中考几何图形的归纳猜想和证明专题

1、学习必备欢迎下载第九讲几何图形的归纳、猜想和证明【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。 08 年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。 09 年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题， 然而中考的时候就出了一道几何方面的 n 等分点总结问题。 于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳， 猜想问题铺天盖地而来， 这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映， 这种问题一般较难， 得分率很低， 经常有同学选择 +填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说， 思考的方法是最重要

2、的， 所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。第一部分真题精讲【例 1】 2010，海淀，一模如图， n +1 个边长为2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设B2 D1C1的面积为 S1 ，B3D2C2 的面积为 S2 ， ， Bn 1 Dn Cn 的面积为 Sn ，则 S2 =； Sn =_（用含 n 的式子表示）B1B 2B3B4B5D1D 2D 3D4 AC1C2C3C4C5【思路分析】 拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是B2 AC2 ,B3 AC3 这种的 ,第二步就是

3、看这些图形之间有什么共性和联系.首先S2 所代表的三角形的底边C2D2是三角形AC2D2的底边 ,而这个三角形和AC3B3 是相似的.所以边长学习必备欢迎下载的比例就是AC2与 AC3 的比值 .于是S2122 3.接下来通过总结 ,我们发现所求的22333三角形有一个最大的共性就是高相等,为3（连接上面所有的B 点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出D n 自然是所在边上的n+1 等分点.例如 D2 就是 B2 C2的一个三等分点n1 1(n+1-1是什么意思 ?为什么要

4、.于是 Dn Cn2n1减 1?)11 2n3nS B n 1 Dn CnDn Cn3322 n 1n 1【例 2】 2010，西城，一模在平面直角坐标系中， 我们称边长为1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是( 8，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0)，(0， 4)，则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_ 个；若菱形 An BnCn Dn的四个顶点坐标分别为( 2n ，0)，(0 ，n)，(2 n ，0)，(0 ， n)（ n 为正整数），则菱形An能覆盖Bn Cn Dn的单位格点正方形的个数为_（用含有 n 的式子表示

5、）y4 BAC- 8O8 x- 4 D【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4 即可。比如我们来看第二学习必备欢迎下载象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0 ） (0,n), 自然可以写出直线解析式为y1,斜率 1 意味着什么 ?看上图 ,注意箭头标注的那些空白三角形,这些 RT 三角形一x n22共有 2n/2=n个 ,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是1 ?而且这些直角三角形都是全2等的 ,面积均为两个单

6、位格点正方形的一半.那么整个的 AOB 的面积自然就是 1,所2n n2有 n 个空白小三角形的面积之和为n1 2 1 ,相减之后自然就是所有格点正方形的面积2n2n ,也就是数量了 .所以整个菱形的正方形格点就是 4n24n .【例 3】 2010，平谷，一模如图，AOB45 ，过 OA 上到点 O 的距离分别为1，3，5，7，9 11. 的点作 OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1， S2， S3， S4， 则第一个黑色梯形的面积 S1；观察图中的规律， 第 n ( n 为 正 整 数 ) 个 黑 色 梯 形 的 面 积SnBS3S2S4S1A01 35

7、79 1113.【思路分析】 本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为AOB45 ，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0 点的距离 ,而高则是固定的 2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以 S1113 24 .第二个梯形面积2112 ,第三个是120 ,至此 ,我们发现本题中梯形面积数值上S25 7 2S3911222其实就是上下底的和 .而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第 n 个梯形的上底就是 1+4(n-1)=4n-3, (第一个梯形的上底1 加上 (n-1) 个 4.)下底自然就是 4n-1,于是 Sn 就是8n-4.学习必备欢迎下载【例 4】2010

8、，丰台，一模在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点请你观察图中正方形A1B1C1D1， A2B2C2D 2， A3B3C3D3 每个正方形四条边上的整点的个数按此规律推算出正方形 A10B10C10D 10 四条边上的整点共有个yA33D 3A22D 2A11D 1-3-2-1O1 2 3xB1-1C1B2-2C23-3C3B【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于An Bn Cn Dn 来说 , 每条边的长度是2n, 那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个 ) ( 要减去四个被重复算的顶点), 于是

9、A10 B10 C10 D10 就是 80 个 .【例 5】 2010，宣武，一模如图， ABC 中， ACB=90° ，AC=BC=1 ，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与 ABC 的 BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_【思路分析】 本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词 “中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45 度，并且直角边都是上学习必备欢迎下载一个三角形直角边的一半。绕一圈是360 度，包涵了8 个 45°。于是绕到第八次就可以和BC 重叠了，此时边

10、长为ABC 的 1 ，故而得解。8【例 6】 2010，门头沟，一模如图，以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第2 个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3 个等腰直角三角形A1 BB1，如此作下去，若OA OB1 ，则第 n 个等腰直角三角形的面积Sn_（ n 为正整数） .B2A1AOBB1【思路分析】 和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得1，S2242nS1，S3. ，分子就是 1,2,4,8,16这样的数列。于是 Sn2222【总结】 几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生

11、自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题， 首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中， 哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时， 不妨先写出第一项，第二项， 第三项然后去找数式上的规律，如上面例6 就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。第二部分发散思考学习必备欢迎下载【思考 1】 2009，西城，二模如图，在平面直角坐标系

12、xOy 中， B1(0,1) ， B2(0,3) ， B3(0,6) ，B4 (0,10) ，以 B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2 B3为对角线作第二个正方形A2 B2C2 B3，以 B3 B4为对角线作第三个正方形 A3 B3 C3 B4，如果所作正方形的对角线Bn Bn1都在y 轴上，且 Bn Bn1的长度依次增加1 个单位，顶点An 都在第一象限内（ n 1，且n 为整数）那么A1的纵坐标为；用 n的代数式表示 An的纵坐标：【思考 2】 2009，朝阳，二模如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始跳动，第一次跳到点 P 关于 x 轴的对称点 P1处，接着跳

13、到点 P1关于 y 轴的对称点 P2处，第三次再跳到点P2关于原点的对称点处，如此循环下去当跳动第2009 次时，棋子落点处的坐标是【思考 3】 2009，昌平 ,一模对于大于或等于2 的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数 72 的分裂数中最大的数是，自然数n 2 的分裂数中最大的数是.11335【思考 4】 2009，延庆，一模一个质点在第一象限及x 轴、 y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(0，1) ，然后y3学习必备欢迎下载接着按图中箭头所示方向运动, 即 (0，0)(01)，(11)，(10)， ，且每秒移动一个单位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是_【思考 5】 2009，海淀，二模如图，将边长为 1 n2, 3,的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正(n 1,)2方形的中心依次