y1>y2即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小已知loga<1，那么a的取值范围是_分析利用函数单调性或利用数形结合求解解析由loga<1logaa

37、，得当a>1时，显然符合上述不等式，a>1；当0<a<1时，a<，0<a<.故a>1或0<a<.答案a>1或0<a<点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a>1时，logax>0x>1，logax<00<x<1；(2)当0<a<1时，logax>00<x<1，logax<0x>1. 题型三函数图象的应用若不等式2xlogax<0

38、，当x时恒成立，求实数a的取值范围解要使不等式2x<logax在x时恒成立，即函数y=logax的图象在内恒在函数y=2x图象的上方，而y=2x图象过点.由图可知，loga>，显然这里0<a<1，函数y=logax递减又loga>=log，a>，即a>.所求的a的取值范围为<a<1.点评原问题等价于当x时，y1=2x的图象在y2=logax的图象的下方，由于a的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a必为小于1的正数，当y2的图象通过点时，y2满足条件，此时a=.那么a是大于a还是小于a才满足呢？可以画图象观察，请试着画一

39、画这样可以对数形结合的方法有更好地掌握设函数f(x)lg(ax22x1)，若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围错解f(x)的值域是R，ax22x1>0对xR恒成立，即a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别正解函数f(x)lg(ax22x1)的值域是R真数tax22x1能取到所有的正数当a0时，只要x>，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a0时，必须有0<a1.f(x)的值域为R时，实数a的取值范围为0,1本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用1(广东高考

40、)已知函数f(x)的定义域为M，g(x)ln(1x)的定义域为N，则MN等于()Ax|x>1Bx|x<1Cx|1<x<1 D解析由题意知Mx|x<1，Nx|x>1故MNx|1<x<1答案C2(湖南高考)下列不等式成立的是()Alog32<log23<log25Blog32<log25<log23Clog23<log32<log25Dlog23<log25<log32解析ylog2x在(0，)上是增函数，log25>log23>log221.又ylog3x在(0，)上为增函数，log32&

41、lt;log331.log32<log23<log25.答案A3(全国高考)若x(e1,1)，alnx，b2lnx，cln3x，则()Aa<b<c Bc<a<bCb<a<c Db<c<a解析<x<1，1<lnx<0.令tlnx，则1<t<0.abt2tt>0.a>b.cat3tt(t21)t(t1)(t1)，又1<t<0，0<t1<1，2<t1<1，ca>0，c>a.c>a>b.答案C1已知函数f(x)的定义域为集合M，g(x)

42、ln(1x)的定义域为集合N，则MN等于()Ax|x>1 Bx|x<1C. D答案C2已知函数f(x)lg，若f(a)，则f(a)等于()A. B C2 D2答案B解析f(a)lglg1lgf(a).3已知alog23，blog32，clog42，则a，b，c的大小关系是()Ac<b<a Ba<b<cCb<c<a Dc<a<b答案A解析因为alog23>1，blog3 2<1，所以a>b；又因为2>，则log32>log3，而log42log2，所以b>，c，即b>c.从而a>b>

43、c.4函数f(x)lg|x|为()A奇函数，在区间(0，)上是减函数B奇函数，在区间(0，)上是增函数C偶函数，在区间(，0)上是增函数D偶函数，在区间(，0)上是减函数答案D解析已知函数定义域为(，0)(0，)，关于坐标原点对称，且f(x)lg|x|lg|x|f(x)，所以它是偶函数又当x>0时，|x|x，即函数ylg|x|在区间(0，)上是增函数又f(x)为偶函数，所以f(x)lg|x|在区间(，0)上是减函数5函数yax与ylogax (a>0，且a1)在同一坐标系中的图象只可能为()答案A解析方法一若0<a<1，则曲线yax下降且过(0,1)，而曲线ylogax

44、上升且过(1,0)；若a>1，则曲线yax上升且过(0,1)，而曲线ylogax下降且过(1,0)只有选项A满足条件方法二注意到ylogax的图象关于x轴对称的图象的表达式为ylogax，又ylogax与yax互为反函数(图象关于直线yx对称)，则可直接选定选项A.6设函数f(x)log2a(x1)，若对于区间(1,0)内的每一个x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为()A(0，) B.C. D.答案D解析已知1<x<0，则0<x1<1，又当1<x<0时，都有f(x)>0，即0<x1<1时都有f(x)>0，所以0<

45、;2a<1，即0<a<.7若指数函数f(x)ax (xR)的部分对应值如下表：x202f(x)0.69411.44则不等式loga(x1)<0的解集为_答案x|1<x<2解析由题可知a1.2，log1.2(x1)<0，log1.2(x1)<log1.21，解得x<2，又x1>0，即x>1，1<x<2.故原不等式的解集为x|1<x<28函数ylogax (1x2)的值域为1,0，那么a的值为_答案解析若a>1，则函数ylogax在区间1,2上为增函数，其值域不可能为1,0；故0<a<1，此

46、时当x2时，y取最小值1，即loga21，得a12，所以a.9已知函数f(x)是实数集R上的减函数，那么实数a的取值范围为_答案解析函数f(x)为实数集R上的减函数，一方面，0<a<1且3a1<0，所以0<a<，另一方面，由于f(x)在R上为减函数，因此应有(3a1)×14aloga 1，即a.因此满足题意的实数a的取值范围为a<.10已知f(x)1log2x (1x4)，求函数g(x)f2(x)f(x2)的最大值和最小值解f(x)的定义域为1,4，g(x)的定义域为1,2g(x)f2(x)f(x2)(1log2x)2(1log2x2)(log2x

47、2)22，又1x2，0log2x1.当x1时，g(x)min2；当x2时，g(x)max=7. 学习目标1掌握对数函数的概念、图象和性质2能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质 自学导引1对数函数的定义：一般地，我们把函数ylogax(a>0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象与性质定义ylogax (a>0，且a1)底数a>10<a<1图象定义域(0，)值域R单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数共点性图象过点(1,0)，即loga10函数值特点x(0,1)时，y(

48、，0)；x1，)时，y0，)x(0,1)时，y(0，)；x1，)时，y(，0对称性函数ylogax与ylogx的图象关于x轴对称3.反函数对数函数ylogax (a>0且a1)和指数函数yax_(a>0且a1)互为反函数 一、对数函数的图象例1下图是对数函数ylogax的图象，已知a值取，则图象C1，C2，C3，C4相应的a值依次是() A. B CD答案A解析方法一因为对数的底数越大，函数的图象越远离y轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a值依次为.方法二过(0,1)作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1

49、,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小点评函数y=logax (a>0，且a1)的底数a的变化对图象位置的影响如下：上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x轴左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大变式迁移1借助图象比较m，n的大小关系：(1)若logm5>logn5，则mn；(2)若logm0.5>logn0.5，则mn

50、.答案(1)<(2)> 二、求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y；(2)y；(3)ylog(x1)(2x)分析定义域即使函数解析式有意义的x的范围解(1)该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可，定义域是x|x>0(2)要使函数y有意义，必须log0.5(4x3)0log0.51，0<4x31.解得<x1.定义域是.(3)由，得即0<x<2或1<x<0，所求定义域为(1,0)(0,2)点评求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于

51、零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式变式迁移2求y(a>0，a1)的定义域解loga(4x3)0.(*)当a>1时，(*)可化为loga(4x3)loga1，4x31，x1.当0<a<1时，(*)可化为loga(4x3)loga1，0<4x31，<x1.综上所述，当a>1时，函数定义域为1，)，当0<a<1时，函数定义域为. 三、对数函数单调性的应用例3比较大小：(1)log0.81.5与log0.82；(2)log35与log64.分析从比较底数、真数是否相同入手解(1)考查对数函数ylog0.8x在(0，)内是减函数，1.5<2，log0.81.5>log0.82.(2)log35和log