沪科版九年级数学上22.2相似三角形的判定典型例题及练习(无答案)

1、沪科版九年级数学上 22.2相似三角形的判定典型例题及练习（无答案）相似三角形的判定一.知识点讲解1 .相似三角形的定义(1)相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。如图所示，ABC与 DEF相似，记作“ ABCs DEF ”，读作 ABC相似于 DEF 。(2)相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。(3)注意：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。相似三角形相似比是有顺序的。全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2 .平行线截三角形相

2、似的定理(1)平行线截三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似。(2)数学表达式：DE BCABC s DEF3 .相似三角形的判定定理（1）判定定理1:文字语后数学语言图形如果一个三角形的两个角分别与另 一个三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似。（简记为：两角分别相等的两个三 角形相似。）A A/, BB/ABCs A/B/C/I（2）判定定理2:文字语后数学语言图形如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似。（简记为：两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似。）黑告，且A

3、 AA B AC ABCs A/B/C/A A（3）判定定理3:文字语后数学语言图形如果一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例，那么 这两个三角形相似。（简记为：三边成比例的两个三角 形相似。）AB AC BCA/B/ A/C/ B/C/ABCs A/B/C/A AH科（4）判定定理4:文字语后数学语言图形如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个直角三角形的斜边 和一条直角边对应成比例，那么这 两个三角形相似。（简记为：三边成比例的两个三角 形相似。）AB AC BCA/B/ A/C/ B/C/ABCs A/B/C/C0 C7 / 244 .相似三角形的基本类型相似三角形的

4、基本类型A字型8字型双垂直型一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中 123,可根据 1 18045, 2 18046,得图中两个阴影部分三角形相似。一线三垂直型5 .相似三角形判定思路判定思路有平行截线平行线截三角形相似的定理用平行线的性质，找等角有一组等角找另一对等角找该角的两边对应成比例直角三角形找一组锐角相等两组边对应成比例等腰三角形找顶角相等一组底角相等底和腰对应成比例后两组边对应成比例夹角相等第三组边也对应成比例有一组直角二.考点讲解考点1：利用相似三角形的定义判定两三角形相似1.如图所示，在 ABC中，DEBC.（1）求AD,生，DE的值；

5、 （2） ADE与ABC相似吗？为什么?AB AC BC考点2:利用相似三角形的定义确定相似比2.如图，已知 OACs OBD,且 OA 4, AC 2, OB 2 .求：（1） 的长。OAC与OBD的相似比；（2) BD变式练习：如图所示， ABCs ACD,下列式子不成立的是（AC CDB.AC 吃 C. AC2 AD AB D. 能ACAD考点3：利用平行线识别相似三角形3 .如图所示，在？ABCM, BE交AC, CDT G F,交AD的延长线于E,则图中的相似三角形有（.5对变式练习：如图， ABC中，DE/ BGEF/ AB则图中相似三角形的对数是（B . 2对 C . 3对 D

6、.4对考点4:利用证相似三角形求线段的长4 .如图，在平行四边形 ABC邛,E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G, AF=2cmr DF=4cmg AG=3cnp贝U AC的长为（）A. 9cm B . 14cm C15cm D . 18cmD变式练习：如图，在平行四边形ABCD 中，AE EB , AF 2 ,贝U FC考点5:利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例5 .如图所示，P是平行四边形 ABCD的边BC的延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和N .求证:AM2 MN MP .沪科版九年级数学上 22.2相似三角形的判定典型例题及练习(无答案)变式练习：如图，在梯形

7、 ABCD中，ABCD,且AB 2CD ,点E , F分别是 AB,BC的中点，EF与BD相 交于点 M . (1)求证： EDM s FBM ;(2)若DB 9 ,求BM 的长。考点6：利用两角分别相等证明两三角形相似6 .如图所示，在 ABC中，AD是 BAC的平分线，AD的垂直平分线交 AD于点E ,交BC的延长线于点F。求证： ABF s caf .变式练习：如图，在等边三角形 ABC中，点D, E分别在BC, AB上，且/ ADE=60 . 求证： AD(CoADEB考点7:利用相似三角形证明等积式7 .如图所示，在 ABC中， BAC 90 , BC的垂直平分线交 BC于点D ,交

8、AB于E ,交CA的延长线于F .求证：DA2 DE DF .变式练习：已知：如图，平行四边形 ABCD的对角线相交于点 。，点E在边BC的延长线上，且OE OB, 连接 DE 。求证：DE BE ; ( 2)如果 OE CD ,求证：BD CE CD DE .9 / 24AB2 =BD?CE 求证： AB ECA考点8：利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似8 .如图，在 ABC中，已知 AB=AC D> E B、C在同一条直线上，且变式练习：如图所示，在正方形 ABCD中,P是BC上的点，且 BP 3PC,Q是CD的中点。求证： ADQs QCP沪科版九年级数学上 22.2相似

9、三角形的判定典型例题及练习（无答案）考点9：利用三边对应成比例判定三角形相似9 .如图，已知 。是4ABC内一点，Dk E、F分别是 OA OB OC的中点.求证： AB6 DEF11 / 24变式练习：如图，小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形（阴影部分）与 ABC相似的是（考点10：利用直角三角形相似的判定方法判定两直角三角形相似10 .已知在 Rt ABC 与 RtA/B/C/中，C C/ 90 , AB 6cm, AC 4.8cm, A/B/ 5cm, B/C/ 3cm。求 证 ABCs A/B/C/.变式练习：在 Rt ABC 和 Rt FED 中， C 90 , AB 10,

10、 AC 8 , D 90 , EF 5 ,当 DF 时，Rt ABC Rt FED .三.基础题型讲解基础题型1：添加条件来说明三角形相似ABPAACtB那么以下添加的条件中,1.如图，点P在4ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到4不正确的是（CA. /ABP至 CB . /APB至 ABC C.AB2=AP?AC DAB ACBP CB变式练习：如图，1 2 ,添加一个条件，使得ADE s acbDif基础题型2:寻找图形中相似三角形的对数2.如图，在平行四边形 ABCD中，过点B的直线与对角线 AC,边AD分别交于点E , F。过点E作EG/BC ,交AB于点G ,则图中相似三角形

11、有（A.4对B.5C.6 对D.7变式练习：如图所示，P为线段 于G ,则图中相似三角形有（AB上一点，AD与BC交于E ,）CPDB , BC 交 PD 于 F , AD 交 PCA A.1 对B.2 对 C.3 对D.4基础题型3:相似三角形判定定理的应用3.如图所示，在 ABC中，BD,CE是高，（1）求证： ADE sABC。（2）若EC与BD交于点 O ,贝U OEDs OBC .沪科版九年级数学上 22.2相似三角形的判定典型例题及练习(无答案)变式练习：如图所示，RtABC中，已知/ BAC=90 , AB=AC=2点D在BC上运动（不能到达点 B, C）, 过点D作/ADE=4

12、5 , DE交AC于点E.（1）求证：AABDADCE（2）当 ADE是等腰三角形时，求 AE的长.19 / 24基础题型4：与相似三角形有关的分类讨论题4 .如图所示，点P是锐角三角形 ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线 AB重合）截 ABC ,使 截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有 条。AyA/ E变式练习：如图所示M是Rt ABC的斜边BC上异于B,C的一定点，过点 M作直线截 ABC,使截得的三角形与 ABC相似，这样的直线共有（）A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条基础题型5:相似三角形与函数的综合题5 .如图所示，在正方形 ABCD中，AB

13、2 , P是BC边上与点B,C不重合的任意一点，DQ AP于点Q ,(1)试说明 DAQ s APB ;x, DQ y ,求y与x之间的函数表达式。(2)当点P在BC上运动时，线段 DQ也随之变化。设 PA变式练习：如图所示，ABC为正三角形，D,E分别是AC,BC上的点(不在顶点)，BDE 60.(1)求证： DEC s BDA ;(2)若正三角形的边长为 4,并设DC x, BE y,试求y与x之间的函数表达式。四.拔高题型讲解拔高题型1 :利用“三点定形法”找相似的三角形解决问题1.已知：如图所示， CD是Rt ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F。求证

14、：AC CF CB DF .拔高题型2：利用相似三角形的知识解决与反比例函数有关的问题2 .如图所示，AOB是直角三角形,AOB 90 , OB 2OA，点A在反比例函数y -的图像上。若点B xk在反比仞函数y 的图像上，则k的值为()xA.-4B.4C.-2D.23 .如图，一条直线与反比例函数y= k的图象交于 A (1,4)、B (4, n)两点，上x轴，垂足为C.(1)如图甲，求反比例函数的解析式；求 n的值及D点坐标；(2)如图乙，若点 E在线段AD上运动，连接 CE作/CEF=45 , EF交AC于F点试说明 CD9 AEAF当4ECF为等腰三角形时，直接写出 F点坐标.x轴交于

15、D点，ACLx拔高题型3：利用相似三角形的判定和定义建立函数关系B,C重合)，连接DE ,4 .如图所示，在矩形 ABCD中，AB m , BC 8, E为线段BC上的动点(不与点 过点E作EF DE , EF与线段BA交于点F ,设CE x , BF y。(1)写出y关于x的函数表达式；(2)若m 8,当x为何值时，y的值最大？最大值是多少?拔高题型4:利用相似三角形的定义进行规律探究5 .如图，在 ABC中，/C=90 , BC=16cm AC=12cm点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向 C移动，点 Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从 B C同时出发，设运动时间为t

16、s,当t为何值时， CP* 4CBA 相似？6 .如图所示，已知 AB± BD,CDL BD,AB=6, CD=4, BD=k,点P在BD上移动，保持/ APC=90，但不与点B和点 D重合。(1)当k=14时，请问在BD上存在多少个 P点，使以P, C, D为顶点的三角形与 ABP相似？并求BP的长.(2)已知在BD上至少存在一个 P点，使以P, C, D为顶点的三角形与 ABP相似，求k的取值范围.7 .如图，在矩形 ABC邛，AB=12cm BC=8cm点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动.点 E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s

17、 ,当点F追上点G (即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时，4EFG的面积为S (cm2)(1)当t=1秒时，S的值是多少？(2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量 t的取值范围；(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点 E、B、F为顶点的三角形与以点 F、C、G为顶点 的三角形相似？请说明理由.拔尖题型5:和相似有关的存在型问题8 .如图所示，在ABC中，已知AB AC 5 , BC 6,且ABC且DEF ,将DEF与ABC重合在一起，ABC 不动， DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A , EF与AC交于点M

18、.(1)求证：ABE s ecm ;(2)在 DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 BE的长；若不能，请说明理由。拔尖题型6:相似三角形与折叠问题9 .如图，先把一矩形 ABCD氏片对折，设折痕为 MN再把B点叠在折痕线上，得到 ABE过 B点折纸片使D点叠在直线 AD上，得折痕PQ(1)求证： PBAQAB(2)你认为 PBE和4BAE相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由。五.课后作业一.选择题。1 .如图，直线 AB与？MNPQ勺四边所在直线分别交于 A、BL4 A/Q石AA . 4 对B.5 对2 .与图中 ABC相似的是（） ;；：卜：! 11*1； r

19、 * F yf Y r - ： 1ST r - T * n * *灰口充先电七国包w ：. j g a b （:3.如图所示，在平行四边形 ABCM , EF/AB, DE :EAk C D,则图中的相似三角形有（）C.6对 D .7对1 I 1 ,'个tD2:3, EF 4 ,则CD的长为（）zV4Z乂A.14 .如图，点C、D在线段AB上，A CD35 .如图，在平行四边形 ABCD43,贝U AC的长为（）丁 16 EB /6.如图，在 ABC中，AD是中身6B.8C.10D.163 PCD是等边三角形，当 AC如 APDB时，/APB的度数为（）A . 100°B ,

20、 120°C , 115°D , 135°E 为 AB 的中点，F 为 AD上一点，EF 交 AC于 G, AF=2cmr DF=4cmg AG=3cnp . 9cm B . 14cm C . 15cmD. 18cm与，BC 8, B DAC ,则线段 AC的长为（）沪科版九年级数学上 22.2相似三角形的判定典型例题及练习（无答案）23 / 24437.如图，/A=ZB=90°,AB=7,AD=2BC=3在边AB上取点P,使彳PAD与PBC相似，则这样的P点共有（）8.如图，在Rt ABC （ C 90 ）内有边长分别为a,b,c的三个正方形，则a,b

21、,c满足的关系式是（a c B.b ac C.b2 a2 c2D. b 2a 2c9.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（）A, &ABC中，ZB=11S4, 氏唱七冲，ZAr=11B ZBr=15*ABG中，AB = 8# AC = 4,仆人鹏。中，A&=1 演 6rCr=8s ZAf=100QC. ABC中，AB = 1S, 6C = 20 CA=3舁中，AE36, &CXO, CrA=70D. ABC和A'Bt'中，有笔中 C = ZCA 2? C10.已知 ABC的三边长分别为6cm, 7.5cm , 9cm, DEF的一边长为4cm,当

22、DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A. 2 cm, 3 cmB . 4 cm, 5 cm C . 5 cm, 6 cmD . 6 cm, 7 cm11.如图所示，在 ABC中,C 90 , BCE分别在AB , AC上，将 ABC沿DE折叠，使点A落在点A/处，若A/为CE的中点，则折痕 DE的长为（）B.2C.3D.412.如图所示，在 ABC中，AB AC , A 36 , BD平分 ABC交AC于点D ,若AC 2 ,则AD的长是（ ）13.如图所示，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ACB的平分线分别交 AB,BD于M ,N两点。若AM 2,则线段ON的长为

23、（）14.如图所示,ABC 中，AB 6 , AC4 , P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和以 AB,C为顶点的三角形相似，则 AQ的长为（C.3D.填空题。15 .在 ABC中，D为AB边上一点，且 BCDA,已知BC 2亚,AB 3 ,则BD16 .如图，在 ABC中，AB AC D E分别为边 AR AC上的点.AC=3AD AB=3AE点F为BC边上一点，添加一个条件:,可以使得 FDB与4ADE相似.（只需写出一个）C17 .如图，已知/ A=Z D,要使AABaADEF还需添加一个条件，你添加的条件是（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）18

24、.如图所示，D, E分别在4ABC的边AR AC上，DE与BC不平行，当满足有 AB6AAED （只需写一个条件即可）AD=2 AB=5 P为CM上的动点，当 ADP与4BCP相似时，DP=20 .如图，已知直线 y=-1 x+2与x轴交于点 A,与y轴交于点B,在x轴上有一点 C,使B、。C三点构成2的三角形与4AOB相似，则点C的坐标为21 .如图，AB± CB 于点 B, ACL CD 于点 C, AB=q AC=10,当 CD=时， AB6 AACD沪科版九年级数学上 22.2相似三角形的判定典型例题及练习(无答案)22 .如图，已知：/ ACBWADC=90 , AD=2,

25、 CD=/2 ,当 AB的长为 时，4ACB与4ADC相似.23 .四边形 ABCD43, AD/ BQ Z A=90° , AD=2cm AB=7cm BC=3crp 试在 AB边上确定 P 的位置，使得以 P、 A D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.则 AP的长是.22 . （2016?芦溪县二模）如图，平面直角坐标系中，已知点 A （4, 0）和点B （0, 3）,点C是AB的中点， 点P在折线AOB上，直线CP截4AOB所得的三角形与 AOB相似，那么点P的坐标是 。24 .如图，在RtABC中，AB BC, B 90 , AC 10五.四边形BDEF是 ABC的内接正方形 （点D,E,F在三角形的边上），则此正方形的面积是 。三.解答题。25 .如图，在 ABC 中，AD=DB /1=/2.求证： AB6 EAD26