石大线代PPT课件

1、线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分; ;该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； 随着科学的发展，我们不仅要研究单变量问题，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。第1页/共33页二、课

2、程特点二、课程特点： 基础性、抽象性。 要注意理解和记忆概念、定理； 及时独立独立完成作业 (注：每周交一次作业)； 多思考、多做习题； 注意培养自己的解理论证明题的能力。三、几点要求：三、几点要求： 四、参考书目：四、参考书目： 线性代数考研辅导书； 线性代数学习指导书。第2页/共33页第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 本章介绍 排列的一些性质； n 阶行列式的定义、性质和计算； 克莱姆法则。 学习重点行列式的性质和计算。第3页/共33页1 1 全排列及其逆序数全排列及其逆序数1.1.1全排列及其逆序数 现约定,这里所说的 n个元素是指从 1 至 n 这 n 个自然数。我们规定由小到大的

3、排列顺序为标准顺序，当某两个元素的先后次序与标准顺序不同时，就说排列中有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列； !nPn 种排法。我们知道，将 n 个不同元素排成一列共有第4页/共33页 如 排列 32514 的逆序数为 ，是 排列。 显然，标准排列为偶排列。5 5奇逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 设 是1,2, ,n 1,2, ,n 这 n n 个自然数的一个排列，称排在元素 之前且比 大的数字的个数 为元素 的 逆序数 。nppp21ipipipit结论：设结论：设 是是1,2, ,n 1,2, ,n 这这 n n 个自然个自然数的一个排列

4、，若元素数的一个排列，若元素 的逆序数是的逆序数是 ，则此排列，则此排列的逆序数为的逆序数为 。itnppp21ipniitt1逆序数的计算逆序数的计算第5页/共33页例例1 1 求排列求排列34213421的逆序数的逆序数。的逆序数。的逆序数。)2(24) 12(13nn例例2 2 求排列求排列（思考：这个排列的奇偶性如何？）)1(211)2()1( nnnnt解 逆序数为 t=0+0+2+3=5t=0+0+2+3=5，为奇排列。解解 逆序数为当 n=4n=4k+1+1，4 4k+4+4时， 为偶排列，当 n=4n=4k+2+2，4 4k+3+3时， 为奇排列。k为非负整数.第6页/共33页

5、1.1.2 排列的对换及其性质 前面，我们讨论了排列的逆序数，这里我们来讨论排列的对换及其对排列的奇偶性的影响。nijppnjippppppppji11 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。 在排列中，将其中某两个元素对调，其余元素位置不动, 就得到另一个排列，这样一个变换叫做排列的对换, 如 下面，我们讨论对换与排列的奇偶性关系。第7页/共33页定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇 偶性。证 先证相邻对换的情形mlbabbaa11 设原排列为ba ,对换 后得mlbbabaa11 当 时，对换后， 的逆序数增加1，而 的逆序数不变，其余元素的逆序数不变；ba ab当 时，对换后，

6、 的逆序数不变，而ba ab的逆序数减少1，其余元素的逆序数不变。故知，mlmlbbabaababbaa1111与与排排列列排排列列第8页/共33页的奇偶性不同，即相邻对换改变排列的奇偶性。 再证一般对换的情形：nmlcbcbabaa111设设原原排排列列为为nmlcacbbbaaba111, 后后为为对对换换这可看成是经过一系列相邻对换而得到：nmlnmlnmlcacbbbaamccbabbaamcbcbabaa1111111111次次相相邻邻对对换换经经次次相相邻邻对对换换经经 第9页/共33页 注意相邻对换的次数共2m+1次，故排列的奇偶性发生改变。证毕证 易证（这里省略）。 有了以上关

7、于排列的逆序数知识，我们就可以讨论行列式的定义及其性质。为了更好地理解一般的 n 阶行列式定义，我们先分析一下二、三阶行列式的计算方法。推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。第10页/共33页1.2 n 1.2 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 为了要定义 n 阶行列式，我们先来考察二阶、三阶行列式。22211211aaaa333231232221131211aaaaaaaaa分别为二阶、三阶行列式，其计算规则如下： 称记号1.2.1 1.2.1 二阶、三阶行列式第11页/共33页333231232221131211aaaaaaaaa312213332

8、112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 2112221122211211aaaaaaaa 此称为对 角线法则。（*）第12页/共33页几点注意： 1. ( 1. (* *) )式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元 素位于行列式的不同的行、不同的列；t)1( 3. 各项的符号确定：带正号的三项列标排列是：123123，231231， 312 312 都是偶排列；带负号的三项列标排列是：132132，213213， 321 321 都是奇排列。因此各项的符号可以表示为 ，其 中t t为列标排列的逆序数。 321ppp 2. 2. 等式右

9、端的任一项除符号外可以写成 ， 这里行标成标准排列 123123，列标 是1,2,3 1,2,3 三个 数的某个排列，等式右端共有6(=3!)6(=3!)项。321321pppaaa第13页/共33页321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa 其中t t为列标排列 的逆序数，表示对1 1，2 2，3 3三个数的所有排列取和。321ppp仿上，我们可以定义 n n 阶行列式。综上知，三阶行列式可以写成：第14页/共33页注：以上定义式也称为行列式的行顺序表示法。 nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaa2121212222111211)1( 其

10、中 为自然数 1,2,1,2,n ,n 的一个排列，t t为这个排列的逆序数，表示对 1 1，2 2，n n 的所有排列取和。nppp21定义 称下式左端的数表为一个 n n 阶行列式 1.2.2 n 1.2.2 n 阶行列式的定义第15页/共33页 n n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数。 定义式的右边每一项都是 n n 个元素的乘积 （称为一个乘积项）,这n 个元素是由行列式的 不同行、不同列的元素构成的。 某一乘积项符号的确定：先把该项的n n个元素 按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列 的奇偶性来决定这一项的符号。第16页/共33页111212122212det()nnijn

11、nnnaaaaaaDaaaa 下面，我们举几个例子，大家要注意：一是这些例子是怎样计算或证明的；二是要记住例子的结论。常记ijadet()ija数 称为行列式 的元素.第17页/共33页例2 证明对角行列式nnnnnn 212)1(212121)1( 证 第一式是显然的，为证第二式，我们记除对角线上元素除对角线上元素可能不为零外，可能不为零外，其它元素皆为零其它元素皆为零11, 2211,nnnnaaa 第18页/共33页11, 2121nnnnaaa 于是ntnnntaaa 2111,21)1()1( ,2)1( nnt21) 1(nn其中 t 为排列 的逆序数，所以结论成立。注：此例可表明

12、对于4阶及4阶以上的行列式，对角线法则不再适用。故第19页/共33页证明下三角行列式nnnnnnaaaaaaaaaD221121222111 对角线上对角线上方的元素方的元素全为零。全为零。例（教材P4例4）解 D中可能不为0的项只有.2211nnaaaD 1)1()1(0 t此项的符号 ，所以nntaaa2211) 1( 第20页/共33页证明： 。nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110 11111det()kijkkkaaDaaa11121det()nijnnnbbDbbb21DDD 例（教材P4例5）设第21页/共33页证 记 其中：det()ijD

13、d ijijda (1, ,1, )ik jk nkkkrnkrkkrrrlddddd , 121121)1(考察D的一般项，,ki kjijdb (1, ,1, )in jn 0ijd (,)ik jk 由于，当 时， 。因此 只能在 中选取，该项才可能不为零，而当 在 中选取时，0 ijdkrr 1krr 1k1k1kjki ,只能在1, ,kk nrr 第22页/共33页1111( 1)knlpkpqnqaabb 其中 l 为排列11 k kk nrr rr nkkkrnkrkkrrrlddddd , 121121)1(1111,( 1)knlpkpkkqkn kqdddd krqrpi

14、kiii , 中选取，若记1,kk n 则 D 中可能不为零的项，可以记作也即11()()knpp kqkq 的逆序数。的逆序数，第23页/共33页st,kpp 1nqq 1stl以 分别表示排列 及 的逆序数，则有 ，于是 nkkkrnkrkkrrlddddD, 1111)1( knknppnqqkppqqstbbaa111111)1(212111111111)1()1()1(DDDaabbaakkknnkppkpptppqqnqqskppt 第24页/共33页1.2.3 行列式的列顺序表示法结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行标排列 与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。下面给出结论的

15、证明。(*) 1(111 nnppnpptaaD在行列式的定义式中，一般项是按行标成标准顺序排列的，故（*）式也称为行列式的行顺序表示。事实上行列式也可以按列顺序表示，为此我们先介绍如下结论：第25页/共33页 traaaanjinpjpipp列列标标排排列列的的逆逆序序数数设设为为行行标标排排列列的的逆逆序序数数设设为为11证 设有乘积项对换元素ijipjpaa , 1111traaaanijnpipjpp列列标标排排列列的的逆逆序序数数设设为为行行标标排排列列的的逆逆序序数数设设为为后，得 由于 的奇偶性相反， 的奇偶性也相反，故 有相同的奇偶性。rr 与与1tt 与与1trtr 与与11

16、结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行 标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。第26页/共33页易知对于D中任一项 ，在D1中总有且只有一项与其对应并相等，反之亦然。也即D与D1中的项一一对应并相等，从而 D= D1。nnppptaaa2121)1( 定理定理2 (2 (列顺序表示法列顺序表示法) n ) n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 s s 为行标排列为行标排列 的逆序数。的逆序数。 nqqqsnaaaD2121)1(nqqq21 nnppptaaaD2121)1(证 由定义，有 nqqqsnaaaD21121)1(记第27页/共33页1. 在6 阶行列式中， 的

17、项前 面应带什么符号？2. 证明 若行列式中有一行（或一列）元素全为0，则行列式等于0。425665311423aaaaaa第28页/共33页解 将 按行标排成标准顺序425665311423aaaaaa得 ，655642312314aaaaaa1. 在在6 阶行列式中，阶行列式中， 的项前的项前 面应带什么符号？面应带什么符号？231431655642a a a a a a问：本题还有其它解法吗？其列标排列为 431265，逆序数为 t=0+1+2+2+0+1=6，故本项前面应带正号。第29页/共33页0,0,021 iniiaaa00)1()1(1111 nninpptnpiPptaaaaaD2. 证明 若行列式中有一行（或一列）元素全 为0，则行列式等于0。 于是i 证 不妨设行列式的第 行元素全