历届数学高考中的试题精选空间向量与立体几何

1、 空间向量与立体几何 1.(2008海南、宁夏理)如图，已知点p在正方体abcda1b1c1d1的对角线bd1上，pda=60°。（1）求dp与cc1所成角的大小；（2）求dp与平面aa1d1d所成角的大小。2.（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线ab与md所成角的大小；（）求点b到平面ocd的距离。abcdoo1aboco1d3.（2005湖南文、理）如图1，已知abcd是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴oo1折成直二面角，如图2。（）证明：acbo1； （）求二面角oaco1的大小。4.（2007安徽

2、文、理)如图,在六面体中,四边形abcd是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面abcd，dd1=2。()求证:与ac共面，与bd共面. ()求证:平面 ()求二面角的大小.5.(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 （）证明：平面；（）求二面角的余弦值6.(2007四川理）如图，是直角梯形，90°，1，2，又1，120°，直线与直线所成的角为60°. （）求证：平面平面; （）求二面角的大小;（）求三棱锥的体积.abmncl2l1h7.(2006全国卷文、理)如图，、是互相垂直的异面直线,mn是它们的公垂线段.

3、点a、b在上，c在上，。 （）证明acnb；()若，求与平面abc所成角的余弦值。8.（2006福建文、理）如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，（i）求证：平面bcd； （ii）求异面直线ab与cd所成角的大小；（iii）求点e到平面acd的距离。历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲(参考答案)1解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由abcdpxyzh可得解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为2解：作于点p,如图,分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立坐标系,(1)设与

4、所成的角为, , 与所成角的大小为(2) 设平面ocd的法向量为,则即 取,解得设点b到平面ocd的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , .所以点b到平面ocd的距离为3解:（i）证明 由题设知oaoo1，oboo1. 所以aob是所折成的直二面角的平面角，即oaob. 故可以o为原点，oa、ob、oo1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是a（3，0，0），b（0，3，0），c（0，1，）,o1（0，0，）. 从而，所以acbo1. （ii）解：因为所以bo1oc，由（i）acbo1，所以bo1平面oac，是平面oac的一个法向量.设是0平面o1ac的

5、一个法向量，由 得. 设二面角oaco1的大小为，由、的方向可知，>，所以cos，>=4.解（向量法）：以d为原点，以da,dc,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），（）证明：于是与ac共面，与bd共面.（）证明：内的两条相交直线， 又平面（）解：设于是设于是5证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为6解： （），

6、又（）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的法向量取为设与所成的角为，则显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为（）解法一：由（）知，为正方形（）解法二：取平面的法向量取为，则点a到平面的距离，7解: 如图,建立空间直角坐标系mxyz.令mn=1, 则有a(1,0,0),b(1,0,0),n(0,1,0),()mn是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面abn. l2平行于z轴. 故可设c(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). ·=1+(1)+0=0

7、acnb.abmncl2l1hxyz() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知acb=60°,abc为正三角形,ac=bc=ab=2. 在rtcnb中,nb=, 可得nc=,故c(0,1, ).连结mc,作nhmc于h,设h(0, ) (>0). =(0,1,), =(0,1, ). · = 12=0, = ,h(0, , ), 可得=(0, ), 连结bh,则=(1, ),·=0+ =0, , 又mcbh=h,hn平面abc,nbh为nb与平面abc所成的角.又=(1,1,0),cosnbh= = = 8 (1)证明：连结oc.bo=do,ab=ad, aobd.bo=do,bc=cd, cobd.在aoc中，由已知可得ao=1,co=.而ac=2,ao2+co2=ac2,aoc=90°,即aooc.ao平面bcd.（）解：以o为原点，如图建立空间直角坐标系，则b(1，0，0)，d(-1，0，0)，c(0，0)，a(0,0,1),e(,0), 异面直线ab与cd所成角的大小为（）解法一：设平面acd的法向量为n=(x,y,z),则 令y=1，得n=(-)是平面acd的一个法向量.又点e到平面acd的距离h=