中考数学专题训练：定值和最值问题解析版_8534

1、学习必备欢迎下载定值问题解1、如图，在平面直角坐标系x Oy 中，矩形AOCD的顶点A 的坐标是（0,4 ），现有两动点P、Q，点P 从点O出发沿线段OC（不包括端点O， C）以每秒2 个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q从点C 出发沿线段CD（不包括端点C， D）以每秒1 个单位长度的速度匀速向点D运动 .点P， Q同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时PQ=2 5 .（ 1）求点 D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（ 2）连接 AQ并延长交 x 轴于点 E, 把 AE 沿 AD翻折交 CD延长线于点F, 连接 EF，则AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化？若变

2、化，求出S 与 t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值 .（ 3）在（ 2）的条件下， t 为何值时，四边形APQF是梯形？【答案】 解：（ 1）由题意可知，当t=2 （秒）时， OP=4， CQ=2，在 RtPCQ中，由勾股定理得： PC= PQ2CQ 2222 52=4， OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD， A（ 0，4）， D（ 8， 4）。t 的取值范围为： 0 t 4。（ 2）结论： AEF 的面积 S 不变化。AOCD是矩形， ADOE， AQD EQC。 CECQ ，即CEt，解得 CE= 8t。ADDQ84 t4t由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4 t ，则 C

3、F=CD+DF=8t 。S=S梯形 AOCF SFCE SAOE= 1 （ OA+CF）?OC+1 CF?CE 1 OA?OE222= 1 4 （ 8t ） ×8+ 1 （ 8t ）? 8t 1 ×4×（ 8 8t）。224 t24t化简得： S=32 为定值。所以 AEF 的面积 S 不变化， S=32。（ 3）若四边形 APQF是梯形，因为AP 与 CF不平行，所以只有PQAF。由 PQAF 可得： CPQ DAF。CP： AD=CQ： DF，即 8 2t ： 8= t ：4 t ，化简得 t 2 12t 16=0，学习必备欢迎下载解得： t 1=6+25 ，

4、 t 2= 6 2 5 。由（ 1）可知， 0 t 4，t1=6+25 不符合题意，舍去。当t=62 5 秒时，四边形APQF是梯形。2、如图所示，在菱形ABCD中， AB=4， BAD=120°， AEF为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC CD上滑动，且E、 F不与 B C D重合（ 1）证明不论E、 F 在 BC CD上如何滑动，总有BE=CF；（ 2）当点 E、 F 在 BC CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和 CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】 解：（ 1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形， BAD=

5、120°， BAE+EAC=60°， FAC+EAC=60°， BAE=FAC。 BAD=120°， ABF=60°。 ABC和 ACD为等边三角形。 ACF=60°， AC=AB。 ABE=AFC。在 ABE 和 ACF中， BAE=FAC， AB=AC， ABE=AFC， ABE ACF（ ASA）。 BE=CF。（ 2）四边形AECF的面积不变， CEF 的面积发生变化。理由如下：由（ 1）得 ABE ACF，则SABE=SACF。作 AHBC于 H 点，则 BH=2，S四边形 AECF S ABC1BC AH1BC AB2BH

6、 24 3 。22由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF的边 AE与 BC垂直时，边 AE最短故 AEF 的面积会随着AE 的变化而变化， 且当 AE最短时， 正三角形 AEF的面积会最小，又 SCEF=S 四边形 AECF SAEF，则此时 CEF 的面积就会最大学习必备欢迎下载S CEF=SAECF SAEF4312 32322四边形33 。2 CEF 的面积的最大值是3 。（二） 由运动产生的线段和差问题（最值问题）1、如图所示，已知 A( 1, y1) ，B (2, y2 ) 为反比例函数 y1图像上的两点，动2x点 P(x,0)在 x 正半轴上运动，当线段AP与线段 BP之差达到最

7、大时，点P 的坐标是【】1B.(1,0)C.3D.5A. ( ,0)( ,0)( ,0)222【答案】 D。【考点】 反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】 把 A(1, y1 ) ，B (2, y 2 ) 分别代入反比例函数 y1得： y1=2，y2=1，2x2A（ 1 ，2），B（2， 1）。22在 ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP BP| AB，延长 AB交 x 轴于 P，当 P 在 P点时， PA PB=AB，即此时线段AP与线段 BP之差达到最大。设直线 AB的解析式是y=kx+b ，把 A、 B 的坐标代入得：1k+bk=12

8、=52，解得：5。直线 AB 的解析式是 yx。1 =2k+bb=222当 y=0 时， x=5，即P（5，0）。故选 D。222、如图，抛物线l 交 x 轴于点 A（ 3， 0）、B（ 1，0），交 y 轴于点 C（0， 3）将抛物线 l 沿 y 轴翻折得抛物线 l 1（ 1）求 l 1 的解析式；（ 2）在 l 1 的对称轴上找出点 P，使点 P 到点 A 的对称点 A1 及 C 两点的距离差最大，并说出理由；学习必备欢迎下载【答案】 解：（ 1）如图 1，设经翻折后，点A B 的对应点分别为A、B，11依题意， 由翻折变换的性质可知A1（ 3，0），B1（ 1，0），C 点坐标不变，抛物

9、线 l 1经过 A1（3， 0）， B1 （ 1， 0）， C（ 0， 3）三点，设抛物线 l 1的解析式为2y=ax +bx+c，则9a+3b+c=0a=1ab+c=0，解得b=2 。c= 3c=3抛物线 l 1 的解析式为： y=x22x 3。（ 2）抛物线 l 1的对称轴为： x=b2=1 ，2a2如图 2，连接 B1C 并延长， 与对称轴x=1 交于点 P，则点 P 即为所求。此时， |PA1 PC|=|PB 1 PC|=B1C。设 P为对称轴x=1 上不同于点P 的任意一则有：|P APC|=|P B 1PC| B1（C 三点，角形两边之差小于第三边），|P APC| |PA 1 P

10、C|，即 |PA1 PC|设直线 B1C 的解析式为y=kx+b ，则最大。k+b=0，解得 k=b= 3。直线B1C的解析式为： y= 3x3。b=3令 x=1，得 y=6。 P（ 1， 6）。3、如图，已知抛物线y= x2+bx+c 与一直线相交于A（ 1， 0）， C（ 2， 3）两点，与y 轴交于点N其顶点为D（ 1）抛物线及直线 AC的函数关系式；（ 2）设点 M（ 3， m），求使 MN+MD的值最小时 m的值；学习必备欢迎下载（ 3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B， E 为直线 AC上的任意一点，过点E 作 EFBD 交抛物线于点F，以 B，D， E，为顶点的四边形能否为平

11、行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（ 4）若 P 是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值【答案】 解：（ 1）由抛物线y= x2+bx+c 过点 A（ 1， 0）及 C（ 2， 3）得，1 b+c=0b=2。抛物线的函数关系式为 yx 22x 3。，解得c=34+2b+c=3设直线 AC的函数关系式为y=kx+n ，由直线 AC过点 A（ 1， 0）及 C（ 2，3）得k+n=0k=1，解得。2k+n=3n=1直线 AC的函数关系式为y=x+1 。（ 2）作 N点关于直线 x=3 的对称点 N，令 x=0，得 y=3，即 N（ 0， 3）。N（ 6，

12、 3）由 yx22得2x 3= x 1 +4D（ 1，4）。设直线 DN的函数关系式为y=sx+t ，则16s+t=3s=，解得5 。s+t=4t= 215故直线DN的函数关系式为121yx。55根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（ 3， m）在直线DN上时， MN+MD的值最小，12118。 m3=555使 MN+MD的值最小时m的值为 18 。5学习必备欢迎下载（3）由（ 1）、（ 2）得 D（ 1， 4）， B（ 1，2），当 BD为平行四边形对角线时，由B、 C、D、N 的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E 与点 C重合，即 E（ 2， 3）。当 BD为平行四边形边时

13、，点 E 在直线 AC上，设E（ x， x+1），则 F（ x，x 22x3 ）。又 BD=2若四边形 BDEF或 BDFE是平行四边形时， BD=EF。 x 22x 3 x 1 =2 ，即x 2x 2 =2 。若 x 2x2=2 ，解得， x=0 或 x=1（舍去）， E（0， 1）。若 x2x2= 2 ，解得， x=1 17 ，E 1+17 ，3+ 17或 E117，317 。22222综上，满足条件的点 E 为（ 2，3）、（0， 1）、1+ 17+3 17、 117，317 。2，222（ 4）如图，过点 P 作 PQx轴交 AC于点 Q；过点 C 作 CGx轴于点 G，设 Q（x，

14、x+1），则 P（ x， x2+2x+3）。 PQ （ x 22x 3）（x 1） x2x 2。S APC1PQ AGS APQ +S CPQ21x2x 2） 331227。（x）82223 < 0，2当 x=1 时， APC 的面积取得最大值，最大值为27 。284、如图，已知抛物线yax 2bxc 经过 A（4， 0）， B（ 2， 3），C（ 0， 3）三点（ 1）求抛物线的解析式及对称轴（ 2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得 MA+MB的值最小，并求出点 M的坐标（ 3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、 B、 C、 P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P

15、的坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载【答案】 解：（ 1）抛物线 yax2bx c 经过 A（ 4， 0）， B（ 2，3）， C（0， 3）三点，a3816a4bc03 4a2bc3 ，解得 b。c 34c33x23 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： yx 3 ， 其 对 称 轴 为 ：84bx1。2a（ 2）由 B（ 2， 3）， C（ 0，3），且对称轴为 x=1，可知点 B、 C 是关于对称轴 x=1 的对称点。如图 1 所示，连接AC，交对称轴x=1 于点 M，连接 MB，则 MA MB=MAMC=AC，根据两点之间线段最短可知此时 MA MB的值最小。设直线 AC的解析式

16、为y=kx b，4kb 0k3A（ 4， 0）， C（ 0， 3），4 。b，解得3b 3直线 AC的解析式为： y= 3x 3。4令 x=1，得 y= 9 。M 点坐标为（ 1， 9 ）。44（ 3）结论：存在。如图 2 所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若 BCAP1，此时梯形为 ABCP1。由 B（ 2， 3）， C（ 0，3），可知 BCx轴，则 x 轴与抛物线的另一个交点 P1 即为所求。在 y33x2x 3 中令 y=0，解得 x1=-2 ， x2=4。84P1（ 2， 0）。学习必备欢迎下载P1A=6，BC=2，P1ABC。四边形ABCP1为梯形。若 ABCP2，此时梯形为ABCP2。设 CP2 与 x 轴交于点N，BCx轴， ABCP2，四边形ABCN为平行四边形。 AN=BC=2。 N（2，0）。2k 1b10311，解得k。设直线 CN的解析式为 y=k x+b ，则有：b132b 3直线 C