三角形的基本知识

1、数学八年级8. 三角形的基本知识三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为 三角形的问题来解,三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、 三角形内角和定理及推论等，它们在线段、角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用。解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法 解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类。应熟悉以下基本图形、基本结论：图1图2图4例1在zabc中，za=50°，高be、cf交于0,则匕boo.解题思路因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性。例

2、2.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）a. 17cm b. 5cm c. 5cm 或 17cm d.无法确定解题思路中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论。例3.如图，be是匕abd的平分线，cf是zacd的平分线,be 是 cf 交于 g,若zbdc=140° , zbgc=110° ,求 za的大小。解题思路 运用凹四边形的性质计算。例4.在左abc中，三个内角的度数均为整数，_sza<zb<zc, 4zc=7za,求zb的 度数。解题思路 把za.匕c用匕b的代数

3、式表示，建立关于匕b的不等式组，这是解本例的突破 口。例5.周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?解题思路不妨设三角形三边为a、b、c,且a<b<c,由条件及三角形三边关系定理可确定 c的取值范围，从而可以确定整数c的值。练习一1. 设 a、b、c 是zabc 三边，化简|a+b + c| + |ab c |-.2. 三角形的三边分别为3、12a、8,则a的取值范围是.3. 已知一个三角形三个外角度数比为2： 3： 4,(按角分类)这个三角形是三角形。4. 如图，za+zb+zc+zd+ze的度数为.5. 如图，己知ab/cd, gm、hm分别是zagh>

4、zchg的平分线，那么匕gmh=6. 如图，aabc中，两外角平分线交于点e,则zbec等于()a. -(90° -za)b. 90° +-za22c. -(180° -za) d. 180° -za227. 如图，aabc中，nb的平分线与zc的外角平分线相交于d, zd=40° ,则za等于a. 50° b. 60° c. 70°8. 已知三角形的每条边长的数值都是2001 ( )a. 6个 b. 7个 c. 8个9. 己知一个三角形中两条边的长分别为a、b,是()d. 80°的质因数，那么这样的不同

5、的三角形共有d. 9个la>b,那么这个三角形周长l的取值范围a. 3a>l>3bc. 2a+b>l>2b + ab. 2(a+b)>l>2ad. 3ab>l>a+2b其中的两条边分别是4和1997,则满足上述条件的三角形10. 一个三角形的周长是偶数,的个数是()a. 1个 b. 3个11. 如图，已知z3=z1 + z2,c. 5个 d. 7个 求证：za+zb+zc+zd=180° .12.如图，己知d0平分zadc,bo平分匕abc,且za=27° , zo=35° ,求匕c的度数。13.三角形不等式是

6、指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度，在下图中，e位于线段ca上，d位于线段be±o(1) 证明：ab+ae>db+de；(2) 证明：ab+aodb+dc；(3) ab+bc+ca与2(da+db+dc)哪一个更大？证明你的结论;(4) ab+bc+ca与da+db+dc哪一个更大？证明你的结论.（第 11 ?g）o（第 12 0）(第】3题)练习二己知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4,但不是最短边，这样的三角形 的个数有个。以三角形的三个顶点和它内部的九个点共12个点为顶点能把原三角形分割成个没有公共部分的小三角形。aabc中，匕a是最小角，zb是最大角，

7、且有2zb=5za,若zb的最大值是m。，最小 值是 n。,贝m+n=.如图，若zcge=a ,则za+ zb+ zc+ zd+ ze+ zf=.如图，在abc中，za=96° ,延长bc到d,匕abc与zacd的平分线相交于a点， zaibc与匕aicd的平分线交于a2点，依次类推，na4 bc与za4cd的平分线相交于a5, 则匕a5的大小是2.3.4.5.）c. 8°d. 19.2°6.若三角形三个内角a、b、 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 无法确定其形状a.b.c.d.7.(第5题)c的关系满足a>3b, c<2b,则这个三角形是(三角形

8、的三个内角分别为a、。、y ,且a n 0 n y , a =2 y 9则"的取值范围是8. 己知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3,这样的三角形有( )a. 4个 b. 5个 c. 6个 d. 7个9. 不等边aabc的两条高长度分别为4和12,若第三条高的长也是整数，试求它的长。10. 设m、n、p均为自然数，适合mwnwp且m+n + p=15,试问以m、n、p为三边长的三 角形有多少个？11. 锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的 求满足此条件的所有锐角三角形的度数。412. 如图，己知四边形abcd的两组对边ad

9、、bc与ab、dc延长 线分别相交于e、f,又匕e、nf的平分线相交于点p,求证：zepi- (za+zbcd)2参考答案例.zb0c=130° 或 50°例2.选b例 3. 80° 提示：za=2zbgc-zbdc411例 4.解设2c二x。，则za=(-x)° , zb=180° -za-zc=180° x°77工小411由za<zb<zc,得一xv180 x<x77解得 70<x<844v-x是整数：x=777故zc=77° , za=44° , zb=180°

10、; -44° -77° =59°例5.解不妨设a<b<c,则由a+b=30 c得 10<c<15a+b>ci c为整数，.c二11, 12, 13, 14.当 c=ll 时,b=10, 当 c= 12 时，b = 11,a=9 a= 7 ；b = 10,a=8当 c二 13 时，b= 12,当 c=14 时，b=13,a= 5；a=3；b=11,b=12,a二6； b二10, a二7；a=4； b=ll, a=5；b =9, a二 8b=10, a=6； b=9, a=7练习一1. 2(b + c)2. 5vav 23. 钝角4. 1

11、80°5. 90°6. c7. d8. b9. b10. b11. 提示：过g作gh/eb,由已知条件推得be/cf,12. 解. 0d、0b 分别平分zadc、zabc,.*.zcdq=2z1, zqba=2z2由对顶三角形性质，得r2zl + zc=2z2+zaj解得£043。.zl + zc=z2+z013. 提示：(3) da + db>ab, db + dodc, dc+ad>ca,将三个不等式相加 得 2 (da+db + dc) >ab+cb+ca(4)由知 ab+aodb+dc,同理 bc + ba>dc+da, ca+cb

12、>da+db练习二1. 82. 193. 175 提示：设za=(2x)° , zb=(5x)。，则匕0180。- (7x) ° ,由zazczb 得 15wxw204. 2 a5. a6. c7. d8. b9. 提示：设长度为4和12的高分别是边a、b上的，边c上的高为h, aabc的面积为s,hl 2s2s2s2s2s2s2s _ 2st 工小则 a二一，b二一，c=，由一一 一< < + ,得 3<h<6,故 h=5。412h412/z41210. 711 .解 设锐角三角形最小角的度数为x,最大角的度数为4x,另一角为，另一角为y,则x + 4x + y二 180°j xwyw4x ,解得 20wxw2