固体物理第20-26讲

1、11）从坐标原点出发，经过n个垂直平分面（线）方能到达的区域，为第（n+1）布里渊区。2）布里渊区的序号越大，分离的区域数目就越多。3）不论分离的区域数目是多少，各布里渊区的面积都相等。4）高序号的各区域可通过平移适当倒格矢而移入第一布里渊区。复习：复习：布里渊区的特点布里渊区的特点（以二维方格子为例）（以二维方格子为例）a2a2a2a2213正方形正方形正格子正格子简约布里简约布里渊区形状渊区形状面心立方面心立方正方形正方形十四面体十四面体(截角八面体截角八面体)体心立方体心立方十二面体十二面体简约布里渊简约布里渊区体积区体积(面积面积)*1SS *V 1*V 1布里渊区的形状由晶体结构的布

2、拉菲晶格决定；布里渊区的形状由晶体结构的布拉菲晶格决定；布里渊区的体积布里渊区的体积( (或面积或面积) )等于倒格原胞的体积等于倒格原胞的体积( (或面积或面积) )。235.6 紧束缚方法紧束缚方法原子结合成晶体时，电子的状态发生了根本性变化，电子从孤立原子的束缚态变为晶体中的公有化状态。电子状态变化大小取决于电子在某原子附近受该原子势场的作用与其它诸原子势场作用的相对大小。若电子所处原子势场的作用比其它原子势场的作用大得多（原子内层电子，晶体中原子间距较大），近自由电子近似就不适用。电子公有化运动状态与原子束缚态之间有直接联系。一、引言一、引言4紧束缚方法出发点：紧束缚方法出发点：（1）

3、电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成是微扰作微扰作用用。（2）由此得到原子中电子能级与晶体中能带的相互联系。5二、原子轨道的线性组合（二、原子轨道的线性组合（LCMO）当晶体中原子间距较大时，电子被束缚在原子附近的几率比远离原子的几率大得多，电子在某格点（设为简单晶格）附近的行为同孤立原子中电子的行为相似：（1）r偏离Rn较大时，波函数(k, r-Rn)是小量。此时原子波函数at(k, r-Rn)也是小量（2）rRn时，波函数(k, r-Rn)与孤立原子波函数at(k, r-Rn)相近用孤立原子波函数at(k, r-Rn) 来描述波函数(k, r-Rn)能概括

4、紧束缚条件下波函数的上述两大特点。6设晶体中第n个原子的位矢为332211nnnnaaaR若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子某束缚态 at(r-Rn) 。)(E)()(Vm2natatnatnat22RrRrRr第n个原子的原子势场束缚态对应能量晶体为N个相同原子构成的布喇菲格子，将有N个相同能量Eat 和at，是个N重简并系统。7取上述N个简并态的线性组合nnatn)(aRr作为晶体中电子公有化状态的波函数。nlnat)(V)(V)(VRrRrr把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，晶体势场V(r)由原子势场构成)(E)(Vm222kr晶体中电子薛定谔方程波函数波函

5、数8三、微扰计算三、微扰计算在紧束缚近似下（原子间距较at轨道大得多），不同原子的重叠很少：mnnatmatdrRrRr)()(*以at*(r-Rm)左乘并对整个晶体积分0d)()(V)(V)(*aEEanatnatnmatnatm rRrRrrRr电子薛定谔方程化为0)()(V)(V)EE(annatnatatnRrRrrnnatn)(aRr)(E)(Vm222kr)(E)()(Vm2natatnatnat22RrRrRr9积分项rRrRrrRrd)()(V)(V)(*natnatmat)(Jd)()(V)(V)(*nmatatnmatRRRRnRrV(r r)-Vat(r r)是负值，J(

6、Rm-Rn)0V(x)-Vat(x)xV(r)-Vat(r)的示意图V(r r)是周期函数100d)()(V)(V)(*aEEanatnatnmatnatm rRrRrrRrnnnmatm0a)(JEEaRRN个以an为未知数的齐次线性方程方程组中系数只由(Rm-Rn)决定，方程有下列简单形式解nineN1aRk11nnatineN)(1),(RrrkRk证明：nineN1aRk),() )(1)(1),()(rkR(RrRRrRrklnlRknR-RkRklRklinlatiinnatieeeNeNln12ninmiatnmeJeEERkRkRR)(sisatninmatsnmeJEeJEE

7、RkR-RkRRR)()()(Rs=Rn-RmnnatineN)(1),(RrrkRk布洛赫函数nnatn)(aRrnineN1aRknnnmatm0a)(JEEaRR13四、简约波矢四、简约波矢22iiiNlNi=1,2,3331221111bbbkNlNlNl22iiibkb简约波矢设晶体由N=N1N2N3个原子组成，利用周期性边界条件3 ,2 , 1i)N,(),(iiarkrk )(1)(1),()(nnatiinnatinneeNeNRrRrrkR-rkrkRk14五、非简并五、非简并s态电子的能带态电子的能带sisatse )(JEERkRRRd)()(V)(V)(*)(Jatat

8、sats*( Rs)和 ( )为相距Rs两原子的s波函数Rs=0，波函数重叠最大，将积分记为CsNatsatatssdVVCrrrrr)()()()(*积分值为负值15Rs0，相邻两格点上的孤立电子波函数交叠很少，只计及相邻格点的交叠积分。s态为球对称，最近邻的分布总是对称的，V(r)-Vat(r-Rn)也是对称的。Rn为最近邻格点时NnatsnatatssdVVJrR-rR-rrr)()()()(*值都是相同的。负号保证Js为正值R Rn n为最近邻格矢综合Rs0和Rs0，第二部分简化为nissneJCRksisatse )(JEERkR16由第一、二部分得到s态紧束缚电子能带为nissat

9、ssneJCE)(ERkkRn为最近邻格矢简单立方晶体，最近邻有6个原子), 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(aaanissatssneJCE)(ERkk)akcosakcosak(cosJ2CE)(Ezyxssatssk17能量极大值为ssatssJCEE6max对应第一布里渊区的8个角顶aaa,极小值在kx=ky=kz=0处（）。能量最小值为ssatssJCEE6min)coscos(cos2)(akakakJCEEzyxssatsskkzkxkyXRMssatssJ2CE)X(EX点XMkssatsJ6CEssatsJ2CE18能带宽度E=12Js。决定能带宽度： Js的

10、大小，取决于交叠积分 Js前的数字，取决于最近邻格点的数目，即晶体的配位数。波函数交叠程度大，配位数高，能带越宽；反之，能带越窄。晶体中电子的能带与孤立原子中电子的能级关系CsEsat晶体中电子的能带孤立原子中电子的能级12Js19六、简立方晶格六、简立方晶格p态电子的能带态电子的能带原子p态是三重简并的，三个p原子轨道)(rxfxpyzxyz)(rzfzpxyz)(ryfyp20根据简立方晶格的对称性，三个p轨道各自形成一个能带，其波函数为各自原子波函数的布洛赫和nnpipxnxeN)(1),(RrrkRknnpipynyeN)(1),(RrrkRknnpipznzeN)(1),(RrrkR

11、kxyxypx轨道py轨道21xy电子云主要集中在x方向，六个近邻重叠积分：沿x轴(a, 0, 0)和(-a, 0, 0)重叠积分大，用J1表示（0）p态紧束缚电子能带sispatppsiieJCEERkRk)()(RRdVVJatpatsatpsii)()()()(*)(（1）px带)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzyxpatppxkppppCCCCzyxizyx,J1J222（2）Py和Pz带)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzxypatppyk)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEyxzpatppzkkzkxkyXRM: (

12、0, 0, 0)；: (/2a, 0, 0)；X: (/a, 0, 0)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzyxpatppxkXkx6atsssECJssatsJ2CE2142JJCEpatp2142JJCEpatp2142JJCEpatpS带px带py，pz带能带与原子能级能带与原子能级1、原来孤立原子的每个、原来孤立原子的每个能级能级，当原子相互接近组成晶，当原子相互接近组成晶体，由于原子间相互作用，就分裂成一个体，由于原子间相互作用，就分裂成一个能带能带。2、原子间距、原子间距越小越小，原子波函数间交叠，原子波函数间交叠越多越多，相互作用，相互作用积分值积分值 Js

13、越大。越大。3、能带宽度正比于相互作用积分值、能带宽度正比于相互作用积分值 Js，相互作用越大，相互作用越大，Js 越大，能带宽度就越大。越大，能带宽度就越大。4、一个原子能级、一个原子能级 i 形成晶体的一个能带，原子的形成晶体的一个能带，原子的不同不同能级能级，在晶体中形成一系列，在晶体中形成一系列能带能带，如：，如：s 带，带，p 带，带，d 带。带。紧束缚近似模型能带产生的解释：紧束缚近似模型能带产生的解释：七、孤立原子能级与晶体能带的对应七、孤立原子能级与晶体能带的对应23a、孤立原子势场中电子的能级。、孤立原子势场中电子的能级。b、N 个原子无相互作用时，个原子无相互作用时，N 度

14、简并度简并。N 个原子形成晶体相个原子形成晶体相互作用时，每个互作用时，每个 N 度简并能级过渡为度简并能级过渡为 N 个准连续的能带。个准连续的能带。能带交叠能带交叠 图示紧束缚近似模型能带产生过程图示紧束缚近似模型能带产生过程能带与原子能级能带与原子能级七、孤立原子能级与晶体能带的对应七、孤立原子能级与晶体能带的对应2425七、孤立原子能级与晶体能带的对应七、孤立原子能级与晶体能带的对应E123原子晶体能带的宽窄与轨道重叠及配位数有关26八、万尼尔（八、万尼尔（Wannier）函数）函数nnati)(eN1),(nRrrkRk紧束缚近似中，能带中电子波函数为原子波函数的布洛赫和nnatn)

15、(aRrnni),(WeN1),(nrRrkRk对于任何能带布洛赫函数都可以写成类似的形式万尼尔函数万尼尔函数kin),(eN1),(WnrkrRRk能带万尼尔数由其布洛赫函数定义定义定义研究电子空间局域性的工具27性质性质（1）万尼尔数之间是完全正交的）万尼尔数之间是完全正交的nnnnd )(W)(*Wrr ,Rr ,R布洛赫函数的集合和万尼尔数的集合是两组完备的正交函数集，它们之间由幺正矩阵相联系。kinneNW),(1),(rkrRRk),(),(),(1),(),(),(),(1),(22211121rkrkrkrRrRrRrkrRN21RkRkRkRkRkRkRkRkRkRkN21N

16、21N21NnNnNnnnnnnnNniiiiiiiiinnnkineeeeeeeeeNWWWeNW28mnnatmatdrRrRr)()(*（2）紧束缚近似下万尼尔数就是各格点上孤立原）紧束缚近似下万尼尔数就是各格点上孤立原子波函数子波函数（3）能带偏离紧束缚近似模型很远时，万尼尔数）能带偏离紧束缚近似模型很远时，万尼尔数很少保留孤立原子波函数的信息很少保留孤立原子波函数的信息295.7 正交化平面波正交化平面波 赝势赝势一、引言一、引言在近自由电子近似中，假定周期势场起伏很小， 可将其展成傅立叶级数lille )(V)(VrKKr意味着系数V(Kl)很小V(Kl)是联系k态和k+Kl态之间

17、的矩阵元V(Kl)很小指下述不等式能够经常被满足)()()(00llVEEKKkkkimkmeaNrKkKr)()(1)(从而使计算大为简化2)()(222kmVammmKkKK30实际材料中，周期势场起伏并不很小，在原子核附近，库仑吸引作用使V(r)偏离平均值很远因此)()()(00llVEEKKkk并不是经常能满足使得k态的微扰计算需包含很多k+Kl态平面波的叠加，增加了计算的困难，甚至不可能完成31另一方面，在固体中，人们关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中，价电子的状态发生了很大变化，而内层电子的变化较小。价电子波函数与平面波的显著区别： 在原子实附近电子波函数急速振荡平面波波函数

18、价电子波函数32rR(r)O1srR(r)O2srR(r)O3s氢原子1s, 2s, 3s态的径向函数内层电子的波函数在原子实附近也是含有多次振荡。价电子与内层电子属于不同的能态，即对应不同的本征值，它们的波函数正交。33为什么近自由电子近似的计算结果对于实际能带是适合的？赝势可以说明上述问题。利用正交化平面波可以证明：与内层电子波函数正交的要求，起着一种排斥势能的作用，它在很大程度上抵消了在离子实内部V(r)的吸引作用。34价电子波函数与平面波的显著区别：在原子实附近电子波函数急速振荡。内层电子的波函数在原子实附近也含有多次振荡。为了克服平面波描述布洛赫波收敛慢的缺点，赫令（1940）提出了

19、正交化平面波正交化平面波方法。一、正交化平面波一、正交化平面波35内层电子波函数用紧束缚模型来描述nnatjijk)(eN1nRrRk远离格点价电子波函数近似平面波，在原子实附近多次振荡为反映这个特点，构造一个正正交化平面波：平面波和内层电子波函数的线性组合。倒格矢由正交条件求出Nijk0d ),(*rrkij正交化平面波正交化平面波l1jjkij)( iiieN1),(rKkrk正正交化平面波 rrrKkdeiiatjij*136价电子波函数由正交化平面波构造：piiik1),()(rkr变分参量p的个数根据具体情况确定如何求价电子能量的期待值？价电子波函数价电子波函数37piiik1),(

20、)(rkr0)()EH(krijjijiijkNkEJHdEHI,*)()( )(*rrrNijjiNijjidH*Hd*Jrr由I对j*的变分I/j*=0pjEJHpijijii, 2 , 1, 01由i系数行列式为零的条件，求出E的最小值即为价电子能量的期待值。用变分法求价电子能量的期待值用变分法求价电子能量的期待值38二、赝势二、赝势价电子波函数在原子实附近起伏剧烈，有多次振荡，这与近自由电子平滑的零级波函数有显著区别。采用近自由电子模型的原因在于该模型简单明了，能解释许多金属晶体的实验结果。赝势理论可解释这一矛盾。39内层电子的能量piljjkjijiEEEVm11220)()()(2

21、rrjkjjkEVm)(222rkk22E)(Vm2rpiljjkijik11)()(rrp1i)( ii)(eNirrKkpiiik1),()(rkr rrrKkde*1iiatjijl1jjkij)( iiieN1),(rKkrkNijk0d ),(*rrk价电子波动方程价电子波动方程40赝势赝波函数由有限的平面波构成，必定是光滑的，光滑的波函数对应一个起伏很小的势场。赝势一定是一个较小的量。)()(222rrEVmp1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkrpiljjkjijiEEEVm11220)()()(2rr赝势方程赝波函数p1i)( iiieN)(rKk

22、r赝势方程赝势方程41赝势 赝波函数p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr)(V rpiljjkijik11)()(rrp1i)( iiieN)(rKkr42赝势方程与实际方程的比较赝势方程与实际方程的比较p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr)(V rp1i)( iiieN)(rKkrpiljjkijik11)()(rr)()(222rrEVm)(E)(Vm2kk22rr求价电子能量E43V(r)是一负值，是吸引势。价电子能量大于内层电子能量，E-Ej总是正值，相当于排斥势；赝势的第二项抵消部分吸引势，使得有效势即赝势成为一个较

23、小的量。这就是金属中的价电子可作为近自由电子看待的理由。为什么赝势一定是个较小的量？为什么赝势一定是个较小的量？p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr445.8 电子的平均速度电子的平均速度平均加速度和有效质量平均加速度和有效质量一、晶体中电子的平均速度一、晶体中电子的平均速度电子不能同时具有确定的位置和速度，但其平均位置和平均速度是确定的。电子的平均速度HHi1dtdrrr rrrrrrrdHH*HHkNk表达式表达式45)(ueH)(Hi)(H)(Hkkikkkkkrrrrrrk)(ue )(E)(Hi)()(E)()(Ekkikkkkkrkrrrkrkrk

24、)()()(rkrkkEHkjizyxkkkkkjizyxkkkk)(ue)(kikrrrk)(ue)(i)(kkikkkrrrrrkHH iEkrr)(ue )EH()(HiHiEkkikkrrrrrk46乘以k*(r)并对晶体积分NkkikNkkikkkiNkd)(uEe)(*d)(ue*)(Hd)(ueH)(*rrrrrrrrrrkrkrkNkkk0d)(HiHiE)(*rrrrr)(ue )EH()(HiHiEkkikkrrrrrkNkkkd)(HiHi)(*ErrrrrHHi1dtdrrr)(1kEk平均速度平均速度47二、电子的平均加速度和有效质量二、电子的平均加速度和有效质量dt

25、是一个很小时间间隔，远小于电子平均自由时间，则在dt时间内外力F作的功使电子能量增加dtdEF 电子的准动量dE又可表示为kkddEdEk)(E1kk0dt)(dk-FFk )(dtd该式对所有波矢状态成立平均加速度平均加速度48电子的平均加速度dt)(dE1dtdE1dtdE1Edtd1dtdkk2kkkkkka21kkEaFFk )(dtd49zyx2z2yz2xz2zy22y2xy2zx2yx22x22zyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkE1aaa晶体中电子相应质量是个张量，称有效质量。kkEm22*Fam1有效质量有效质量FaE1kk250简立方晶体，紧束缚简立方

26、晶体，紧束缚s态电子的有效质量态电子的有效质量其它交叉项的倒数全为零)coscos(cos2)(akakakJCEEzyxssatssk电子的能量为电子的有效质量分量为122122122)(cos2*)(cos2*)(cos2*akJamakJamakJamzszzysyyxsxxkkEm22*51能带顶，处)a,a,a(k02*22szzyyxxJammm处，m*xx，m*yy，m*zz都变成)a2,a2,a2(k能带底，k=(0, 0, 0)处02*22szzyyxxJammmkzkxkyRMXMkssatsJ6CEssatsJ2CE122122122)(cos2*)(cos2*)(cos

27、2*akJamakJamakJamzszzysyyxsxx有效质量与电子状态有关，可正，可负，有时还为无穷52晶体中电子的有效质量可能成为负值，甚至会变晶体中电子的有效质量可能成为负值，甚至会变为无穷大为无穷大! ？在电子的能带中，晶格势场对电子有作用，而我们在考虑有效质量时只考虑外力和加速度的关系。有效质量实际上包含了晶格对电子的贡献。E241300aa20a2ak12V近自由电子能带53若电子与晶格的相互作用力为Fl ，牛顿定律记为)FF(m1alF l的具体表达式难以得知，要使上式中不出现F l又要保持式子恒等，上式可改写为Fma*1电子的有效质量本身包含了晶格的作用F 外力54mdtF

28、mFdtmFdtl*F*m1a),FF(m1al电子给予晶格的外力给予电子的晶格给予电子的外力给予电子的)P()P(m1)P()P(m1*mP用动量的增量代换冲量55讨论：讨论：1) 当电子从外场中获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量m*0（能带底）；2) 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，m*0（能带顶）；3) 当电子从外场获得的动量全部传递给晶格时， m*，电子的平均加速度为零。电子给予晶格的外力给予电子的)P()P(m1*mP565.9 等能面等能面 能态密度能态密度一、等能面一、等能面E123原子晶体在原子中电子本征态形成一系列分裂能级，可以标明各能级的能量，

29、说明它们的分布情况在固体中电子能级异常密集，标明其中每个能级已没有意义，如何研究？EE+dE多少个能态？能态密度能态密度57等能面等能面：k空间内，电子能量等于定值的曲面。0K时电子将能量区间OEF0 占满， EF0为费米能。m2kE2F20F能量EF0的等能面称为费米面费米半径EF0kF0Km2kE22自由电子的能量为其等能面为一个个同心球面。例：自由电子的等能面例：自由电子的等能面1、 定义定义费米面（等能面）：波矢空间内占有电子与未占有电子区域分界面。58布洛赫电子在布里渊区边界能带不连续，出现禁带。2、问题：布洛赫电子等能面有何特点？、问题：布洛赫电子等能面有何特点？近自由电子能带E2

30、41300aa20a2ak12V59（1）波矢空间内电子的能量具有周期性）波矢空间内电子的能量具有周期性普遍地，晶体中电子的能量在波矢空间内是倒格矢的周期函数)()(nEEKkk一维晶格近自由电子能带Ea0ak周期性、反演对称性周期性、反演对称性3、电子能带的基本特点、电子能带的基本特点60证明：设波矢k和k波函数分别为k(r)和-k(r)。)()(E)(H)(*)(E)(*H)()(E)(Hkkkkkkrkrrkrkkr（2）波矢空间内电子的能量具有反演对称性）波矢空间内电子的能量具有反演对称性)(E)(Ekk对第三式两端左乘k(r)并积分得rrrkrrrdEdHkNkNkk)()()()(

31、)(NkkkNkd)()()(Ed)(*)(*Hrrrkrrr厄密算符0)()()()(NkkdEErrrkk610)()()()(NkkdEErrrkk)(E)(Ed)()(Nkkkkrrr，0时0Nkkd)()(rrr需证明需证明62l lN)( illde)(a)(allrKkKkrKKl)( ilkle )(a)(rKkKkrl)( ilkle )(a)(rKkKkrNkkd)()(rrr（布洛赫波函数为一系列平面波的线性组合）（布洛赫波函数为一系列平面波的线性组合）0Nkkd)()(rrr证明证明平面波分量 的系数r)Kk( ilelllN)(a)(aKkKkmnmn,N)( ide

32、N1KKrKKr=rKkKkr)( illkle )(*a)(*)(*)(llaaKkKkllNkkaNd0)()()(2Kkrrr)()(kk EE634、等能面在布里渊区边界上的特点、等能面在布里渊区边界上的特点电子的波矢落在布里渊区边界上时，波矢满足的方程为0)2(nnKkK布里渊区边界A的反演对称点B的反演对称点 KnKnABCDOk布里渊区边界与波矢k k（1）边界的认识）边界的认识nABKkk64B点与A点的关系是nABKkkCAkkkDBkk)(E)(E),(E)(EDBCAkkkk)(E)(Ekk（2 2）二维平面内，）二维平面内，两对称平行的两对称平行的布里渊区边界最布里渊区

33、边界最多有四点多有四点( (k = Kn/2时，退化成两点时，退化成两点) )与等能线相交。与等能线相交。-KnKnABCDOkA C )(E)(EnKkk)(E)(EBAkk)()()()(DCBAEEEEkkkk65A点能带的梯度nmkkkkAAAkEkEEk/)(设m和n分别为平行于和垂直于布里渊区边界的单位矢量， 和 分别为波矢平行于和垂直于边界的分量，则k/knmkkk/-KnKnABCDOkmn（3）与布里渊区边界相交处，等能面在垂直于）与布里渊区边界相交处，等能面在垂直于布里渊区边界方向上梯度为零。布里渊区边界方向上梯度为零。66B点能带的梯度-KnKnABCDOkmnnmKkk

34、kn/nmkkk/AABkkEEEknkkkkknmKkk)()()(/nmkkAAkEkE/由于E(k)是Kn的周期函数，有BAAEEEknkkkkkkKkk)()()(nmkkkkAAAkEkEEk/)(0AkEk67同理可证明0BkEk利用能带的反演对称性CAAAEEEEkkkkkk-kkkkkk)()()()(DBBBEEEEkkkkkk-kkkkkk)()()()(可证明0DCkEkEkk68由下式0DCBAkEkEkEkEkkkk（1）与布里渊区边界相交处，等能面在垂直于布里渊区边界方向上梯度为零，即与界面垂直相交。（2）费米面是一等能面，在布里渊区边界上与界面垂直截交。结论：69

35、二维等能曲线5、近自由电子等能面（第一布里渊区）、近自由电子等能面（第一布里渊区）电子的能量与自由电子的能量接近mkE2)(220k可以认为：从原点向外，等能面基本上保持为球面。（1）k的模较小时（能带底部）70等能面与界面垂直相交，等能面向外界凸出。周期场微扰使能量下降，达到同样的E需更大的k，或同样的k，E(k)减小。)(2)(22nVmkEKk（2）等能面与布里渊区边界相交处）等能面与布里渊区边界相交处二维等能曲线当E超过边界A点的能量EA，一直到E接近于顶角C点的能量EC（第一能带顶）时，等能面不再是完整的闭合面，而成为分割在各顶角附近的曲面。716、紧束缚近似下等能面（第一布里渊区）

36、、紧束缚近似下等能面（第一布里渊区）Es(k)=E02J1(coskxa+coskya+ coskZa)简立方晶格s带的能量II. 随E增大，与近自由电子情况相比，等能面与球面的偏离就更明显。Es(k)=E02J1(coskxa+coskya+ coskZa)（1）总体特点）总体特点I. k = 0能带底附近，Es(k)=E06J1+ 3J1a2(kx2+ky2+ kz2) 等能面为球面等能面为球面cosx=1-x2/2!72（2）简立方晶格的）简立方晶格的s带带kz = 0截面的等能面截面的等能面简立方晶格的s带kz = 0截面的等能面-/a/a-/a/aEs(k)=E02J1(coskxa

37、+coskya+1)= E02J1例如：1等能曲线的能量1coskxa+coskya= 002cos2cos2coscosakakakakakakyxyxyxakkakkyxyx,Es(k)=E02J1(coskxa+coskya+1)能量表达式73（3）简立方晶格）简立方晶格s带等能面举例带等能面举例a. E = E02J1等能面b. E = E0等能面Es(k)=E02J1(coskxa+coskya+ coskZa)简立方晶格s带的能量74波矢k k落在布里渊区边界上的电子，其垂直于界面的速度分量必定为零。这是布喇格反射的必然结果。该方向入射波与反射波干涉形成驻波。若电子的速度不为零，则

38、它的速度方向必定与布里渊区界面平行。7、布里渊区边界电子速度垂直分量为零、布里渊区边界电子速度垂直分量为零)(1kEk0kE1,kE1/75二、能态密度二、能态密度定义：定义：单位能量间隔两等能面间所包含的量子态数目。76晶体体积为Vc，波矢空间单位体积内波矢数目为Vc/83；考虑自旋，单位波矢空间量子态数目为Vc/43。1、能态密度的计算公式、能态密度的计算公式波矢空间内两等能面间体积元dE+dEEdSdk在波矢空间取两个邻近等能面。dkEdEkEdSdEdk77能态密度的一般表达式为EdSVdEdZENkc34)(两等能面间的量子态数目为EdSdE4Vd4VdZk3c3cVc/43EdSd

39、EdkE+dEEdSdkd积分限于一个等能面78等能面是球面，能量梯度的模为mkEk2（1）自由电子的能态密度）自由电子的能态密度EdSVdEdZENkc34)(2/12/32222)(EmVENc2、应用举例、应用举例自由电子的能态密度N(E)EO79a. 能带底附近*222bmkE电子在带底的有效质量bEEEEb是带底能量bkkk k kb是带底的波矢（2）布洛赫电子的能态密度）布洛赫电子的能态密度22)(*2)(bbbmEEkkk能量总可化为kkEm22*22mkkE22)(21)()()(bbbbkbkkEEEEkkkkkk0)(bkE k80与自由电子情况类比可求出：布洛赫电子在能带

40、底的能态密度2/12/322)(*22)(bbcEEmVEN布洛赫电子在能带底的能态密度N(E)EOEb81能量总可化为22)(*2kk tttmEE带顶的能量电子在带顶的有效质量电子在能带顶的能态密度为2/12/322)(*22)(EEmVENttc（2）布洛赫电子的能态密度）布洛赫电子的能态密度b. 能带顶附近布洛赫电子在能带顶的能态密度N(E)EOEt82（3）近自由电子的能态密度）近自由电子的能态密度1)在原点附近（O B），等能面基本保持为球面，能态密度与自由电子的相近；2)接近布里渊区边界时（B A），等能面向边界突出，单位能量间隔的两等能面波矢空间体积比自由电子情况下大得多，近自

41、由电子的能态密度较大；3)过了A点（A C），等能面不再连续，单位能量间隔的两等能面间的体积迅速减小，能态密度也迅速减小，到C点为0。自由电子和近自由电子的能态密度曲线OBN(E)近自由电子EOAC2/12/32222)(EmVENc自由电子B835.11 导体导体 半导体和绝缘体半导体和绝缘体固体都包含大量电子，但有的具有很好的电子导电性能，有的则没有电子导电性。能带理论发展初期的一个重大成就就是对区分导体、绝缘体和半导体提出理论说明。以能带理论为基础，逐步发展了有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。()()xxEkEk偶函数偶函数满带情况满带情况不满带情况不满带情况无外场时，晶体中电子能量与

42、速度无外场时，晶体中电子能量与速度()1()()xxxxdEkVkdk()1()()xxxxdEkV kd k 奇函数奇函数 无外场时，电子占据某个状态的无外场时，电子占据某个状态的几率只与能量有关，几率只与能量有关，k和和-k态电子贡献态电子贡献的电流正好相互抵消，总电流为零。的电流正好相互抵消，总电流为零。一、满带电子不导电一、满带电子不导电1、不加电场时，电子在波矢空间内对称分布，、不加电场时，电子在波矢空间内对称分布，总的电流始终为零。总的电流始终为零。8485当施加外加电场 时，每个电子都受到一个力 F= e 可见：不论k为何值，其时间变化率都相同，所有电子都以同一个速度在波矢空间内漂移。2、有外场后，由于满带的电子仍保持对称分布，、有外场后，由于满带的电子仍保持对称分布，对导电没有贡献。对导电没有贡献。Fk )(dtdke1dtd常数86A BBaa0EkA一维能带