第2章_控制系统的数学模型

1、 所谓的数学模型，所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式学表达式。控制系统定量分析的基础。控制系统定量分析的基础。自动控制系统的数学模型 时域模型时域模型 微分方程微分方程 复域模型复域模型 传递函数传递函数 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理。结果合理。根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。合在

2、一起。（机理分析法）（机理分析法） 2) 实验法：施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，实验法：施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。得到数学模型。（系统辨识法）（系统辨识法） 1）分析系统运动的因果关系，确定系统的）分析系统运动的因果关系，确定系统的、及内及内部部，搞清各变量之间的关系。，搞清各变量之间的关系。 2）忽略一些次要因素，）忽略一些次要因素，。 3）根据相关基本定律，列出各部分的）根据相关基本定律，列出各部分的。 4）列写中间变量的）列写中间变量的。 ！ 5）联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程）联立上述方程，消去中间变量，得到只包含

3、输入输出的方程式。式。 6）将方程式化成标准形。）将方程式化成标准形。 与与输出输出有关的放在有关的放在左边左边，与，与输入输入有关的放在有关的放在右边右边，导数项按，导数项按降阶降阶排排列的形式。列的形式。 三个基本的无源元件：质量三个基本的无源元件：质量m，弹簧，弹簧k，阻尼器，阻尼器f 对应三种阻碍运动的力对应三种阻碍运动的力:惯性力惯性力ma；弹性力；弹性力ky；阻尼力；阻尼力fv 例例2-1 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。 试列出以外力试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y(t)为为输出量的运动方程式。输出量的运动方程式。 解：遵照列

4、写微分方程的一般步骤有：解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1）确定）确定输入量输入量为为F(t)，输出量输出量为为y(t)，作用于质，作用于质量量m的力还有弹性阻力的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t)，均作为，均作为中间变量。中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。系统处于平衡状态。 KmfF(t)y(t) （3）按牛顿第二定律列写原始方程，即）按牛顿第二定律列写原始方程，即kytFk )( )(dtdyffvtFf （5）将以上辅助方程式代入原始方程）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中

5、消去中间变量间变量,得得)(22tFdtdyfkydtydm （6）整理方程得标准形）整理方程得标准形)(122tFkydtdykfdtydkm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4）写中间变量与输出量的关系式）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t) 例例2-2 电阻电感电容串联系统。电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以串联电路，试列出以ur(t)为输入量，为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。为输出量的网络微分方程式。令令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为，则方程化为)(1222tFkydtdyTdtydTfm R C ur(t

6、) uc(t) L 解：（解：（1）确定输入量为）确定输入量为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t)，中间，中间变量为变量为i(t)。 rcuuRidtdiL（4）列写中间变量）列写中间变量i与输出变量与输出变量uc 的关系式的关系式: dtduCic （5）将上式代入原始方程，消去中间变量得）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t) uc(t) L（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3）由）由KVL写原始方程：写原始方程：i(t)（6）整理成标准形，令）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为则

7、方程化为rcccuudtduTdtudTT 22221线性微分方程的一般特征：线性微分方程的一般特征： 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：程一般具有以下形式： 式中，式中，c(t)是系统的输出变量，是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。是系统的输入变量。rbdtdrbdtrdbdtrdbcadtdcadtcdadtcdammmmmmnnnnnn1111011110 rcccuudtduRCdtudLC 2222( )d ydymfkyF tdtdt221rd qdqLRqudtdtC：微分方

8、程具有相同形式的系统：微分方程具有相同形式的系统 。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例2-1例例2-2令令uc=q/CrcccuudtduRCdtudLC 22当分析一个机械当分析一个机械系统或不易进行系统或不易进行试验的系统时，试验的系统时，可以建造一个与可以建造一个与它相似的电模拟它相似的电模拟系统，来代替对系统，来代替对它的研究。它的研究。 Ra和和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势E

9、a，其大小与其大小与M Ra ua La ia if=常数常数 Ea激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。相反。 下面推导其微分方程式。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机为扰动输入，电动机角速度角速度 为输出量；为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式）列写原始方程

10、式 电枢回路方程：电枢回路方程：aaaaaauEiRdtdiL uaMRaLa ia if=常数常数Ea电动机轴上机械运动方程：电动机轴上机械运动方程：LDMMdtdJ J 负载折合到电动机轴上的转动惯量负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD 电枢电流产生的电磁转矩电枢电流产生的电磁转矩; ML 合到电动机轴上的总负载转矩。合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程）列写辅助方程 Ea = ke ke 电势系数，由电动机结构参数确定。电势系数，由电动机结构参数确定。 MD = km iakm 转矩系数，由电动机结构参数确定。转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得）消去中间变

11、量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi1 aaaaaauEiRdtdiL LmmmLmDaMkdtdwkJkMdtdwJkMi1dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 meamkkJRT 令机电时间常数令机电时间常数Tm :令电磁时间常数令电磁时间常数Ta :aaaRLT 1) 当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：LmaemMJTukdtdT10aT一阶系统一阶系统dtdMJTTM

12、JTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 二阶系统二阶系统2) 对微型电机，转动惯量对微型电机，转动惯量J很小，且很小，且Ra 、La都可忽略都可忽略eaaekuuk 10 meamkkJRT0 aaaRLTdtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 1）分析系统运动的因果关系，确定系统的）分析系统运动的因果关系，确定系统的、及内及内部部，搞清各变量之间的关系。，搞清各变量之间的关系。 2）忽略一些次要因素，）忽略一些次要因素，。 3）根据相关基本定律，列出各部分的）根据相关基本定律，列出各部分的。 4）列写中间变量的）列写中间变量的。 ！ 5）联立上

13、述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程）联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。式。 6）将方程式化成标准形。）将方程式化成标准形。 与与输出输出有关的放在有关的放在左边左边，与，与输入输入有关的放在有关的放在右边右边，导数项按，导数项按降阶降阶排排列的形式。列的形式。1拉氏变换及其性质（复习）拉氏变换及其性质（复习）1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()()(dtetfsFtfLts（1 1）阶跃函数）阶跃函数 )()(tfsF像像原像原像2 2 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换 0001)(tttf ssesdtetLstst110111100 （2 2

14、）指数函数）指数函数atetf )( dtedteetfLtasstat 00)( as)(aseasa)t(s 110110（3 3）正弦函数）正弦函数 0sin00t t t f(t)22L f(t) =s +2-3 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型传递函数传递函数（1 1）线性性质）线性性质3 3 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2）微分定理）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 00左tdfedtetfstst 00001221 nn-n-n-nnfsffsfssFstf dtetfs-fst 000 右0 f

15、ssF st-stdetftfe 00证明：证明：0 0初条件下有：初条件下有： sFstfLnn （3 3）积分定理）积分定理 0111-fssFsdttfL 零初始条件下有：零初始条件下有： sFsdttfL 1进一步有：进一步有： 1nnnLf t dtF ss 个例例 求求 Lt=?=? 解解. . dttt 1 dttLtL1例例 求求解解. . dttt 22?22 tL21s dttLtL2231s （4 4）复位移定理）复位移定理证明：证明： )()(AsFtfeLtA dtetfestAt 0)(左令令sAs dtetfts 0)()(sF 右 dtetftAs 0)()()

16、(AsF ate L teLt-5cos3 例例例例 22533 ss3225 ssss atetL 1asss 1as 1（5 5）初值定理）初值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s )0()(lim)(lim0fsFsdtedttdfst ss 0lim)(0 dtedttdft ss左 0)0()(lim fsFss)(lim)(lim)0(0sFstffst （6 6）终值定理）终值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s

17、)(1)(bsasssF 例例1 1（终值确实存在时）（终值确实存在时） )0()(lim)(lim000fsFsdtedttdfst ss dtedttdft ss 00lim)(左 0)(tdf tttdf0)(lim )0()(limftft )0()(lim0fsFss 右右 abbsasssfs11lim0 22ssF ttfsin例例2 20lim220 sss需要牢记的函数变换及相关性质需要牢记的函数变换及相关性质1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts（2 2）单位阶跃单位阶跃2 2 常见函数常见函数L变换变换)(tfs1（5 5）指数函数指数函数at

18、e )(1as )(sF)( 1 t（1 1）单位脉冲单位脉冲1)(t （3 3）单位斜坡单位斜坡21 st（4 4）单位加速度单位加速度31 s22t（6 6）正弦函数正弦函数t sin)(22 s（7 7）余弦函数余弦函数t cos)(22 ss（2 2）微分定理微分定理3 3 L变换重要定理变换重要定理（5 5）复位移定理复位移定理（1 1）线性性质）线性性质（3 3）积分定理积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 1Lf t dt =F ss)()(sFetfL

19、s )()(AsFtfeLtA )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst 需要牢记的函数变换及相关性质需要牢记的函数变换及相关性质例例1 求函数求函数x(t)的拉氏变换。的拉氏变换。 00, 0 00 )(tttttAtxtx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0 A+)1 ()(00ststesAesAsAsX 解：解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A 1(t) A 1(t t0 ) 举例举例 ，求，求x(0)， x( )。解：解：例例2 若若0lim)(lim)(00 assssXxss 1.定义定义 由象函数由象函数X(s)求原

20、函数求原函数x(t) 0)( )(21)()(1 tdtesXjsXLtxjjst 2.求拉氏反变换的方法求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法查表法 astxL 1)(1lim)(lim)0( assssXxss 部分分式法部分分式法 一般，象函数一般，象函数X(s)是复变量是复变量s的有理代数公式，即的有理代数公式，即nnnnmmmmasasasbsbsbsbsDsNsX1111110)()()()()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX 通常通常m 0，0 1， n = 1/T，T 称为振荡环节的称为振荡

21、环节的，。振荡环节有一对位于。振荡环节有一对位于s左半平面的左半平面的共轭极点：共轭极点：)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT 传递函数为：传递函数为： 121)(22 TssTsG 2222)(nnnsssG 或或dnnjjp22 , 115.二阶振荡环节二阶振荡环节 微分方程式为：微分方程式为：)sin(111)(2 tetcdtn式中，式中，。响应曲线。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。荡环节。c(t) t 01ssssRsGsCnnn12222 )()()(dnnjjp 2211, np1p2 j d n j 0)()(trtcse

22、sRsCsG)()()(r(t)t01c(t)t01 2.5.1 结构图的定义及基本组成结构图的定义及基本组成1. 结构图的定义结构图的定义: 直流电动机转速控制系统，用直流电动机转速控制系统，用可描述其结构和作用可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析。有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。原理，但却不能定量分析。有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。放大器放大器电动机电动机测速机测速机urufua e+- 转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态代入相应的方框中，并标明

23、两端对应的变量，就得到了系统的动态。 用用G(s)代替相应的元件，代替相应的元件，好处：好处：因此，它是对系统每个元件因此，它是对系统每个元件功能和信号流向功能和信号流向的图解表示，也就是对的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。系统数学模型的图解表示。Ka1/ keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf (s)Ua(s) (s)E(s)+ 2. 结构图的基本组成结构图的基本组成 1）画图的）画图的4种基本元素种基本元素 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示

24、输入，从方框出来的表示输出。从方框出来的表示输出。r(t), R(s) r(t), R(s)r(t), R(s) 表示对输入信号进行的数学运算表示对输入信号进行的数学运算。方框中的。方框中的传递函数是传递函数是的运算算子，使得输出与输入有确定的因的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系。果关系。R(s)R(s) U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)+ 对两个以上的信号进行代数运算，对两个以上的信号进行代数运算，“ + ”号号表示相加，表示相加， “ ”号表示相减。外部信号作用于系统需号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。通过相加点表示。 2）结构图的基本作用：）结构图的基本作用

25、： (a) 简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照原则，原则，对于输出对输入的反作用，通过对于输出对输入的反作用，通过反馈支路反馈支路单独表示。单独表示。 (1) 列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析）列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析） (2) 设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个然后分别以一个方框方框的形式将因果关系表示出来，而

26、且这的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。 (3) 将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。 例例 画出下图所示画出下图所示RC网络的结构图。网络的结构图。 R C u1 u2 解：解：(1) 列写各元件的原始方程式列写各元件的原始方程式RuiuuuidtCuRR2121 i( (2) )取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式 )()()()()()()(sUsUsUsICssUsURsIRR21211(

27、3)(3)将这些方框依次连接起来得图。将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)+U2(s)UR(s)2121uuuidtCuRuiRR1RI(s)UR(s) 1.三种基本连接形式三种基本连接形式 (1) 串联。串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。 G2 2(s)U(s)C(s)G1 1(s)R(s)U(s) 由图可知：由图可知： U(s)=G1(s)R(s) C(s)=G2(s)U(s) 消去变量消去变量U(s) 得得C(s)= G1(

28、s)G2(s)R(s) = G(s)R(s)G1 1(s)G2 2(s)R(s)C(s)G2 2(s)U(s)C(s) (2) 并联。并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。各环节输出量之代数和。 由图有由图有 C1(s) = G1(s)R(s) C2(s) = G2(s)R(s) R(s)C(s)G1 1(s)C1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)R(s)+ C(s) = C1(s) C2(s) 消去消去C1(s) 和和C2(s)，得，得 C(s) = G1(s) G2(s)R(s) = G(s)R(s) G1 1(s)

29、 G2 2(s)R(s)C(s)C1(s)G1 1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)C(s)+ (3) 连接形式是两个方框反向连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处并接，如图所示。相加点处做加法时为做加法时为，做减法，做减法时为时为。由图有由图有 C(s) = G(s)E(s) B(s) = H(s)C(s) E(s) = R(s) B(s)消去消去B(s) 和和E(s)，得，得 C(s) = G(s) R(s) H(s)C(s) R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+ )()(1)()()(sHsGsGsRsC 上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。上式

30、称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。G(s)1 G(s)H(s)R(s)C(s) G(s)：前向通道传递函数前向通道传递函数 E(s) C(s)H(s)：反馈通道传递函数反馈通道传递函数 C(s) B(s) H(s)=1 单位反馈系统单位反馈系统G(s)H(s) 开环传递函数开环传递函数 E(S) B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+ 开环传递函数开环传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数闭环传递函数闭环传递函数 1式中负反馈时取式中负反馈时取“+”号，号，正反馈时取正反馈时取“-”号。号。2.闭环系统的常用传递函数闭环系统的常用传递函数 考察带有扰动作用下的闭

31、环系统如图所示。它代表了常见的闭环考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。控制系统的一般形式。（1）控制输入下的闭环传递函数）控制输入下的闭环传递函数 令令N(s) = 0 有有)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCr G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+（2 2）扰动输入下的闭环传递函数）扰动输入下的闭环传递函数 令令R(s) = 0有有 )()()(1)()()(212sHsGsGsGsNsCN （3）两个输入量同时作用于系统的响应）两个输入量同时作用于系统的响应 )()()()()()()()()

32、()()(sHsGsGsNsGsRsGsGsCsCsCNr212211 G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+3.闭环控制系统的几个特点闭环控制系统的几个特点 闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制）外部扰动的抑制较好的抗干扰能力较好的抗干扰能力 （2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关性）与输入和输出无关0)()(1)()()(

33、1)()()(1212 sHsGsHsGsGsGsNsCN)(1)()()(1)()()()(2121SHsHsGsGsGsGsRsCr 11)()(sHsGR(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+ RCG1G2G3H1H2 变换的原则：变换的原则：。1 . 分支点后移分支点后移GRCRGRC1/GR2 . 2 . 分支点前移分支点前移GRCCGRCGC4 .4 .比较点前移比较点前移3 . 3 . 比较点后移比较点后移GFGRC+ FRGCF+ GRC+ FF1/GRGC+ F5 .5 .比较点互换或合并比较点互换或合并R1C R2+ + R3R1C R2+ + R3 对于复杂系统

34、的结构图一般都有对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环相互交叉的回环，当需要确定系，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。按方框的连接形式等效，依次化简。R1C R2+ R3 RCG1G2G3H1H2解：方法解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2方法方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1 RG1G2CG3RG1G2CG3解：解：RG1G2CG3RG1G2CG31/G22.6.1 信号流图的基本概念信号流图的基本概念 1.定义定义：。 先看最简

35、单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2 = a12 x1式中，式中， x1为输入信号为输入信号()；x2为输出信号为输出信号()；a12为两信号之为两信号之间的传输间的传输()。即输出变量等于输入变量乘上。即输出变量等于输入变量乘上值。若从因果值。若从因果关系上来看，关系上来看，x1为为“因因”，x2为为“果果”。这种因果关系，可用下图。这种因果关系，可用下图表示。表示。 信号传递关系信号传递关系 函数运算关系函数运算关系 变量因果关系变量因果关系x1a12x2 下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。下面通过一个例子，说明信号

36、流图是如何构成的。 设有一系统，它由下列方程组描述：设有一系统，它由下列方程组描述： x2 = a12 x1 + a32 x3 x3 = a23 x2 + a43 x4 x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4 x5 = a25 x2 + a45 x4a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a322.信号流图的基本元素信号流图的基本元素 (1) 节点：用来表示变量，用符号节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近表示，并在近旁标出所代表的变量。旁标出所代表的变量。 (2) 支路：连接两节点的定向线段，用符号支路：连接两节点的定向线段，用符号“

37、”表示。表示。 支路具有两个特征：支路具有两个特征： 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。递的方向，用箭头表示。 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值路的权用它近旁标出的传输值()表示。表示。 3.信号流图的几个术语信号流图的几个术语 输入节点输入节点(源点源点) 只有输出支路的节点，它代表系统的只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中输入变量。如图中x1。 混合节点混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中中x2

38、、x3。 输出节点输出节点( (汇点汇点) ) 只有输入支路的节点，它代表只有输入支路的节点，它代表系统的系统的输出变量。如图中输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x2 通道通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。的乘积来表示。 开通道开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a1

39、2 a23 a34 。 a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4 闭通道闭通道(回环回环) 如果通道的终点就是起点的开通道。如如果通道的终点就是起点的开通道。如a23 a32 ，a33 (自回环自回环) 。前向通道前向通道不接触回路不接触回路 1 1）信号流图只能代表）信号流图只能代表线性线性代数方程组。代数方程组。 2 2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。节点变量表示。 3 3）信号在支路上沿箭头）信号在支路上沿箭

40、头传递，后一节点变量依赖传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有于前一节点变量，即只有“”的因果关系。的因果关系。 4 4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。增益而变换为另一信号。 5 5）对于给定的系统，信号流图不唯一。）对于给定的系统，信号流图不唯一。 1.直接法直接法 例例 RLC电路如图所示，试画出信号流图电路如图所示，试画出信号流图。 dtduCiuRidtdiLuccr )0()()()()()0()()(cccrCusCsUsIsUsRILisLsIsU R C ur(t) uc(t) Li(t)

41、(4)(4)画出信号流图如图所示。画出信号流图如图所示。)0()(1)(1)()(01)(1(s)iRLsLsURLssURLssIussICsUcrccUr(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R 1Cs1Ls+R )0()()()()()0()()(cccrCusCsUsIsUsRILisLsIsU2.翻译法翻译法 例例 画出下图所示系统的信号流图。画出下图所示系统的信号流图。 R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)+E2(s)E1(s) 解：按照解：按照翻译法翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号可直接作出系统结构图所对应的信号流图。流图。R(s)E

42、1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)H(s)系统结构图系统结构图 信号流图信号流图输入变量输入变量 源节点源节点 输出端输出端 汇节点汇节点 1.梅森增益公式梅森增益公式输入输出节点间总传输的一般式为输入输出节点间总传输的一般式为PPnkkk 1式中式中P 总总传输传输 (增益增益) )； n 从从源节点至汇节点前向通道总数；源节点至汇节点前向通道总数； deffedabccbaLLLLLL1 线性代数方程的克莱姆法则线性代数方程的克莱姆法则 aaLbcbcL LdefdefL L Lk为为 为为 deffedabccbaLLLLLL1PPnkkk 1 解：信号流图的组成：解：信号流

43、图的组成：4 4个单回环，个单回环，一条一条前向通道前向通道 =1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) bidjfk P1 = abcdefgh 1 = 1 0 = 1例例 求图所示系统的信号流图输入求图所示系统的信号流图输入x0至输出至输出x8的总传输的总传输G。x0ax8bcdefghijkmabcdefghPxxP 1108 例例 已知系统的信号已知系统的信号流图如下，求输入流图如下，求输入x1至输出至输出x2和和x3的传输。的传输。bx1gx2ax3jhci23efd 解：单回路：解：单回路：ac，abd，gi，ghj， 两两互不接触回路：两两互不接触回路： ac与与gi，ghj; abd与与gi，ghj 1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj) x1到到x2的传输：的传输： P1 = 2ab 1 = 1 (gi + ghj) P2 = 3gfab 2 = 1 221112PPPbx1gx2ax3jhci23efd