高中数学空间向量求距离教案人教新课标

1、学习必备欢迎下载课题： 空间的距离第一课时教学目标：知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算。过程与方法：分组合作，示范交流，应用小结。情感态度与价值观：掌握空间向量的应用。教 学教师活动学生活动环节一 、 1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行复 习 直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距引入 离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。2、距离的特征：距离是指相应线段的长度；此线段是所有相关线段中最短的；除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。3、求空间中的距离有直接法，即直接求出垂线段的长度；转化

2、法，转化为线面距或面面距， 或转化为某三棱锥的高， 由等积法或等面积法求解； 向量法求解。二、建构数学1、两点间的距离公式二 、设空间两点 A x1, y1 , z1 , B x2 , y2 , z2，则 dAB222新 课x1 x2y1 y2z1 z2导入2、向量法在求异面直线间的距离思考练习思考设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在 n 方向上的正射影向量的模。小结| a n |d| n |4、向量法在求点到平面的距离中（ 1）设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为a ，平面的法向量为 n

3、 ，则 P 到平面的距离 d 等于 a 在 n 方向上正射影向量的模。 d| a n | n |（ 2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（ x0 ,y0,z0）到平面 A x0 +B y 0+C z 0+DAX+BY+CZ+D=0 的距离 d 为： d=A 2+B 2+C2三 、例 1 直三棱柱 ABC-A1 11的侧棱 AA13，底面 ABC 中， C=90°，AC= BC=1 ，例题分析B C=例 题求点 B1 到平面 A1 BC 的距离。讲解解 1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（ 1,0,0），B（ 0,1,0）， C（ 0,0,0）

4、 A1（ 1,0, 3 ），B1（ 0,1,3 ）， C1（ 0,0, 3 ） A1 B =（ 1,1,3 ）， A1C =（ 1,0, 3 ） B1 A1=（1, 1,0）设平面A1BC的一个法向量为n ( x, y, z) ， 则学习必备欢迎下载nA1 B0xy3z 0x3y0nA1C0x3z0z1即 n(3,0,1)所以，点B1 到平面| n A1 B1 |3zA1BC 的距离 d2| n |解 2建系设点同上（略） ，设平面 A1BC 的方程为 ax+by+cz+d=0分析思考(a,b,c,d 不全为零 )，把点 A1， B， C 三点坐标分别代入平面方程得1C1Ad0a3c3 x+z

5、=0bd 0b 0平面 A1BC 的方程为B1x又 B1（ 0,1, 3 ）AC设点 B1 到平面 A1BC 的距离为 d，则 3 x0+1 x0+ 3 3Byd=( 3) 2+1=22、例 2（ 20XX 年福建卷） 如图， 四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD 、BC 的中点，CACBCDBD2ABAD2（ I ）求证：AO平面 BCD ；（ II ）求异面直线AB 与 CD 所成角的大小；AD巩固练习（ III ）求点 E 到平面 ACD 的距离。解：（ I）略（ II ）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则OBECB(1,0,0), D ( 1,0,0),C(0, 3,

6、0), A(0,0,1), E( 1,3 ,0), BA ( 1,0,1),CD ( 1, 3,0).22BA.CD2cos BA,CD,BA CD42异面直线AB 与 CD 所成角的大小为arccos.zADO（ III ）解：设平面ACD 的法向量为 n( x, y, z), 则 xBECy学习必备欢迎下载n.AD( x, y, z).( 1,0, 1)0,n.AC( x, y, z).(0,3,1)0,xz0,3 yz0.令 y1,得n (3,1,3)是平面 ACD的一个法向量，又四 、EC(1,3 ,0),22EC.n321 .点 E 到平面 ACD 的距离 hn77练习练习：（ 20

7、05 福建卷理第20 题）如图，直二面角D-AB-E 中，四边形长为 2 的正方形， AE EB， F 为 CE 上的点，且 BF 平面 ACE （）求证： AE 平面 BCE ；（）求二面角 B-AC-E 的大小；D（）求点 D 到平面 ACE 的距离。解（）略（）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz，如图 .AAE面 BCE ，BE面 BCE，AEBE ，在 RtAEB中, AB2, O为 AB 的中点，ABCD 是边CFBEOE 1A(0, 1,0), E(1,0,0),C(0,1,2).AE(1,1,0), AC( 0,2,2). 设平面 AEC 的一个法向量为n( x, y, z) ，则AEn0,即 xy 0,解得yx,ACn0,2 y2x0.zx,令 x1, 得 n(1,1,1)是平面 AEC 的一个法向量 .又平面 BAC 的一个法向量为m(1,0,0)，cos(m, n)m, n13| m | | n |3.3二面角 B AC E 的大小为 arccos3 .3