CH6 6.1-6.2上课

1、2021-11-161 平稳过程习题习题l6.1 6.5 6.6 6.7 6.8 6.11 6.13l6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 22021-11-162021-11-163CH6 平稳过程6.1 各态历经性（遍历性）2021-11-1646.1 各态历经性定义定义6.1 若随机过程 X (t ) 的均方极限，存在，则称它为 X (t ) 在 上的（全局）时间平均。 6.1.1. 基本概念：称平稳过程 X (t ) 具有均值各态历经性，若满足：6.1 各态历经性1( , )u t2( , )u t( , )nut( , )U tEX(t)：任一时刻的：任一时刻的

2、R.V.的概率平均。的概率平均。 对随机信号的每一条对随机信号的每一条样本函数样本函数分别求时间平均。分别求时间平均。包含包含R.V.R.V.的的所有状态所有状态11lim( )lim( )221NTTTNnNX t dtorX nTN信号的时间平均。信号的时间平均。( ):X t6.1 各态历经性条件：条件： a. x(t) - 均值平稳均值平稳， 即即 (const) b. 不为样本不为样本s的函数的函数，即不是，即不是R.V., 即即 121221lim( , )04即TTTTTc t t dt dtT XmtXE)(0)(tXD( )X t6.1 各态历经性DAx(t)=E(Ax(t)

3、-EAx(t)2=E(Ax(t)-mx)2=E(Ax(t)2-mX2证明：证明： D X t121221lim( , )04TTTTTc t t dt dtT 6.1 各态历经性DAx(t)=E(Ax(t)-EAx(t)2=E(Ax(t)-mx)2=E(Ax(t)2-mX22112211lim( )lim( )22TTXTTTTEX t dtX tdtmTT2121221lim( )( )4TTXTTTE X t X tdt dtmT 2121221lim ( , )4TTXTTTR t tmdt dtT 证明：证明： D X t121221lim( , )4TTTTTc t t dt dtT

4、 121221lim( , )04TTTTTc t t dt dtT 2021-11-169定理定理6.1（均值各态历经性定理）若平稳过程 X (t ) 的协方差函数为 ，则该过程具有均值各态历经性的充要条件为 6.1.2. 各态历经性定理：6.1 各态历经性)(C证明： 1lim( ,)4TTTTTDXtC ttdt dtT 121226.1 各态历经性2021-11-1610定理定理6.1（均值各态历经性定理）若平稳过程 X (t ) 的协方差函数为C (t ) ，则该过程具有均值各态历经性的充要条件为 6.1.2. 各态历经性定理：2021-11-16116.1 各态历经性推论：平稳过程

5、 X (t ) 具有均值各态历经性，若其协方差函数 满足下面任一条： 6.1.2. 各态历经性定理：证明：（1） 于是)(C2021-11-16126.1 各态历经性（2）由极限定义， 当 。故，取 则， 。因此，6.1.2. 各态历经性定理：2021-11-16136.1 各态历经性称过程具有相关函数各态历经性，若满足：6.1.1. 基本概念：定义定义6.2 若均方极限，存在，则称它为 X (t ) 在 上的时间自相关函数 。6.1 各态历经性t1+t1t2+t2tn+tnt1t1+t2t2+t3t3+条件：条件：l 不是的不是的 函数，要求函数，要求 相相 关平稳关平稳，即，即 ;l 与样

6、本与样本 无关无关，即，即 的的可能状态在每一条样本函数中以相同概率可能状态在每一条样本函数中以相同概率出现出现,即即6.1 各态历经性12( , )( )XXR t tR( )R),(21ttRX21,tt)(tX)()(tXtXs( )0D R2021-11-16166.1 各态历经性定理定理6.2（相关函数各态历经性定理）若平稳过程 的相关函数 ，且 是平稳过程，则 具有相关函数各态历经性的充要条件为6.1.2. 各态历经性定理：协方差函数为，证明：观察平稳过程 ，其均值为 可见， 的均值各态历经性就是 X (t ) 的相关函数各态历经性。于是，由均值各态历经性定理可得结论。注意，定理要

7、求 是平稳过程。因为， X (t ) 为宽平稳过程通常并不能保证这点。2021-11-16176.1 各态历经性定理定理6.3 若 X (t ) 是零均值高斯平稳过程，则它具有相关函数各态历经性的充要条件为： 6.1.2. 各态历经性定理： 上式是零均值平稳随机信号均值各态历经的充分条件，也就是说对高斯信号，均值各态历经就相关各态历经，因为高斯信号的高阶矩由其二阶矩决定，因此，二阶矩存在则其高阶矩就存在，所以对高斯信号有上定理。 123412341324142322( )() ( )() () () ( )() ()() ( )() ()() ( )() ( )() ()( )( )()()Z

8、XXXXE X X X XE X X E X XE X X E X XE X X E X XR uE Z t u Z tE X t uX t u X tX tE X t uX t u E X tX tE X t uX tE X t u X tE X t uX t E X t u X tRRuRuRu 2202222022021lim1( )( )21lim1( )( )()()( )21lim1( )()()21lim( )()()TZXTTXXXXXTTXXXTXXXTuRuRduTTuRRuRuRuRduTTuRuRuRuduTTRuRuRudT202201( )lim( )()()=0T

9、TXXXXTuRdRuRuRuduT若，则零均值高斯随机变量6.1 各态历经性各态历经性的物理含义：充分长时间的样本数据中包含了过程的某种参数的全部状态，因而能够给出该参数的统计平均值。直观地讲，该过程的每一样本函数都“遍历了”其全部状态。广义各态历经性（遍历性）广义各态历经性（遍历性）默认为默认为“各态历经性各态历经性”： 同时满足同时满足均值各态历经均值各态历经性性，相关各态历经相关各态历经性性。0,2 )2021-11-16196.1 各态历经性例例6.1 若随机过程 ，其中， a 与 为正常数， 在 上均匀分布。讨论其各态历经性 。解：首先该过程是平稳的。因为，与再计算其时间平均020

10、21-11-16206.1 各态历经性例例6.3 设零均值白高斯噪声 n(t ) 的相关函数为 。讨论其各态历经性。 6.1.2. 各态历经性定理：解：因为该过程是零均值高斯平稳过程，满足 因此 n(t ) 是均值与相关函数各态历经的。( )XRd 2021-11-16216.1 各态历经性对于离散随机序列 ，时间平均与时间相关函数为， 与 具有均值各态历经性的充要条件是 ，而充分条件是， 。 6.1.2. 各态历经性定理：2021-11-1622CH6 平稳过程6.2 功率谱密度2021-11-16236.2 功率谱密度 确定信号 x (t ) 的功率功率与功率谱密度功率谱密度（简称功率谱）

11、规定为： 6.2.1 功率谱密度：2222211lim( )lim2211l(im()22111lim()2(2)( )2TTTTTTTTTPx t dtdtTTXjdTXjx tx tSddT221( )()2Ext dtXjd帕塞帕塞瓦尔瓦尔2021-11-16246.2 功率谱密度 确定信号 x (t ) 的功率功率与功率谱密度功率谱密度（简称功率谱）规定为： 随机过程 的功率功率与功率谱密度功率谱密度定义为相应样本函数的功率与功率谱密度的统计平均，即6.2.1 功率谱密度：()( )j tTTXjx t edt 1( )()2jtTTx tXjed2021-11-16256.2 功率谱

12、密度定理定理6.4 (维纳辛钦定理) 平稳随机过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变换，即，6.2.1 功率谱密度：2*(, )(, )|(, )|( )limlim22TTXTTTXjSEETXjXjT2* 221li,m2, )()(TTjtTTTX teXEjTdt 12 *22 111lim( , ), )2TjtTTTjtTTTEX teX teddtTt12 *12121lim( , )( , )2TTjtjtTTTTTEX teX tedtdtT 6.2 功率谱密度()( )jtTTXjxt edt 1( )()2jtTTxtXjed12()*1212( )1lim( ,

13、)( , )2XTTjttTTTTTSEXtXtedt dtT *1( )lim(, )( , )2jXTTtTSEX tXeJtdtTd 1221,tttt tt 6.2 功率谱密度112211110tttJttt tTtT *2*2221lim(, )(, )21lim1()( )21lim(, )21lim(, )( ), )2(jTTTTTjTTTTTTTjXTTTTjXTTtjXXEX tX teTE X tX t edtdTR tt edStdTR tt dt edTJdtR tddet 6.2 功率谱密度 (, )XRttS2221lim,21l(0)(0im)2XXTTTTsT

14、TPEXtdtTdtTPRRE (, )( )( )R ttRRS对平稳随机信号：对平稳随机信号：6.2 功率谱密度2021-11-16306.2 功率谱密度6.2.1 功率谱密度：性质1 平稳过程的功率谱总是非负的实函数，即， 而实平稳过程的功率谱总是非负的实偶函数，即， 21lim,2TTSE XjT 因为： S对实平稳信号，( )R是实偶的，由傅里叶变换的性质，也是实偶的。6.2 功率谱密度6.2.1 功率谱密度：实平稳过程的自相关函数的基本特性可归纳几点： 1）偶函数偶函数， ； 2）有界性有界性， ； 6.2 功率谱密度6.2.1 功率谱密度：实平稳过程的自相关函数的基本特性可归纳几

15、点： 3）在在t=0 t=0 连续，则处处连续连续，则处处连续； 实平稳过程的自相关函数的基本特性可归纳几点：6.2 功率谱密度6.2.1 功率谱密度：4）非负定（或半正定）性非负定（或半正定）性。对于任意时间序列 与复数序列 ，恒有，证明：因为 it ivjijijittRvv,*0),(0),(,0),(),(),(),(),(),(),(),(),(,*2*121*2*121222121211121njinnnnXnXnXnXXXnXXXnvvvttvvvvvvttRttRttRttRttRttRttRttRttRvvvR或写成矩阵形式：1( , )lim(, )(, )21 ( , )

16、lim(, )(, )2( )E( , ) ( )E( , ) XYTTTYXTTTXYXYYXYXSXjYjTSXjYjTSSSS 6.2 功率谱密度6.2.1 功率谱密度：对照：对照： 2*11lim,lim,22sTTTTTSXjXjXjTT 6.2 功率谱密度6.2.1 功率谱密度：联合平稳过程 X (t ) 与Y (t ) 的互功率谱密度互功率谱密度为其互相关互相关函数函数 与 的傅里叶变换，即11( )lim( , )( , ) ,( )lim( , )( , )22XYTTYXTTTTSE Xs YsSE Xs YsTT1)两种互功率谱的实部相同，而虚部反号； *ReImReIm

17、ReImXYXYXYXYXYXYXYXYSSjSSjSSSjS2)实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部 都是偶函数，虚部都是奇函数。( )( )jYXYXSRed*( )( )XYYXSS*( )()XYXYSS( )( )jXYXYSRed ReRe, ImImXYXYXYXYSSSS6.2 功率谱密度6.2.1 功率谱密度：类似地，离散参数的平稳序列 的功率谱密度功率谱密度定义为其自相关函数的傅里叶变换，互功率谱密度也有相应定义。( ) j nXXnSRn e2021-11-16386.2 功率谱密度例例6.4 复过程 ， A 与 独立， 在 上均匀分布，求其功率谱。 解：6.

18、2.1 功率谱密度：, 0()( )jtX tAe00( )cos()sin()0EX tEA Etjt 00022()()( )jtjtjXRE AE eeE A e 因此， X (t ) 是平稳过程。并且， 。可见其功率谱是非负的，但不是偶函数。而过程的功率全部集中在频率 处。020( )2()XSE A 2021-11-16396.2 功率谱密度例例6.5 已知随机过程 X (t ) 的功率谱为 ， 求其自相关函数与均方值 。 解： 利用傅里叶变换公式 ，其中 a 0 ，可以求得，进而，均方值为 R(0) = 7 / 24 。6.2.1 功率谱密度：2424( )109S22422222

19、445/83/8( )109(9)(1)91S353( )4816Ree222 /()ateaa2021-11-16406.2 功率谱密度6.2.1 功率谱密度：例例6.6 讨论多普勒效应多普勒效应(Doppler-effect)：无线移动通信中，如果收发信机相对运动就会产生多普勒效应，既造成频移又形成频带展宽。假定接收机静止于原点，而发射机以速度V 背离原点作直线运动，并发送 的确定正弦振荡。记发射机的位置为 ，其中 x0 是确定量， 。 tje1 VtxtX02,mNV图6.2.2 多普勒效应2021-11-16416.2 功率谱密度解：根据多普勒效应的物理原理，接收信号应该为其中， c 为传播速度， a 为衰减量，它们都是确定量。于是，由于 ，以及傅里叶变换的对偶性可知于是，进而6.2.1 功率谱密度： 111 0/1/( )jtX tcjVc txcY