第二章单自由度体系的振动(2)

1、Page 1教学模块n 第1章 概述n 第2章 单自由度体系振动n 第3章 多自由度体系振动n 第4章 无限自由度体系振动n 第五章 讲座n 第六章 结构稳定理论n 第七章 结构极限荷载第二章单自由度体系的振动Page 32.1.1 2.1.1 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动2.1 2.1 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动2.1.2 2.1.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答2.1.3 2.1.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率2.1.4 2.1.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响Page 42.1.1 2.1

2、.1 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动 最典型的无阻尼自由振最典型的无阻尼自由振动模型就是右图所示的质动模型就是右图所示的质量弹簧振子体系，我们知量弹簧振子体系，我们知道，它的运动方程为道，它的运动方程为 同除以同除以m,m,得得 令令0kyym 0ymky mk2Page 5C C1 1和和C C2 2由振动的初始条件决定。由振动的初始条件决定。我们之前已经知道，质量弹簧体系作周期振动，我们称之为我们之前已经知道，质量弹簧体系作周期振动，我们称之为简谐振动或谐和振动。简谐振动或谐和振动。 叫做自振周期。叫做自振周期。 ，叫做自振频率。，叫做自振频率。得微分方程得微分方程 它是二阶线性

3、齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：02yy tCtCtycossin)(2121Tf,2TPage 6 下面我们讨论建立自由振动微分方程的两种方法：下面我们讨论建立自由振动微分方程的两种方法：1 1、 刚度法刚度法：研究作用于被隔离的质量上的：研究作用于被隔离的质量上的力，建立动力平衡方程。力，建立动力平衡方程。m.yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk力学模型力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力重力 W弹性力弹性力 )()()(djyyktkytS恒与位移反向恒与位移反向惯性力惯性力)()()(djyymtymtI Wyykyy

4、mdjdj)()( (a)其中 kyj=W 及0jy 上式可以简化为0ddkyym 或或).(.0bkyym 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。Page 72 2、 柔度法柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。.m静平衡位置I(t).(.)()()(ctymtIty 0)( ytym k1可得与可得与 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。2.1

5、.2 2.1.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答).(.0bkyym 改写为0ymky 02yy 其中mk2它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：tCtCtycossin)(21积分常数积分常数C1，C2由初始条件确定由初始条件确定Page 8m静平衡位置静平衡位置I(t).(cossin)(21dtCtCty设设 t=0 时时vyyy)0()0(vCyC12.（d）式可以写成式可以写成).(.sincos)(etvtyty 由式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度引起的余弦运动和由初速

6、度v 引起的正弦引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动运动的合成，为了便于研究合成运动, ,令令cos,sinAvAy(e)式改写成式改写成).(.).sin()(ftAty它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和和 可由下式确定可由下式确定).(.122gvytgvyA振幅振幅相位角相位角Page 9).(.sincos)(etvtyty).(.).sin()(ftAtyy0ty-yTTTvvyt0yt0 A-AtycostvsintAsinPage 10 2.1.3 2.1.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率由式由式)sin()(t

7、Aty及图可见位移方程是一个周期函数。及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0 A-A周期周期,2T频率频率21Tf圆频率圆频率Tf22计算频率和周期的几种形式计算频率和周期的几种形式stgWgmmk1gkmTst22频率频率和周和周期的期的讨论讨论1.1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；2.2.与与m的平方根成正比，与的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；成反比，据此可改变周期；3.3.是结构动力特性的重要数量标志。是结构动力特性的重要数量标志。Page 11例例1. 1. 计算图示结构的频率和周期。计算图示结构的频率和周期。mEI

8、l /2 l /21EIl483348mlEIEImlT4823例例2.2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IHE,I1HHm1E,A1VVVm1IIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例例2.2.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。 312hEI312hEI由截面平衡由截面平衡324hEIk 324mhEImkEImhT223Page 12例例3. 3. 计算图示体系的自振频率。计算图示体系的自振频率。ABCDEI= l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m.A1.A2lk1I2I 解：单自由度

9、体系，解：单自由度体系， 以以 表示位移参数的幅值表示位移参数的幅值, , 各质点上所受的力为：各质点上所受的力为：221211lmAmIlmlmAmI222222212331建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllm化简后得化简后得km2mkPage 132.1.4 2.1.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响mky1) 不考虑阻尼aamky=0c2) 考虑阻尼阻尼是客观存在的阻尼是客观存在的 振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼阻尼。 （1 1）产生阻尼的原因产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦

10、2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力 （2 2）阻尼力的确定）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼粘滞阻尼( )R tcy Page 14取质量取质量m m为隔离体为隔离体建立动平衡方程：建立动平衡方程：y(t)mykymy kmccy 有阻尼模型有阻尼模型0ymkymcy 0kyycym 令mc2mk2及022yyy 特征方程特征方程0222),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(设解为：tBeyPage 15讨论讨论: :111 、小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动Page 16（1）低阻尼情形低阻尼情形 ( 1

11、 )令 则此时，微分方程的解为 由初始条件 21r,122, 1i)sincos()(21tCtCetyrrt得得ryvCyC21Page 17也可写成也可写成其中其中我们再根据以上解答，对低阻尼自由振动做如下讨论：我们再根据以上解答，对低阻尼自由振动做如下讨论：)sin)(tAetyrt(yvytgyvyArr122Page 181 1）是一种衰减振动）是一种衰减振动2 2）对自振频率的影响）对自振频率的影响 当0.2时,则 0.9798r/1.0在工程结构问题中0.01)引起的动力反应微分冲量微分冲量01( )( )sin()ty tPtdm一般动荷载的动力反应一般动荷载的动力反应: :杜

12、哈梅积分杜哈梅积分初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 为零为零Page 29（1 1）突加荷载突加荷载 P(t)tPo001( )sin()ty tPtdm02(1cos)(1cos)stPtytmyst质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡 位置作简谐振动位置作简谐振动ystyst举例说明举例说明000( ) 0tP tPt01( )( )sin()ty tPtdm下面讨论两种动荷载作用时的动力反应：下面讨论两种动荷载作用时的动力反应：max ( )2sty ty动力系数：动力系数：Page 30 （2 2）线性渐增荷载线性渐增荷载 00 0( ) rrrPttttP tPtt

13、当当P(t)tP0trsin()( )11sinsin()strrstrrryttttty tytttttt当当 对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr的长的长短有很大的关系。短有很大的关系。Page 3100 0( ) rrrPttttP tPtt 当当P(t)tP0tr01.02.03.04.0rtT1.41.21.01.61.82.0动力系数反应谱动力系数反应谱( (T,tr ) )讨论：讨论：与与tr的关系的关系Page 322.2.4 2.2.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响计算简图: 建立平衡方程：

14、( )mycykyP t简谐荷载：22sinFyyytm( )sinP tFt方程的解： 齐次解（ ）特解（ ）rsin()yat振幅：2222221(1)4stayy(t)kmym隔离体隔离体( )P t( )P tmy kycy 设特解：2222221(1)4stay动力系数：1222tan(1)相位角：Page 334.03.02.01.001.02.03.0=0=0.2=0.3=0.5=1.0动力系数反应谱动力系数反应谱( , )1 1）当）当 或或 时，可时，可 以不考虑阻尼的影响以不考虑阻尼的影响111静荷载静荷载0位移为位移为0 02 2）当）当 时，阻尼作用明显时，阻尼作用明显

15、1112共振：共振：max10.751.3共振区共振区Page 342.2.5 2.2.5 有阻尼时的杜哈梅积分有阻尼时的杜哈梅积分000cossintrrryyeytt0sintrryet由冲量 引起的振动位移：0SmsintrrSyetm时刻的微分冲量对t 瞬时(t)引起的动力反应：P(t)td( )dSPdt微分冲量微分冲量()( )sin()trrPddyetm()0( )sin()ttrrPdyetm有阻尼杜哈梅积分有阻尼杜哈梅积分地震作用地震作用有阻尼的平稳振动:有阻尼的瞬时振动（自由振动）：有阻尼的瞬时振动（自由振动）：00y 初位移：00初速度:Page 35地基运动引起的强迫

16、振动运动方程惯性参考系mky=0cyg0tmycykytgyyyygmycykymy ( )mycykyp t( )gp tmy Page 36教学模块n 第1章 概述 15.1n 第2章 单自由度体系振动 15.2 15.3n 第3章 多自由度体系振动 15.4 15.5 15.6 15.7n 第4章 无限自由度体系振动 15.8n 第五章 讲座 15.9n 第六章 结构稳定理论 16n 第七章 结构极限荷载 17Page 37第2章总结n 第2章总结、讨论及习题课n 总结：本章五大问题n 自由度、基本参数、运动方程n 阻尼影响n 强迫振动n 干扰力的形式n 基础振动引起的强迫振动n 讨论：

17、配合进程n 习题： 两个Page 38例例3. 3. 计算图示体系的自振频率。计算图示体系的自振频率。ABCDEI= l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m.A1.A2lk1I2I 解：单自由度体系，解：单自由度体系， 以以 表示位移参数的幅值表示位移参数的幅值, , 各质点上所受的力为：各质点上所受的力为：221211lmAmIlmlmAmI222222212331建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllm化简后得化简后得km2mkPage 39mnnnnAAmAAln21ln211例例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移时顶部侧移2cm，振，振动一周动一周T=1.4s后，回摆后，回摆1.6cm，求大梁的重量，求大梁的重量W及及6周后的振幅。周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)大