高中数学解题思路大全—用构造局部不等式法证明不等式_第1页
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文档简介

1、用构造局部不等式法证明不等式有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。例 1. 若 a， bR*， ab 2，求证：2a12b12 3分析：由 a， b 在已知条件中的对称性可知，只有当ab1 ，即 2a1 3 时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。证明：2a131)· 332a1332)· (2a·2(a333同理，2b132)(b3 2a12b13 (a 2)3 (b 2) 2 333例 2.设 x1， x2 ， xn 是 n 个正数，求证：x12x22xn21xn2x2

2、x3xnx1 x2x1xn 。证明：题中这些正数的对称性，只有当x1x2xn 时，等号才成立，构造局部不等式如下：x12x22x1 ， x22x3 2 x2 ， xn21xn2xn 1， xn2x12xn 。x2x3xnx1将上述 n 个同向不等式相加，并整理得：x12x22xn21xn2x2xnx1 x2 xn 。x3x1例 3.已知 a1， a2 ， an 均为正数，且 a1a2an 1，求证：a12a22an21a1a2 a2a3。an a12证明：因 a1 ， aa12a1a2a1，2 ， an 均为正数，故a24a1a22a2a3a2，an2ana1an 。a2a34ana14又 a

3、1a2a2 a3ana11 (a1a2 an )1 ，44422把以上各个同向不等式相加，整理得：a12a22an21a1a2an 1a1a2a2a3ana12a12a22an21。故a2a2a3a12a1an例 4.设 a， b， cR* ，且 abc1，求证：1113 。a3 (b c) b3 (c a) c3 ( a b)2（第 36 届IMO）证明：由 a，b ，c 在条件中的对称性知，只有当a bc 1时，才有可能达到最小值3 ，此时刚好21b c1a3 (b c)4bc。所以，可构造如下局部不等式。21b c11(b c)4bc2，a34a 3bca1ac11b 3 (ac)4ac2b4b3 ac1ab11c3 ( ab)4ab2c4c3 ab，111 a3 (bc)b3 (ca)c3 (ab)1111bcaca b(bc)(ac)a4bcab11113 313(ab)2abc22c例 5.设 a， b， cR* ，且 abc 2 ，求证：a 2b2c21。b ccaab证明：由a ，b， c在条件中的对称性知，只有当 abc2 时，才可能达到最小值1 ，此时刚好3a 2bc。所以，可构造如下局部不等式。bc4 a 2 b c a 2 b c2

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