函数的奇偶性及其应用(答案版)

1、一、关于函数的奇偶性的定义：定义说明：对于函数的定义域内任意一个：（1） 是偶函数；（2）奇函数；（3）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ，二、函数的奇偶性的几个性质：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反（5）奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数 奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数三、函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、 相等，步骤如下：（1）

2、 首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：1、判断下列函数的奇偶性（1）； （2） (5)f(x)+解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数（2）当时，则，当时，则，综上所述，对任意的，都有，为奇函数（3）f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为-1，1，将化简得f(x)=0.f(x)既是偶函数，又是奇函数.（4）奇函数 （5）此函数定义域为2，故f(x)是非奇非偶函数。2、设为实数，函数，讨论的奇偶性；解：（1）当时，此时为偶函数；当时，此时函数既不是奇函数也不是偶函数3、二次函数是偶函数的条件是_答案：四、奇

3、偶函数的运用（1）利用奇偶求解析式1、已知是上的奇函数，且当时，则的解析式为2、函数是奇函数,求的解析式。解：是奇函数，则 由, 由又.当当a=1时,b=1。 所以3、函数是定义域为r的奇函数，当时，求当时，的解析式。解：设，则，又是定义域为r的奇函数，当时4、设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式.解：是偶函数，是奇函数，由（1）用代换，得（2），得，得（2）利用奇偶性求函数值1、设f(x)为定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=（ ）(a) 3 (b) 1 (c)-1 (d)-32、已知且，那么 。解：设，则为奇函数，于是有，从而有，即：。令，得

4、，又，故。（3）利用奇偶性比较大小1、已知偶函数在上为减函数，比较，的大小。解：偶函数在上为减函数，在上为增函数,又，又，。2、设函数为定义在上的偶函数，且在为减函数，则的大小顺序 （4）、利用奇偶性讨论函数的单调性1、若是偶函数，讨论函数的单调区间。解：是偶函数，即，在上为增函数，在上为减函数。2、已知函数是奇函数，其定义域为，且在上为增函数.若，试求的取值范围.解： ，又为奇函数，又在上为增函数，在上为增函数 即 3、已知函数是定义在上的奇函数，且在上是减函数，解不等式.解：是定义在上的奇函数由得，即又在上是减函数， 解得 不等式的解集为.五、函数奇偶的综合运用1、已知f(x)是偶函数,且

5、其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)0的所有实根之和为 ( )a.4 b.2 c.1 d.0解析:f(x)是偶函数,其图象关于y轴(x0)对称.f(x)的图象与x轴有4个交点,若x1为f(x)0的一个根,则-x1也必为方程的一个根,即方程的四个根两两互为相反数,故四根之和为零.答案:d2、若f(x)为奇函数，且在(-,0)上是减函数，又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为_解：画图可知，解集为3、已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称在中，令，得，令，得，即， 是奇函数（2）由，及是奇函数，得4、已知函数，常数.讨论函数的奇