等差数列前n项和的性质

1、等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:复习回顾复习回顾 1. 1.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？2) 1(1dnnnaSn当当d00时时,S,Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则则 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何

2、值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.则则Sn的图象如图所示的图象如图所示又又S3=S11所以图象的对称轴为所以图象的对称轴为31172n 7n113Sn等差数列的

3、前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn a7+a8=0等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=

4、0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a80,d0时时, 此时此时Sn有有,其其n的的值由值由an0且且an+10求得求得.当当a10时时, 此时此时Sn的的,其其n的的值由值由an 0且且an+1 0求得求得.练习练习:已知数列已知数列an的通项为的通项为an=26-2n,要使此数列的前要使此数列的前n项和最大项和最大,则则n的值为的值为( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C2.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质2:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差数列也是等差数列, 公差为公差为 在等差数列在等差数列an中

5、中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有n2d性质性质1: 为等差数列为等差数列.nSn 性质性质3:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 2121nnST （2)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项), 此时有此时有:S奇奇S偶偶= ,SS 奇奇偶偶an1nn 性质性质5:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p= (m+p) 性质性质6:若若Sm=Sp (mp),则则 Sp+m=0性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2

6、n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间项为中间项), 此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,nd SS 奇奇偶偶1nnaa 例例1.设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差数列在等差数列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前1

7、00项的和为项的和为10,则它的前则它的前110项的和项的和为为 .110例例4.两等差数列两等差数列an 、bn的前的前n项和分项和分别是别是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab556463ab 146823nnanbn 等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例5.一个等差数列的前一个等差数列的前12项的和为项的和为354,其中项数为偶数项的和与项数为奇数项其中项数为偶数项的和与项数为奇数项的和之比为的和之比为32:27,则公差为则公差为 .例例6.(09宁夏宁夏)等差数列等差数列an的前的前n项的和项的和为为Sn,已知已知am-1

8、+am+1-am2=0,S2m-1=38,则则m= .例例7.设数列设数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-7,则则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .510153等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例8.设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn图象的对称轴为图象的对称轴为5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得5121362

9、2d1362n即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.练习练习1 1已知等差数列已知等差数列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n项和项和为为Sn, ,求使得求使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值. .练习练习2:2:求集合求集合的元素个数，并求这些元素的和的元素个数，并求这些元素的和. .60, 12mNnnmmM练习练习3：已知在等差数列：已知在等差数列 an n 中中, ,a10=23, ,a25=-22 , ,Sn为其前为其前n项和项和. .（1 1）问该数列从第几项开始为负？）问该数列从第几项开始为负？（2 2）

10、求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整数的最小的正整数n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|an n| |的值的值1.1.根据数列前根据数列前n n项和，求通项公式项和，求通项公式. .1112nnnanaSSn 2 2、结合二次函数图象和性质求、结合二次函数图象和性质求 =An+Bn =An+Bn 的最值的最值. .ndandSn)2(2122.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质2:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差数列也是等差数列, 公差为公差为 在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有n2d性质性质1: 为等差数列为等差数列.nSn 性质性质3:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 2121nnST （2)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项), 此时有此时有:S奇奇S偶偶= ,SS 奇奇偶偶an1nn