高中数学解题思路大全—平面向量的数量积典例精析

1、优秀学习资料欢迎下载平面向量的数量积典例精析例 1平面内有向量OA(1, 7), OB(5, 1), OP(2, 1) ，点 X 为直线 OP 上的一个动点。（ 1）当 XA XB 取最小值时，求 OX 的坐标；（ 2）当点 X 满足（ 1 ）的条件和结论时，求cosAXB的值。分析：因为点X 在直线 OP 上，向量 OX 与 OP 共线，可以得到关于OX 坐标的一个关系式；再根据XA XB 的最小值，求得OX ；而 cosAXB 是向量 XA 与 XB 夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决。解：（ 1 ）设 OX(x, y)点X在直线 OP上向量 OX 与OP共线又 OP(2, 1)x1y2

2、0, 即 x2 yOX(2 y, y)又 XA OA OX, OA (1, 7)XA(12 y, 7y)同样 XB OBOX(52y, 1 y)于是XA XByyyyy2yy2y(12)(52 )(7 )(1)41258 75y220 y125( y2) 28由二次函数的知识，可知当y2时， XA XB5( y2) 28有最小值 -8 。此时 OX(4, 2) ；（ 2）当 OX( 4, 2) ，即 y2 时，有 XA( 3, 5) ， XB(1,1), XA34 ， XB2 。XAXB (3)15(1)8XA XB84 17cos AXB34217XA XB说明：由于X 是 OP 上的动点，

3、则向量XA, XB 均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它优秀学习资料欢迎下载们的数量积XA XB 也处在不确定的状态，这个数量积由XA 与 XB 的模 XA 与 XB 及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y 的函数。另外，求出XA 与 XB 的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。例 2设平面内有两个向量a(cos, sin), b(cos, sin), 且 0。（ 1）证明 ( a b)(ab) ；（ 2）若两个向量kab 与 akb 的模相等，求的值 (k0, kR) 。分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到(a b)(a b)0，

4、即可证明（ 1 ），再利用| ka b |与 | akb |相等，确定的值。证明：（ 1 ） a(cos, sin), b(cos, sin )ab(coscos, sinsin), ab(coscos, sinsin )(ab)(ab)(coscos)(coscos ) (sinsin)(sinsin)cos2cos2sin2sin 2(cos2sin 2)(cos2sin2)1 10(a b) (a b)ka2kab2k2a2ka bb2akb2akb2（ 2）b()| | 2|,|()|a|2 2ka b k 2 |b|2由已知 |kab|2 |akb|2 ，可得到( k 21)|a|24kab(1k 2 )|b|20,(*)|a|2sin2，|b|2sin2注意到coscos11a bcoscossinsincos()于是（ *）式化为 4k cos()0 。由于 kR,k0cos() 0, 即 cos()0.而 02优秀学习资料欢迎下载说明：由解题过程可知a 与 b 均是单位向量， 由向量加法的平行四边形法则，可知 ab, ab 是以 a ，b 为邻边的平行四边形两条对角线，从（ 1）中， ab与 ab 垂直，可知这个平行四边形是菱形， 而由（ 2 ）知 |kab| |akb| 时， a与 b的夹角为 | 90 ，因此 a b cos(