大学物理第5章

1、15.1 波的产生和传播波的产生和传播5.2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程5.3 波的能量与能流波的能量与能流 声压与声强声压与声强 5.4 波的衍射现象惠更斯原理波的衍射现象惠更斯原理5.5 波的叠加与干涉波的叠加与干涉 驻波驻波5.6 多普勒效应多普勒效应 第第5 5章章 波动波动21 波的产生和传播波的产生和传播1. 机械波的产生机械波的产生产生条件产生条件: : 波源波源 弹性媒弹性媒( (介介) )质质 振动的传播过程称为波动，简称波。机械振动在弹性振动的传播过程称为波动，简称波。机械振动在弹性媒质（各质元间以弹性力相联系）中的传播称为媒质（各质元间以弹性力相联系）中的传

2、播称为机械波机械波，如声波、水波、地震波等；交变的电磁场通过本身的相互如声波、水波、地震波等；交变的电磁场通过本身的相互激发在空间传播，形成激发在空间传播，形成电磁波电磁波，如无线电波、光波、，如无线电波、光波、X射射线等。波动是物质的一种常见的运动形式，具有一定传播线等。波动是物质的一种常见的运动形式，具有一定传播速度，并伴随有能量的传播，能产生速度，并伴随有能量的传播，能产生干涉干涉和和衍射衍射现象等。现象等。本篇主要讨论机械波的规律。本篇主要讨论机械波的规律。绪言绪言3横波横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行：

3、质点的振动方向与波的传播方向平行波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。2. .横波和纵波横波和纵波4 简谐波简谐波: :波源作简谐振动波源作简谐振动, ,在波传到的区域在波传到的区域, ,媒质中的媒质中的质元均作简谐振动。简谐波又称余弦波或正弦波质元均作简谐振动。简谐波又称余弦波或正弦波，是规律是规律最简单、最基本的波最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。同频率的简谐波的叠加。波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振

4、动，振动相继波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后振动时间和相位依次落后。5软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向 在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。6结论：结论：(1) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” 波的传播不是媒质质元的传播波的传播不是媒质质元的传播(

5、2) “上游上游”的质元的质元依次带动依次带动“下游下游”的质元振动的质元振动(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播波是振动状态的传播(4) 同相点同相点-质元的振动状态相同质元的振动状态相同波长波长 相位差相位差2 相邻相邻波是相位的传播波是相位的传播沿波的传播方向沿波的传播方向, ,各质元的各质元的相位依次落后相位依次落后。b点比点比a点的相位落后：点的相位落后：x2ab xx传播方向传播方向u重要结论！重要结论！7波线：波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指沿波的传播方向作的一些带箭头的线

6、。波线的指向表示波的传播方向。向表示波的传播方向。波阵面：波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面面( (简称波面简称波面) )。波前：波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。即是波前。波前只有一个。平面波：平面波：波面为平面波面为平面球面波：球面波：波面为球面波面为球面3. 波阵面和波射线波阵面和波射线平面波平面波波线波线波波阵阵面面球面波球面波波波阵阵面面波线波线8波的特征量波的特征量1. .波长波长 ：两相邻同相点间的距离两相邻同相点间的距离, ,或一个振动周期内波或一个振

7、动周期内波传过的距离。传过的距离。 2. 波的频率波的频率 : : 媒质质点媒质质点( (元元) )的振动频率的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数。即单位时间传过媒质中某点的波的个数。 3. 波速波速u: :波速是振动状态的传播速度，数值上等于单波速是振动状态的传播速度，数值上等于单位时间内振动状态传播的距离。位时间内振动状态传播的距离。 Tu波速波速u主要决定于媒质的性质主要决定于媒质的性质 当波长远大于介质分子间的距离时，宏观上介质可当波长远大于介质分子间的距离时，宏观上介质可视为是连续的；若波长小到分子间距尺度时，介质不再视为是连续的；若波长小到分子间距尺度时，介质不再具备连续

8、性，此时不能传播弹性波。具备连续性，此时不能传播弹性波。弹性波在介质中传播时存在一个弹性波在介质中传播时存在一个频率上限频率上限。94. 波的传播速度波的传播速度 波速波速u 振动状态振动状态( (位相位相) )的传播速度，又称相的传播速度，又称相速。波速完全由媒质的性质速。波速完全由媒质的性质( (弹性和惯性弹性和惯性) )来确定。来确定。如液体、气体中的纵波，波速：如液体、气体中的纵波，波速：Bu 容变弹性模量容变弹性模量质量密度质量密度( (惯性惯性) )固体中的横波，波速：固体中的横波，波速：Gu 切变弹性模量切变弹性模量纵波，波速：纵波，波速：Yu 杨氏弹性模量杨氏弹性模量柔绳中的横

9、波，波速：柔绳中的横波，波速：Tu 绳中的张力绳中的张力质量线密度质量线密度10一列平面简谐波（假定是横波）坐标原点任设（不必设在波源处）波沿 X 轴正向传播 若波沿若波沿+x向传播向传播，空间任一点空间任一点 p(x, y, z)的振动的振动位位相相只和只和x与与t 有关，而和其它空间坐标无关有关，而和其它空间坐标无关平面简谐波平面简谐波 。 5.2 5.2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 如何描述任意时刻如何描述任意时刻t、波线上距原点为、波线上距原点为x 的任一点的任一点P 的振动规律？的振动规律？取任意一条波线为取任意一条波线为x 轴轴注意注意：P点振动相位落后点振动相位落后

10、0点点x2设设O点振动方程：点振动方程：) cos(0tAyo 2) cos(),(0 xtAtxyPu0 x111.1.平面简谐波的波动表达式平面简谐波的波动表达式 2) cos(),(0 xtAtxyPT/2Tu/)(cos),(0uxtAtxy 2) cos(),(0 xtAtxy平面简谐波的平面简谐波的波动表达式波动表达式)(2cos),(0 xTtAtxy波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其传播到后面各相邻质点，其振动时间振动时间和和相位依次落后相位依次落后。) cos(0tAyoOxyuxP12

11、 沿沿x 轴轴负方向负方向传播的平面简谐波的表达式传播的平面简谐波的表达式O 点简谐运动方程：点简谐运动方程：)cos(00tAy由由P 点的振动得到波动表示式点的振动得到波动表示式：)(cos),(0uxtAtxy同一时刻，沿同一时刻，沿 x 轴正轴正向，波线上各质点的向，波线上各质点的振动时间和相位依次振动时间和相位依次超前超前。)(2cos),(0 xTtAtxyy x ouxP130cosuxtAy求求 x 、t 的二阶偏导数的二阶偏导数,cos0222uxtAty222221tyuxy 任何物理量任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物

12、理量就按波的形式传播。上式，则这一物理量就按波的形式传播。平面波的波动微分方程,cos02222uxtuAxy2. 波动方程波动方程14例例: : 已知已知)3 cos()(tAtys求：平面简谐波的表达式求：平面简谐波的表达式解：解：spx2)(20 xx3 )(ttS)()(ttSp)(23 0 xxt)(23 cos),(0 xxtAtxySoxu40 x0 xx Pxb点比点比a点的相位落后：点的相位落后：x2重要结论！重要结论！15例例: 已知已知)3 cos()(tAtys解：解：3 )(ttSspx2)(2xx0)()(ttSp)(23 0 xxt)(23 cos),(0 xxt

13、Atxysx40 xuoP0 xx 求：平面简谐波的表达式求：平面简谐波的表达式163. 波动表达式波动表达式的物理意义的物理意义（1 1）给定）给定x，波动表达式波动表达式给出给出该处质元该处质元的的振动方程振动方程。（2 2）给定）给定t，波动表达式波动表达式给出给出该时刻各质元该时刻各质元离开平衡离开平衡 位置位移的分布情况，即该时刻的位置位移的分布情况，即该时刻的波形图波形图。 2) cos(),(0 xtAtxy波形曲线波形曲线( (波形图波形图) )反映某时刻反映某时刻t各质元位移各质元位移在空间的分布情况。在空间的分布情况。 ( ( t 时刻用照相机为所时刻用照相机为所有质元拍的

14、团体照有质元拍的团体照 ) ) o xut y17xxx x=u txyu0At 时刻波形时刻波形t+ t 时刻波形时刻波形不同时刻对应有不同的波形曲线不同时刻对应有不同的波形曲线 （3 3）t 和和 x 都变，都变，波动表式波动表式给出给出任意质元在任意时刻任意质元在任意时刻t 的的位移。即给出波形随时间而变化的情况。位移。即给出波形随时间而变化的情况。（1 1）给定）给定x，波动表式波动表式给出给出该处质元该处质元的的振动方程振动方程。（2 2）给定）给定t，波动表式波动表式给出给出该时刻各质元该时刻各质元离开平衡离开平衡 位置位移的分布情况，即该时刻的位置位移的分布情况，即该时刻的波形图

15、波形图。18)(cos),(0uxxttAttxxy),(),(txyttxxy若这两处位相相同，则有：若这两处位相相同，则有：)2cos(),(0 xtAtxy0uxttux即：19（1 1）A点的速度大于零；点的速度大于零； （2 2）B点静止不动；点静止不动；（3 3）C点向下运动；点向下运动；（4 4）D点的振动速度小于零。点的振动速度小于零。请指出你认为是对的答案请指出你认为是对的答案 以波速以波速 u 沿沿 X 轴逆向传播的简谐波轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图时刻的波形如下图ABCD tyv振动速度A点向下运动点向下运动， y 0；速度小于零速度小于零。D点向下运动点向下

16、运动， y 0；速度小于零。速度小于零。 ABCD20解解: (1) (1) 平面简谐波的表达式平面简谐波的表达式)(20 xx )()(0ttxP)(22 0 xxt22 xt)22cos(),(xtAtxy例：已知例：已知：x0= /2处处)2cos()(tAty求求: (1): (1)平面简谐波的表达式，平面简谐波的表达式， (2)(2)t t = = 0 0及及t t =T/4=T/4时的波形时的波形P(x)0 xx xou20 x距离距离o o点点x处取处取P点点21(2)(2)t t = = 0 0及及t t =T/4=T/4时的波形时的波形)22cos(),(xtAtxy时： 0

17、txAxy2sin )(xAxy2cos)(时：4Tt xyu0At = 0 时刻波形时刻波形t = T/4 时刻波形时刻波形422例：有一沿例：有一沿x轴正向传播的平面波，其波速为轴正向传播的平面波，其波速为u = 1ms-1，波长，波长 = 0.04m，振幅，振幅 A = 0.03m若以坐标原点恰在平衡位置而向负方若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻向运动时作为开始时刻，试求：此平面波的波动表示式。，试求：此平面波的波动表示式。23例：有一沿例：有一沿x轴正向传播的平面波，其波速为轴正向传播的平面波，其波速为u = 1ms-1，波长，波长 = 0.04m，振幅，振幅 A =

18、 0.03m若以坐标原点恰在平衡位置而向负方若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻向运动时作为开始时刻，试求：此平面波的波动表示式。，试求：此平面波的波动表示式。解：（解：（1 1）设原点的振动方程为设原点的振动方程为其中其中A = 0.03m T = /u = 0.04(s)， = 2/T = 50当当t = 0时时，y0 = 0，因此因此：cos = 0；原点的振动方程：原点的振动方程：平面波的波动表示式：平面波的波动表示式：2)(50cos03. 0uxty2)(50cos03. 0 xt)cos(0tAy)250cos(03. 00ty2由于质点速度小于零，所以由于质点速

19、度小于零，所以 = /20sin0Av24m,4 . 0,m100 . 42AsuT02. 0204 . 0)25100cos(104 . 02xt)222cos(xtTAy解：解：例例: :已知已知：u=20ms-1 , 沿沿X轴负向传播轴负向传播, , t = 0 的波形如图所示。的波形如图所示。求：振幅，波长，波的周期、求：振幅，波长，波的周期、波动表式波动表式。)22cos(otTAy20m)(ym)(xu4 . 02 . 004. 0o设设0点振动方程：点振动方程：)2cos(0otTAy, 00yv0 025 弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势弹性波传播到介质中的某处，该

20、处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。 考虑棒中的体积考虑棒中的体积V，其质量为其质量为m (m=V ) )。当波动当波动传播到该体积元时，将具有动能传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能和弹性势能Wp。)(cos),(uxtAtxy平面简谐波平面简谐波 )(sin)(21222uxtVAWWpk可以证明可以证明 3 波的能量与能流波的能量与能流 声压与声强声压与声强 1. 波的能量波的能量体积元的总机械能体积元的总机械能)(sin)(222uxtVAWWWpk26uxtVAWWpk222sin)(21 由动能、势能公式来看，波

21、在传播过程由动能、势能公式来看，波在传播过程中任一质元的动能和势能都随时间变化中任一质元的动能和势能都随时间变化，且且在同一时刻，位相相同，大小相等。在同一时刻，位相相同，大小相等。即动能达到最大值时，势能也达到最大；即动能达到最大值时，势能也达到最大；动能为零时，势能也为零。动能为零时，势能也为零。a点：位移最大处，动能为零；点：位移最大处，动能为零； 没有形变，形变势能为零。没有形变，形变势能为零。b点：位移为零处，动能最大；点：位移为零处，动能最大； 形变最大，形变势能最大。形变最大，形变势能最大。xyu0讨论讨论: :介质质元介质质元（ m = V）的机械能的机械能ab27因为弹簧振子

22、是保守孤立系统，因为弹簧振子是保守孤立系统，质元却与周围介质有相互作用。质元却与周围介质有相互作用。 质元机械能不是常量，而是随时间作周期性变化，质元机械能不是常量，而是随时间作周期性变化，这与弹簧振子总的机械能是一常数不同。这与弹簧振子总的机械能是一常数不同。整个过程，介质不积累能量。所以波的整个过程，介质不积累能量。所以波的传播过程也是能量的传播过程。传播过程也是能量的传播过程。 质元能量由质元能量由0 逐渐增加为逐渐增加为 m 2A2，表明该质元从外表明该质元从外部吸收能量；由部吸收能量；由 m 2A2逐渐减少为逐渐减少为0，表明该质元向外，表明该质元向外部输出能量。部输出能量。)(si

23、n222uxtAVW体积元的总机械能体积元的总机械能28能量密度能量密度：2. 能量密度能量密度（单位体积媒质中波的能量）（单位体积媒质中波的能量）)(sin222uxtAVW)(sin2220limuxtAVWVw220211AwdtTTwtw022Awt02221AT平均能量密度：平均能量密度：29能流能流 在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积 S ，在单位时间，在单位时间内通过内通过 S 的能量。的能量。wSuttwSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流：平均能流：2221AuSSuwP平均能流密度平均能流密度( (波的强度波的强度) ) 通过通过

24、与波传播方向垂直的单位面积与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用的平均能流，用I 来表示，即来表示，即222AuuIw3. 波的强度波的强度uSuStudtsuVdd2221AwI 的单位的单位:瓦特瓦特/米米2 (W.m-2)30平面余弦行波振幅不平面余弦行波振幅不变的意义变的意义: : )(cosuxtAyuS1AS2AuSAuSwP2211121uSAuSwP222222121PP 21AA 对于球面波对于球面波, ,若介质不吸收能量若介质不吸收能量1S2S2114 rS2224 rS通过两球面的通过两球面的总能流相等总能流相等2222221221421421ruAruA1221rrA

25、A球面波表达式：球面波表达式：)(cosurtra式中式中a 为波为波在离原点单在离原点单位距离处振位距离处振幅的数值。幅的数值。 314. 声声 波波按频率范围划分：按频率范围划分：次声波次声波 f 20Hz 声波声波 20 f 20000Hz声强声强是声波的平均能流密度，是声波的平均能流密度，即单位时间内通过垂直于声波即单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声能量。传播方向的单位面积的声能量。 2221uAI 痛觉阈痛觉阈：恰好能引起痛觉的最低声强。：恰好能引起痛觉的最低声强。 听觉阈听觉阈：恰好能引起听觉的最低声强。：恰好能引起听觉的最低声强。声强的上下限值随频率而异。声强的上下限

26、值随频率而异。 在在1000Hz时，正常人听觉的最高声强为时，正常人听觉的最高声强为1W/m2, ,最低声强为最低声强为10-12W/m2。将将I 0= = 10-12W/m2作为测定声强的标准。作为测定声强的标准。声强级声强级 010logIIIL单位为贝尔单位为贝尔（bel）若采用分贝若采用分贝（dB），010log10IIIL几种典型声音的声强级：几种典型声音的声强级：细语细语10 dB炮声的声强级炮声的声强级110 dB聚焦超声波的声强级聚焦超声波的声强级210 dB32声波在理想气体中的传播速度声波在理想气体中的传播速度 ：气体的摩尔质量气体的摩尔质量 ：气体的比热容比气体的比热容比

27、T：气体的温度气体的温度（K）R：气体常量气体常量 对同种气体、在同对同种气体、在同一状态下，各种不同频一状态下，各种不同频率的声波传播速度相同。率的声波传播速度相同。标准状态下空气中的声速标准状态下空气中的声速常温下常温下（20) 空气中的声速空气中的声速常温下某些媒质中的声速常温下某些媒质中的声速铅1300 海水1510铁5000玻璃6000( ms1 )媒质声速声波在媒质中传播的速度。声波在媒质中传播的速度。声速与媒质的特性和媒质的温度有关。声速与媒质的特性和媒质的温度有关。RTu )(331102927331. 84 . 113smu)(3341smu声速声速33例例: : 用聚焦超声

28、波的方式，可以在液体中产生强用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为动，频率为500500kHz，液体的密度为，液体的密度为1 1g/cm3，声速，声速为为15001500m/s，求这时液体质点振动的振幅。，求这时液体质点振动的振幅。 解解 因因 I=uA22/2，所以，所以 m1027. 1m105 . 1101101202105212153375uIA可见液体中声振动的振幅实际上是极小的。可见液体中声振动的振幅实际上是极小的。 34 波在弹性介质中运动时波在弹性介质中运动时, ,任一点任一点P的振

29、的振动动, ,将会引起邻近质点的振动。就此特征将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的而言，振动着的 P 点与波源相比，除了点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因在时间上有延迟外，并无其他区别。因此，此，P 可视为一个新的波源。可视为一个新的波源。1678年，年，惠更斯总结出了以其名字命名的惠更斯总结出了以其名字命名的惠更斯惠更斯原理：原理： 介质中任一波面上的各点，都可看成介质中任一波面上的各点，都可看成是产生球面子波的波源；在其后的任一时是产生球面子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的包络面构成新的波面。刻，这些子波的包络面构成新的波面。惠更斯惠更斯 5.4 波的衍射

30、现象惠更斯原理波的衍射现象惠更斯原理1. 惠更斯原理惠更斯原理35障碍物的小孔成为新的波源障碍物的小孔成为新的波源原波阵面原波阵面新波阵面新波阵面S1S2t 时刻时刻t+t 时刻时刻ut36 当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象，称为绕过障碍物发生偏折的现象，称为波的衍射波的衍射。 波在窄缝的衍射效应波在窄缝的衍射效应 2. 波的衍射波的衍射375. 5 波的叠加与干涉波的叠加与干涉 驻波驻波前面我们仅讨论了一列波在介质传播的情况，如果前面我们仅讨论了一列波在介质传播的情况，如果有几列波同时在同一介质中传播时而又相遇会怎么样？

31、有几列波同时在同一介质中传播时而又相遇会怎么样？波的独立传播定律波的独立传播定律当几列波同时在同一介质中传播时，它们是各自独立当几列波同时在同一介质中传播时，它们是各自独立地进行的，与其它波的存在与否无关。地进行的，与其它波的存在与否无关。如乐队合奏、二重如乐队合奏、二重唱，空中无线电波很多唱，空中无线电波很多( (仍能分别接收各个电台仍能分别接收各个电台) ) 。如果这如果这几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持自己原有的特性自己原有的特性( (频率、波长、振动方向等频率、波长、振动方向等) )传播。传播。1. 1. 波的叠加波的

32、叠加38在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。这种波动传播过程时在该处引起的位移的矢量和。这种波动传播过程中出现的各分振动中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理波的叠加原理。2.2.波的干涉波的干涉相干条件：相干条件：振动方向相同振动方向相同频率相同频率相同位相相同或位相差恒定位相相同或位相差恒定相干波：相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。满足相干条件的几列波称为相干波。相干波源：相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。能发出相干波的波源称为相干波源。 波叠加时在空间出现稳

33、定的振动加强和减弱的分布。波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布。39A2A1A强弱分布规律强弱分布规律两个相干波源两个相干波源S1和和 S2的振的振动方程分别为：动方程分别为：)cos(10101tAyS)cos(20202tAySS1和和 S2单独存在时单独存在时, ,在在P点引起的振动的方程为点引起的振动的方程为: :)2cos(11011rtAy)2cos(22022rtAy40P 点的合振动方程为点的合振动方程为: :)cos(021tAyyy)(2cos2121020212221rrAAAAA振幅振幅A和相位和相位 0220211012202110102cos2cos2sin

34、2sinrArArArAtg对于对于P点点 为恒量，因此为恒量，因此 A 也是恒量，并与也是恒量，并与 P点空间点空间位置密切相关。位置密切相关。)(2121020rr 4121AAA（合振幅最大）（合振幅最大）21AAA（合振幅最小）（合振幅最小）krr2)(2121020) 12()(2121020krr若若 10 = 20，上述条件简化为：上述条件简化为： ), 2, 1, 0(,21kkrr), 2, 1, 0(,21221kkrr（合振幅最大）（合振幅最大）（合振幅最小）（合振幅最小）)(2cos2121020212221rrAAAAA22x21rr 波程差波程差42 两列相干波源为

35、同相位时，在两列波叠加的区域内，两列相干波源为同相位时，在两列波叠加的区域内，在波程差等于零或等于波长的整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于零或等于波长的整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。 因因cos22122212AAAAAIcos22121IIIII若若I1=I2，叠加后波的强度：，叠加后波的强度：2cos4)cos(1 2211III,2k;41II ,) 12(k0I)(2cos2121020212221rrAAAAA43 同频率、同方向、位相差恒定的两列波同频率、同方向、位相差恒定的两列波, ,在相遇区在相

36、遇区域内域内, ,某些点处振动始终加强某些点处振动始终加强, ,另一些点处的振动始终另一些点处的振动始终减弱减弱, ,这一现象称为这一现象称为波的干涉波的干涉。干涉现象的强度分布干涉现象的强度分布o246246I2cos4)cos(1 2211III44 同频率、同方向、位相差同频率、同方向、位相差恒定的两列波恒定的两列波, ,在相遇区域内在相遇区域内, ,某些点处振动始终加强某些点处振动始终加强, ,另一另一些点处的振动始终减弱些点处的振动始终减弱, ,这一这一现象称为现象称为波的干涉波的干涉。45例：两相干波源例：两相干波源S1 1与与S2 2相距相距5m，其振幅相等，频率都是其振幅相等，

37、频率都是100Hz，位相差为位相差为 ；波在媒质中的传播速度为波在媒质中的传播速度为400ms-1，试试以以S1 1 S2 2连线为坐标轴连线为坐标轴x，以以S1 1 S2 2连线中点为原点，求连线中点为原点，求S1 1 S2 2间间因干涉而静止的各点的坐标。因干涉而静止的各点的坐标。 解：已知解：已知S2在其左侧产生的左行在其左侧产生的左行波的波动方程为波的波动方程为: : 两个振动的相差为两个振动的相差为: : x)(4 m)cos(01tAyS)2( 2) cos(01lxtAy)422cos(0 xtA)4522cos(0 xtA)cos(02tAyS)2( 2) cos(02xltA

38、y设：设：S1在其右侧产生的右行在其右侧产生的右行波的波动方程为波的波动方程为: :xS1xS2OPl46当当 = (2k+1) 时，时， 质点由于两波干涉而静止，静止点为质点由于两波干涉而静止，静止点为x = 2k，k为整数，为整数， 但必须使但必须使x的值在的值在-l/2到到l/2之间，即之间，即- -2.5到到2.5之间之间当当k = -1、0和和1时，时， 可得静止点的坐标为可得静止点的坐标为x = -2、0和和2(m) 两个振动的相差为两个振动的相差为: : x)(2121020rr xxlxl)2()2(2另解：另解：xS1S2OPl1rx2r47实验实验弦线上的驻波：弦线上的驻波

39、：3. 驻波驻波48驻驻波波的的形形成成驻波驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿是两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成的。相反方向传播时叠加而成的。490t4Tt 2Tt 43Tt 波节：波节：O B D F H 波腹：波腹：A C E G O ACE F G HBD50弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。 2, 1,2nnL 驻波条件驻波条件1n2n4n两端两端固定固定一端一端固定固定1n2n4n4.4.弦线上的驻波弦线上的驻波51沿沿x轴的正、负方向传播的行波轴的正、负方向传播的行波 xTtAy2cos1xTtAy2cos

40、2)(2cos)(2cos21xTtxTtAyyytTxAy2cos)2cos2(合成波合成波5.5.驻波方程驻波方程振幅分布因子振幅分布因子它的绝对值表示位于坐标它的绝对值表示位于坐标x处的处的振动质点的振幅。即描述振幅沿振动质点的振幅。即描述振幅沿X轴的分布规律。轴的分布规律。驻波中各质点均以驻波中各质点均以同一同一频率频率作简谐振动。作简谐振动。 谐振动因子谐振动因子52波节位置波节位置02cos2xA2) 12(2kx,.)2, 1, 0(4) 12(kkx相邻两个波腹相邻两个波腹( (节节) )间的距离为间的距离为 / /2。 波腹位置波腹位置AxA22cos2kx 2,.)2, 1

41、, 0(2kkxxA2cos2合成波的振幅合成波的振幅 与位置与位置x 有关。有关。波波节节波波腹腹53能量分布能量分布6.6.驻波能量分布与相位分布驻波能量分布与相位分布波节波节体积元不动，动能体积元不动，动能Ek=0。（1 1）其它各质点同时到达）其它各质点同时到达最大位移最大位移时：时：波腹波腹及其它质点的动能及其它质点的动能Ek= 0，波节波节处形变最大处形变最大 势能势能EP 最大最大。波腹波腹附近各点速度最大附近各点速度最大Ek 最大最大，波节波节及其它点无形变及其它点无形变EP= 0 0。（2 2）其它各质点同时通过）其它各质点同时通过平衡位置平衡位置时：时： 驻波的能量不作定向

42、传播，其能量转移过程是动能驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。也可从能流密度证也可从能流密度证明：因为能流密度明：因为能流密度等于平均能量密度等于平均能量密度乘波速，左行波与乘波速，左行波与右行波能流密度之右行波能流密度之和为零。和为零。54位相分布位相分布同一时刻，同一时刻，相邻两相邻两波节之间波节之间的各质点的各质点的振动位相的振动位相相同相同；波节两侧波节两侧的各质点的振动的各质点的振动位相位相相反相反。驻波不是振动位相的传播过程，驻波不是振动位相的传播过程，驻波的波形不发生定向传播。驻波

43、的波形不发生定向传播。“驻驻”字的三层含义：字的三层含义：（1 1）驻波波形不传播）驻波波形不传播（2 2）驻波位相不传播）驻波位相不传播（3 3）驻波不传播能量）驻波不传播能量tTxAy2cos)2cos2(55例：两人各执长为例：两人各执长为 l 的绳的一端的绳的一端, , 以相同的角频率和振幅在绳以相同的角频率和振幅在绳上激起振动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前上激起振动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前 ，试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不考虑试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不考虑反射。绳上的波速设为反射。绳上的波速设为u。 解解 左端的振

44、动左端的振动 tAycos1 右端的振动右端的振动 )cos(2tAy右行波表达式：右行波表达式：1cosuxtAy右左行波表达式：左行波表达式：2cosuxtAy左当当x = = - -l/2时，时，y右右= y1=Acos t，即，即 tAultAcos)2/(cos1ul21uluxtAy2cos右56)2( 2 coslxtAy右另外另外, ,由前例分析由前例分析tAyScos1uluxtAy2cos右)222 cos(uTluTxtAy右uTT2)2( cosuluxtAy右xS1S2OPlx)cos(2tAyS)2( 2 coslxtAy左uluxtAy2cos左57右行波、左行波

45、表达式：右行波、左行波表达式：uluxtAy2cos1uluxtAy2cos2合成波合成波 uluxtAyyy2cos21uluxtA2cos22cos2cos2ultuxAy当当 =0，x=0 处为波腹处为波腹; ;当当 = 时，时，x =0 处为波节。处为波节。 58当当形形成成驻驻波波时时声声 源源水水空气空气由由波波密密媒媒质质到到波波疏疏媒媒质质界界面面反反射射反反射射界界面面上上总总是是出出现现波波腹腹声声 源源水水玻璃玻璃由由波波疏疏媒媒质质到到波波密密媒媒质质界界面面反反射射反反射射界界面面上上总总是是出出现现波波节节振源振源总是出现波腹总是出现波腹固定端反射固定端反射总是出现

46、波节总是出现波节当软绳形成驻波时自由端反射自由端反射7. 由入射波与反射波产生驻波由入射波与反射波产生驻波1. 实验现象实验现象59驻波入射波反射波波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质 由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，形成驻波时，总是出现波腹。形成驻波时，总是出现波腹。反射波的振动位相总是与反射波的振动位相总是与入射波的振动相位相同入射波的振动相位相同。波阻：波阻：介质的密度和波速的乘积称为介质的密度和波速的乘积称为波阻波阻。 波阻较大的介质称为波阻较大的介质称为波密介质波密介质； 波阻较小的介质称为波阻较小的介质称为波疏介质。波疏介质。

47、2. 2. 理论分析理论分析60入射波驻波反射波波密媒质波密媒质波疏媒质波疏媒质 由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射，在界由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射，在界面处，形成驻波时，总是出现面处，形成驻波时，总是出现波节波节。反射波的振动反射波的振动位相总是与入射波的振动相位相反，位相总是与入射波的振动相位相反，即差了即差了 。，由由2半波损失半波损失2折合成波程差折合成波程差613. 3. 半波损失（解析法进一步分析）半波损失（解析法进一步分析）0 x入入反反)-(cos1uxtAy )(cos2uxtAy待定x=0，固定端反射固定端反射）合振动tAtAyyyxcos(cos, 020100)

48、1()2cos(cos12tA弦线波弦线波固定端，位移为固定端，位移为0，波节，波节，由2, 0cos1折合成波程差折合成波程差2半波损失半波损失62波从波疏介质传到波密介质的波从波疏介质传到波密介质的界面上反射时有半波损失。界面上反射时有半波损失。自由端反射，位移最大，波腹自由端反射，位移最大，波腹从上式得到：从上式得到：2, 1cosk波从波密介质传到波波从波密介质传到波疏密介质的界面上反疏密介质的界面上反射时无半波损失。射时无半波损失。)2cos(cos120tAy)-(cos1uxtAy )(cos2uxtAy, 0cos163解解: :求驻波方程的关键是求反射波波动方程求驻波方程的关

49、键是求反射波波动方程, ,并且要特别注并且要特别注意介面反射是否有半波损失。意介面反射是否有半波损失。由由y1=0.03cos(20 t- x)得到得到 =2m,或或u=20ms-1,原点振动方程为原点振动方程为: y0=0.03cos(20 t)例例1： 一平面简谐波一平面简谐波 y1=0.03cos(20 t- x),在距离原点在距离原点5m处有波处有波密媒质反射面密媒质反射面AB,波传至波传至AB全部被反射。求全部被反射。求:(1) 反射波波动方程；反射波波动方程；(2) 驻波方程驻波方程;(3) 0 x 5m内波节、波腹位置内波节、波腹位置0点振动传到介面点振动传到介面AB再反射到再反

50、射到 x 处用的时间：处用的时间：201055xuxt介面反射有半波损失介面反射有半波损失反射波的波动方程反射波的波动方程: :)2010(20cos03. 02xty)20cos(03. 0 xt0 xAB5m疏疏 密密x64)20cos(03. 02xty另解：另解：)20cos(03. 01xty)520cos(03. 01tyP入射波在反射点引起的振动：入射波在反射点引起的振动：则反射波在反射点引起的振动：则反射波在反射点引起的振动：)420cos(03. 0)520cos(03. 02ttyP建立新的坐标系：建立新的坐标系：新坐标系：反射波新坐标系：反射波)4)(20cos03. 0

51、2uxty5 xx)4)205(20cos03. 02xty20u)920cos(03. 02xty)20cos(03. 02xty0 xAB5mx疏疏密密PXo65(2)(2)驻波方程驻波方程21yyy)220cos()2cos(06. 0txtx20sinsin06. 00sin06. 0A50)3(xmx驻波内波节位置是(m)54321 ，0,，kxkx即即: :m5 . 04为相邻波节与波腹的间距所以波腹位置是所以波腹位置是: :m.54,53 ,52,51 ,50 x)20cos(03. 02xty)20cos(03. 01xty66 当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的频率不同于波源频率的现象，称为频率不同于波源频率的现象，称为多普勒效应多