椭圆的简单几何性质离心率专题

1、标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系22221(0)xyabab关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称

2、长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b.b.(a(ab)b)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba222211121,;,( ,0),xyPPabPOPPOcPPPP、点 是椭圆（ab0）上的一动点，当 坐标为_时到原点 的最大距离为_ 当 的坐标为_时 到原点 的最小距离为_，设F则当 的坐标为_时 F 的距离最大为_，的坐标为_时 F 的距离最小为_。二.离心率的常见题型及解法题型一：定义法例1.已知椭圆方程为 + =1，求椭圆的离心率；162x82y1.1.直接算出直接算出a a、c c

3、带公式求带公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.几何意义：几何意义：e e为为OPFOPF2 2的正弦值的正弦值3. 3. 已知已知a a2 2、c c2 2直接求直接求e e2 2 变式训练1： 若椭圆 + =1的离心率为1/2，求m的值.222cea29x29ym4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 221bea题型二：方程法例2.依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0eb0)+ =1(ab0)的三个顶点为的三个顶点为B B1 1 (0(0，-b)-b)，B B2 2 (0(0

4、，b),A(a,0),b),A(a,0),焦点焦点F(c,0)F(c,0)且且B B1 1FFABAB2,2,求该椭圆的离心率。求该椭圆的离心率。22ax22byB B2 2 (0(0，b)b)B B1 1 (0(0，-b)-b)A(a,0)A(a,0)F(c,0)F(c,0)x xoy y 练习 2 ：已知一椭圆的短轴长与焦距长相等，求椭圆的离心率。五.小结1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于a,c的齐次式，解出e.2.思想方法： 方程的思想，转化的思想22221(0)xya bab 练习2、（1），则椭圆的长轴

5、长_，短轴长_,离心率_ （2）若椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为_221(0)mxym（3）已知椭圆）已知椭圆 的长轴是短轴的的长轴是短轴的2倍倍则则m=2a2bc/a高考链接（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点，P为直线 x= 上一点， F2 P F1是底角为30的等腰三角形， 求该椭圆的离心率。22ax22bya23F2 (c,0)xoyF F1 1 (-c,0) (-c,0)x=3a/2x=3a/2P302c2cc2c=3a/22c=3a/2221222125.1,(0),.xyabF FabPFPFP例 已知椭圆是两个焦点，是椭

6、圆上一点，求最大时 点坐标 yoF1 1F2 2xP21PFF证明：设2211| ,|tPFtPF令212222124cost tctt由椭圆的第一定义得：att221212212212122221242)(24cost tct tttt tctt2121222244t tt tca12cos212t tb,)2(222121attt t又)(21时取等号当tt 12cos22ab最大。时，即当21), 0(PFFbP例例4 4 设设F F1 1、F F2 2为椭圆为椭圆 的两焦点，若椭圆上存在点的两焦点，若椭圆上存在点P P，使，使 F F1 1PFPF2 26060，求椭圆离心率的取，求椭

7、圆离心率的取 值范围值范围. .222210 xyabab1 ,1)2eF F1 1O OF F2 2x xy yP P典型例题典型例题22121212( 3,0)(3,0)112032xyPmnPP1、已知F、F是椭圆的两个焦点， 是椭圆上的点，当 FF时， FF的面积最大，则有（ ）A m=12,n=3 B m=24,n=6C m=6,n= D m=12,n=6 A122112 FFFP QPFPQ PFPQ、 、 为椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于 、 两点且，求椭圆的离心率。Q QBOyxF1F2MP P六.课后练习2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆

8、于点P，若为F2PF1等腰直角三角形，求椭圆的离心率.1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.3.3.已知椭圆的两个焦点为已知椭圆的两个焦点为F F1 1和和F F2 2，A A为椭圆上一为椭圆上一点点 ，且，且AFAF1 1AFAF2 2，AFAF1 1F F2 2=60=60，求该椭圆的，求该椭圆的离心率。离心率。1.1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6 6，则椭圆的方程则椭圆的方程 为为（ ）32e 120y36x22 15y9x22 15922 xy120y36x22 1203622 xy(A)(B)(C

9、)(D)15y9x22 或或或或C2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率差数列，则其离心率e=_已知椭圆 的离心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 82 ka92b12 kcx 当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 满足条件的 或 4k45k练习2：已知椭圆 的离心率 ，求 的值 ）（111522kkykx21ek练习3：例例4 4：点点M(x,y)M(x,y)与定点与定点F(4,0)F(4,0)的距离和它到定

10、直的距离和它到定直线线l l:x = :x = 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M的轨迹的轨迹。42554xyoFMlF1l( (椭圆的第二定义椭圆的第二定义) )准线方程：准线方程：cxa21.1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e、几几何意义：何意义：a a- -长长半半轴轴、b b- -短短半半轴轴、c c- -半焦距，半焦距，e e- -离心率；离心率； 相相互关系：互关系： 椭圆中的基本元素椭圆中的基本元素2.2.基本点：基本点：顶点、焦点、中心顶点、焦点、中心3.3.基本线基本线: : 对称轴对称轴（共两条线），（共两条线），准线准线222baca

11、ce 焦点总在长轴上焦点总在长轴上! !课堂小结课堂小结ca2ca2-准线准线例3：22594511312FxyPAPAPF已知 是椭圆的左焦点， 是椭圆上动点点（， ）是一定点（）求的最小值变式变式2234121112FxyPAPAPF已知 是椭圆的左焦点， 是椭圆上动点点（， ）是一定点（）求的最小值直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点) 直线与椭圆的位置关系的判定代数方法代数方法222201AxByCxyab由方程组20(0)mxnxpm24nmp=00=0方程组有两解两个交点相交方程组有一解一个交点相切方程组无解无交点相离1.1.

12、位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.2.判别方法判别方法( (代数法代数法) ) 联立直线与椭圆的方程联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)(1)00直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)(2)=0 =0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)(3)0 k-3366-k33当 =时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点lmm oxyml解：设直线 平行于 ，224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去 ，得22064-4 25-2250kk 由，得（

13、）450lxyk则 可写成：12k25k25解得=，=-25.k 由图可知 oxy45250mxy直线 为：22402515414145mld直线 与椭圆的交点到直线 的距离最近。且思考：最大的距离是多少？max22402565414145d设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )两点，直线两点，直线P P1 1P P2 2的斜率为的斜率为k k弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线例例3 3：已知斜率为已知斜率为1 1的直线的直线L

14、 L过椭圆过椭圆 的右焦点，交椭圆于的右焦点，交椭圆于A A，B B两点，求弦两点，求弦ABAB之长之长222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例5 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：

15、利用韦达定理及中点坐标公式来构造知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题例例 5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy设中点，01

16、20122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在椭圆上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 例例5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y

17、)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，练习： P49：A8例例6、如图，已知椭圆如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2

18、)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y设121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的

19、直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦长练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在椭圆内。1122( ,),(,)AMNM x yN x y设以 为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy两式相减得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 为中点的弦为方程为:59140 xy