角平分线的性质定理

1、角平分线的性质角平分线的性质第一课时第一课时 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？么办法？AOBC活活 动动1（对折）（对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢

2、板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）仪或量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于21作

3、法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则则射线即为所求射线即为所求 OABNMC证明证明: :连结连结MC,NCMC,NC由作法知由作法知: :在在OMCOMC和和ONCONC中中OM=ONOM=ONMC=NCMC=NCOC=OCOC=OCOMCOMCONC(SSS)ONC(SSS)AOC=BOCAOC=BOC即即:OC :OC 是是的角平分的角平分线线. .1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDC

4、D与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角三角形对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5 (2) (2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等. .证明：证明： 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO 1= 2 OP=OP PDO PEO(AAS) PD=PEP PA AOOB BC CE EDD12已知

5、：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的性质OC平分平分 AOB 1= 2PD OA，PE OB PDO= PEO角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等点点P是是AOB平分线上的一点平分线上的一点 又又PDOA，PEOB PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）（角平分线上的点到角的两边的距离相等）AOBEDP P证明线段相等证明线段相等有角的平分线，有

6、垂直距离有角的平分线，有垂直距离应用定理的前提条件是：应用定理的前提条件是：定理的作用：定理的作用：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?OABEDCPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不它们不是角平分线上任一点这个角两是角平分线上任一点这个角两边的距离边的距离,所以不一定相等直所以不一定相等直思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺应建在何处？（比例尺 1 1：20 0002

7、0 000）公路铁路 如 图 ： 在 如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB

8、于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。DFECBA证明：AD平分CABDEAB，C90（已知）CDDE (角平分线的性质)在tCDF和RtEDB中, CD=DE （已证） DF=DB （已知） RtCDF RtEDB (HL) CF=EB （全等三角形对应边相等）w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC.:EB=FC. ABEDCF证明：AD平分CABDEAB，DFAC DE DF(角平分线的性质)在tBD

9、E和RtCDF中, DE=DF （已证） BD=CD（已知） RtBDE RtCDF (HL) EB=CF （全等三角形对应边相等）1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；( (注意作图痕迹和几何语言的表达注意作图痕迹和几何语言的表达) )及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的距离距离相等相等 3：角平分线的性质的应用：角平分线的性质的应用BOACDPE1.如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线， PD=PEPDOA，PEOB思考：由PD=PE能不能能不能得到得到PDOA，PEOB？1、如图，连接角平分仪的边BD、AC，那么AC与BD有什么关系？为什么?DCBA提高与拓展提高与拓展2.如图如图,在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平的平分线，分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长。的长。EDCBA例例1 1 已知：在等腰已知：在等腰RtRtABCABC中，中，AC AC BCBC C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于点于点E E。 求证：求证：BDBDDE DE ACAC 变式变式 已知已知AB 15cm, 求求