泰勒级数与幂级数上PPT课件

1、2.收敛点与收敛域例如： nxxx21是公比为x的等比级数如果 ，常数项级数 收敛, 则称 为级数 的收敛点，否则称为发散点.函数项级数 的所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域.Ix 0 10)(nnxu0 x)(1xunn )(1xunn 当 时，收敛；1 x收敛域：)1 , 1( 当 时，发散；1 x发散域：), 1 1,( 第1页/共34页)()(limxsxsnn 则则余项)()()(xsxsxRnn 3.和函数若函数项级数的部分和),(xsn例如：在收敛域：)1 , 1( 其和函数为：xxS 11)(注意：级数的收敛域未必等于和函数的定义域0)(lim xRnn,1

2、20 xxxnn级数级数在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ，称 为函数项级数的和函数。x)(xs)(xs第2页/共34页2.1、定义 (x-x0) 的幂级数:x的幂级数:的级数。的级数。形如形如 00)(nnnxxa其中 为幂级数系数.na,)1()1(1)1(20 xxxnn例如级数例如级数;,11收敛收敛时时当当 x;,11发散发散时时当当 x);2 , 0(收收敛敛域域);, 20 ,( 发发散散域域称为x1的幂级数 000nnnxax时，幂级数时，幂级数由于收敛域与发散域互补,下面只研究收敛域.第3页/共34页2.2、幂级数的敛散性特点定理2此时幂级数的收敛区间有以下四种可能：),

3、(RR ),RR ,(RR .,RR 如果幂级数 不是仅在 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 存在,它具有下列性质: 0nnnxa0 xR当 时,幂级数绝对收敛;当 时,幂级数发散;当 时,幂级数可能收敛也可能发散.Rx Rx RxRx 与与第4页/共34页定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间., 0 R规定, R收敛区间收敛区间0 x;收敛区间收敛区间),(. 问题如何求幂级数的收敛半径?(1) 幂级数只在幂级数只在0 x处收敛处收敛, (2) (2) 幂级数对一切幂级数对一切 x都收敛都收敛, , 要求幂级数的收敛区间，关键求实

4、数R2.3、幂级数的收敛半径与收敛区间第5页/共34页定理3 如果幂级数 的所有系数 , 设 （或 ） （1）则当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， 。 0nnnxa0 na nnnaa1lim nnnalim0 1 R0 R 0 R第6页/共34页解：13nna 所以收敛半径 R=3例1. 求 的收敛半径nnx 031limlim1/33nnnnnna 根据系数的表达式，也可以31 nnnaa1lim 133lim nnn第7页/共34页例2 求下列幂级数的收敛区间:;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn

5、解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数发散故收敛区间是故收敛区间是1 , 1( .第8页/共34页nnnaa1lim nnnnn1)1(lim nnnn)11)(1(lim 级级数数只只在在0 x处处收收敛敛, 0 R;)()2(1 nnnx, Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 收收敛敛区区间间),( . ;!)3(1 nnnx 第9页/共34页nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,21收敛收敛 tnnnnxn)21(2)1()4(1 ,0时时当当

6、x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为是发散的是收敛的故收敛区间为(0,1.,)1 ,0(级数收敛xnnnntn2)1(1 ,2121收敛收敛即即 x第10页/共34页定理3 如果幂级数 的所有系数 , 设 （或 ） （1）则当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， 。 0nnnxa0 na nnnaa1lim nnnalim0 1 R0 R 0 R注意：如果幂级数 中奇次项或偶次项系数为零，则不能利用该定理确定收敛半径。 0nnnxa第11页/共34页解： 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(li

7、m1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 221x 级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x例3 求幂级数 的收敛域. 1122nnnx第12页/共34页, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散,级数发散,原级数的收敛域为).2, 2( 102nu 不不为什么？第13页/共34页解：tx 2)32(令令 0)1(nnnt得得时时，级级数数收收敛敛；当当1 t原原级级数数收收敛敛；时时，所所以以，当当121321 xx .12 ，所所求求收收敛敛域域为为时时，级级数数发发散散；当当1 t

8、.)32()1(02的收敛域的收敛域求幂级数求幂级数 nnnx例4练习： 收敛区间为-2,2, (-2,2), (-2,2, -2,2)nnxn 121 2,2) 第14页/共34页注意: 求幂级数的收敛区间,通常先求级数的收敛半径得到级数绝对收敛的一个开区间；求收敛半径的方法：比(根)值法、系数法(局限性)然后判断级数在区间端点的敛散性(数项级数)最后得到收敛区间第15页/共34页解:nnnnxu3 该级数的一般项为该级数的一般项为nnnaa1lim nnnnn313)1(1lim1 31 级数发散.,3时时当当 x例5 求幂级数的收敛半径与收敛区间. 3322333231xxx13)1(3

9、lim nnnnn31 R收敛半径为收敛半径为,11 nn级数化为级数化为级数收敛.,3时时当当 x,1)1(1 nnn级数化为级数化为所所求求收收敛敛区区间间为为)33， 第16页/共34页解:tx 13令令nnnaa1lim 1lim nnn1 收敛.,1时时当当 t例6 求幂级数的收敛区间. 11)13()1(nnnnx1 R,1)1(*)11 nnn化为化为发散.,1时时当当 t,1(*)1 nn化为化为032(，原原级级数数的的收收敛敛区区间间为为 11)1(nnnnt则级数化为则级数化为(*)对于(*)1131 x即即11(*)，的的收收敛敛区区间间为为 032 x得得第17页/共

10、34页3.1、和函数x 11 nnnxxxxx3201)( )(0IxxSxannn )1 , 1( x在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ，称 为函数项级数的和函数。x)(xs)(xs)11( x 01nnnx）（x 11第18页/共34页 00nnnnnnxbxa 0)(nnnnxba 21,minRRR RRx, 则则和和各为各为的收敛半径的收敛半径和和设设, 00)()(210201 RRxbxSxaxSnnnnnn3.2、和函数的可加性)()(21xSxS 其中的收敛半径为 0)(nnnnxba第19页/共34页;110 xxnn 如：如：收敛区间为（-1,1）内是连续的。）内是连

11、续的。，在（在（显然和函数显然和函数1111 x3.3、和函数的连续性 0)(nnnxaxS)(xS),(RR 如果幂级数内,它的和函数则在收敛区间是连续函数,在端点收敛,则在端点单侧连续.的收敛半径为R第20页/共34页 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变，收敛区间可能改变。）3.4、逐项可导性幂级数0nnnxa的和函数)( xs在收敛区间 ),(RR内可导 , 并可逐项求导任意次. 第21页/共34页 xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变，收敛区间可能改变。）3.4、逐项可积性幂

12、级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间 ),(RR内可积,且对),(RRx可逐项积分. 第22页/共34页上式两边积分得： xnnnxnxnnxdxxnxdxxdxx0010000)1ln(111)(于是)11()1ln(101 xxnxnn幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变，但是收敛区间可能改变。)11(110 xxxnn逐项积分后，收敛半径没变，收敛区间改变了。 1nnnx第23页/共34页由于我们已知收敛的几何级数的求和公式，所以对于幂级数求和函数，总设法将级数的一般项转化为几何级数的通项，方法就是逐项积分或微分。1、求收敛半径，并设其和函数为 S（x）2、求积分，使其转化为几何

13、级数，然后求和3、对 逐项求导，得到和函数)(xs 11nnnx对dxxsx 0)(dxxsx 0)(4、考察原级数端点的敛散性，得收敛区间求和函数的方法第24页/共34页解：11limlim)1(1 nnaannnn 1 R例4 111.2,nnnnnnx的和的和数项级数数项级数并求并求的收敛区间与和函数的收敛区间与和函数求幂级数求幂级数 1,1nnx级数变为级数变为时时当当发散; 1)1(,1nnnx级数变为级数变为时时当当发散;故幂级数的收敛区间为).1 , 1( 第25页/共34页解： nnnnxxxnxxS211321)()2(设设例4 111.2,nnnnnnx的和的和数项级数数项

14、级数并求并求的收敛区间与和函数的收敛区间与和函数求幂级数求幂级数上式求导：)1()( xxxS xnxdtntttdttS020)321()(xnttt02)( nxxx2xx 1) 11( )1 (12 xx)1 , 1( x第26页/共34页解：代代入入上上式式令令对对号号入入座座21)(3( x例4 111.2,nnnnnnx的和的和数项级数数项级数并求并求的收敛区间与和函数的收敛区间与和函数求幂级数求幂级数4)211(12211 nnn 1112212nnnnnn222111 nnn第27页/共34页解例 5 求级数11)1(nnnnx的和函数.nnaannnn1)1(1limlim1

15、 111)1(,1nnnx级数变为级数变为时时当当收敛; 1)1(,1nnx级数变为级数变为时时当当发散;故幂级数的收敛区间为.1 , 1( 11lim nnn1 R第28页/共34页解1 , 1( ,)1()(11 xnxxsnnn设设, 0)0( s显然显然两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x)1ln()0()(xsxs 即即例 5 求级数11)1(nnnnx的和函数.).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs 第29页/共34页解：11212)1(1limlim)1( nnnnnnnnaa 例6.211的收敛区间与和函数的收敛区间与和函数求幂级数求幂级数 nnnnx 12,2nnx级数变为级数变为时时当当发散; 12)1(,2nnnx级数变为级数变为时时当当收敛;故幂级数的收敛区间为).2 , 2 21)1(2lim nnn2 R第30页/共34页解：)2 , 2 ,2)()2(11 xnxxSnnn设设例6.211的收敛区间与和函数的收敛区间与和函数求幂级数求幂级数 nnnnx)2()(11 nnnnxxS 1112nnnx 11)2(nnx211x )22( 22 xx xdttxS022)(xt0)2ln