同济大学试题集合

1、同济大学数学分析1998、求极限(x2 1)1、lim x(x )0 2、冗？(3/ 21 x、3 - cosx)1 x二、证明不等式xy _ ex y In *e(x R, y 0)三、设 f(x)=u(x)x2vx(t ) dt.其中u(x)是0，1上的正值可导函数 ，v(x)是在0，1上连续，求X2f'(x),并由此证明1 2 v(t)dt =v(x)-2xv(x )在0， 1内有解。X tx四、设f(x)2-|x|, |x|兰20,2 <| x |< n远 Min n 2 ，试将f (x)展开Fourier级数，并求级数()的和。n 二2积 分 I I (x COS

2、 ： y cosfz2 cos )ds ，为曲面六、设数=2z,cos> ,cos :, cos 为7 外法向量的方向余弦。oo-be项级数 7 an收敛于S，试证.e»(7n=0an0 0由此计算e( limtdt)dx之值。0 0 t七、f (x)在点a的某领域附近内有定义 并且有界，对于充分小 的h， M( h)与m(h)分别表示f (x)在a-h,a h上的上、下确界，又设hn是一趋于0的递减数列。证明：1、lim M(hn )与 lim m(hn)都存在,nn2、lim M (hn )二 lim M (h)，im m(hn )二 lim m(h)，3、f (x)在x二

3、a处连续的充要条件是lim M (hn ) = lim m(hn)，QO八、设有数项级数瓦anj记Sn =Hn Anaxxd1 n匚n=v Sk，证明：若v (Sn-J)收敛，则a.收敛。 n k=1n=in=1同济大学数学分析1999sin2 x-X2 COSX、计算仁lim 2x° x ln(1 x) arcsinx2、f,g分别为可微的三元和二 元函数，方程丿I = f (u, x,v+y)亠亠，” 丹2确定函数u(x, y),v(x, y),求巴，竺.3、设 f (X)二 x %2xxt 2e dt,求 f'(1)x二、设u为自然数，试讨论函数,x 100 (-1)k

4、kXk(1 x2 x)u - C. 1x2 - x)ux,0 _ x _ 1在x=0与x=1处的连续性，并指出间断点的类型(要说明理由)。三、设常数K>1, (1)证明方程ky s i ny xc o y = 0在区域|x|<k-1,|y|<+ ：内确定唯一的可导函数 y 二 y(x)(2)求极限 lim y(x)T x四、求原点(0，0)到抛物面2 2z = x y与平面X y z = 1交线的最长与最短距离。五、(1)证明不等式:In(1x) ： x (x 0)y = g(u _ X,V y)ex ex(2)证明数列xn收敛，其中xn丄-1 n(n T) n 二 n*1

5、COS'X . kx八、设 a R, k R ,求 Je dxc(x,y)2y>0内与路径无关，并求该积分。(其七、试确定指数uR，试积分 f -r udx_：xrudy在区域 (0,0) y _ yf x2y2八、设二fx2 y2 O _ Z _ 1的下侧，求积分iixdydz ydxdz (x -2z)dxdyZ、计算(1) lim -x ln(1(2)设变换方程同济大学数学分析2000-bo2 I 1)(3)min(e x,、)dxx 0u=x-2y可把6茫+空一茫=0简化为空=0，求常数a。ayex ex® cycucv0 _ x _ 二、将函数 f (x)2

6、展开正弦级数，并指出该正弦级数的和函数。ji_ x 一二22三、求在椭球面笃-a2 b2zc=1(a, b,c R )内嵌入的有最大体积的各棱平行于坐标轴的直角平行六面体的体积四、证明曲线积分 (1 -L2 y2 xcosy)dx+(sin y _ y cosy)dy 在右半平 xx 一 x xZ面内与积分路径无关，并当L的起点为(1,二)，终点为(2,二)时计算此积分。五、求积分 | iazxdydz-2yzdzdx (1 -z2)dxdy,其中为 yoz面上的曲线 z = eyZ轴旋转所得的曲面的下侧。六、设函数f (x, y)在R2上有连续的偏导数，问函数g(x) => *d si

7、n X(Jf(x,y)dy) dx x-bo/. xt(e0x_ 0在哪些间ddxsjdt)断点处连续？若有间断点，请指出其类型并说明理由。七、设 f(x) 为 0. ： 上恒取正-boftf(t)dtx 一 2时f (x) 一 A ,令 ：(x)X. f(t)dt0(x 0)c (0,r),方程(x)。在(0, ：)上有唯一解。八、设函数f (x)在区间x,x h上连续且二次可微，证明(0,1)，使得f(X h) f(x)=2f (x同济大学1998年高等代数-11. (10)设 0=-3-1x26 1，求 X-3广122、广111、2. (10)设 A =254,B =01145<0

8、0boii120012001(0 B y求矩阵X，使X= C<A 0丿t3. (10)设V = M2(R)是二阶实方阵全体所构成的线性空间。任意A V，有T (A) = A A ,其中At表示A的转置，证明T是V的线性变换，并求 T在基10、巾1、0 0) D0 0)E11 !，匕12 =!， E21 =1， B =!'0丿e 0丿J 0丿J 1丿下的矩阵表示。2 2 24. ( 10)问t取何值时，二次型t% -2x2 -x3 2x1x2 2x2x3是负定。t_15.(8)设A是n实可逆阵，证明2(A A)-是正定阵。6.(10)7.(14)32设方阵A适合A 3A ，7E=0

9、，证明A可逆。AX(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多组解,问k取何值时，下面的方程组qk21-11112丿这时求它的通解。其中 A =(18)&为标准型。求正交变换化二次型9.设A , B是n阶方阵，且 AB = 0,证明R(A) + R(B)乞n，其中R(A)是矩阵A的秩。同济大学高等代数 1999一、是非题正确的在()内打"，错误的打(12分)。1、设T实数域上n维线性空间V上的线性变换则在 V上不一定存在 T的特征向量。()22、 设V是n级实矩阵全体，对V中任意矩阵A,定义-(二)=-二则-是V上线性变换。()3、 任意一个实方阵必相似于一个实上三角阵。()2

10、2-13、设4X2 -5-26=0,求 x.(8 分)-32-1x2 +1<3-21-2丿勺2 2、25 4B= 1r冬4 51三、设A=1,C=求矩阵X使XB =C. (8分) A四、设V是2阶实方阵全体所构成的线性空间,任意"三v有一 g_）二二二，其中表示丄转置。证明一是V的线性变换。并求一在基(10it 10，上"°°，2!二0、 o' X0 0下的矩阵表示。1 1五、同六、同七、同八、同98T498T798T898T9九、设V是实数域R上的一个n维欧氏空间，对任意向量v, w表示(v, w)的内积 v = . (v,v) 表示的长

11、度，（1）设n是奇数，-'：-：V r V ,是V的一个正交变换Av 二-v ,（6 分）举例说明：当n为偶数时（1）的结论不一定成立，证明存在V中非零向量V使得Av = 7或(7 分)设变换一 ：VV满足 -(0) =0,(2) 一(v) -T(w)十、已知一个定是V的线性变换(7 分)22的矩阵序列M1,M2, ,Mn，其中 Mnanbndn J。设对任意正整数 n，有<2丄、(1八2133,B =1I616丿丄 21 2 2丿lim annJtZilim cn_n-jpclim bnn ：:lim dnn匸:存在，试求证明lim M n确实存在。n j：:同济大学高等代数2

12、000、是非题，正确的在内打"，错误的打。（6分）1 .设T是实数域上n维空间V上的线性变换，则在 V上不一定存在 T的特征向量。（）t22. 设V是n级实矩阵全体，对 V中任意矩阵A，定义T（A）二A，A。则T是V上线性变 换。（）3. 任意一个实方阵必相似于一个实上三角阵。（）、填充：（12分）1设A是5阶方阵，A =1，则2A=。2 .设 A = >1, 2,：, B = ：1/ 2/ 3, 都是 4 阶方阵，A = 2 ,3 .设1,2,3,2 , A -:'，其中at是a的转置。则A =，秩A =2 14.设 A =2A。贝U E A，其中E是与A同阶的单位方

13、阵。25 .设A : = 3，其中:-是非零列向量，f x二x - 2x 4。则f A :26 .设 f = X"!2 2-X2 - 2x3，2tX1X2 -2x1。则当 t 时 f 正定。三、（1）设4-32x2 -5-1-2-1=0，求 x。（6 分）-2-2(2)设(o,XA1 -x，求 D。（ 8 分）* 1 1 1xf 11 2 2,D =10L 1 2X-12 0 11 -2 1求X。（ 10分）五、六、问K取何值时，下方程组AX（1）有唯一解;（2）无解;(3)有无穷多组解。这时1k11-11,P =1ik12>求它的通解，其中 A =。（10 分）七、判别下列命题是否正确，正确的证明之，错误的举例说明。(10 分)1.如果：1 ,-：3线性无关，-：匚2 , ' 3线性无关，则-：、,' 2也线性无关。2.如果A , B可逆，则A - B也可逆。八、设3阶方阵A特征值是 =1 , 、2=2 , ，3=3，对应的特征向量是1t ,2 4t, ：3=1 3 9