《大学物理I》课程考试大纲解读(2016.4.8)1 (1)

1、北京联合大学大学物理I课程考试大纲解读大学物理I课程考试大纲解读第一章 质点力学【教学重点】1.基本概念：参考系、坐标系、质点、位置矢量、位移、速度、加速度。2.质点做变速圆周运动的切向加速度和法向加速度的概念，角位移、角速度和角加速度的概念，线量与角量的关系。3.冲量和动量的概念，动量定理和动量守恒定律及其适用条件。4.功、动能、势能的概念。5.质点的动能定理。【考核知识点】1.在直角坐标系中，质点的位置矢量、位移矢量、速度矢量、加速度矢量的表达式及相互间的运算。由位置矢量表示的质点运动方程求质点的轨道方程。 公式 位置矢量： 位移矢量： 速度： 加速度： 位置矢量表示的质点运动方程： 由位

2、置矢量表示的质点运动方程求质点的轨道方程：由 消去t，可得到质点的轨道方程。 相关作业题和例题【1.2】 一物体做直线运动，运动方程为，式中各量的单位均为(SI)制，求 第二秒内的平均速度； 第三秒末的速度； 第一秒末的加速度； 物体运动的类型。 解：； 第二秒内的平均速度 第三秒末的速度 第一秒末的加速度 从加速度公式可以看出a是t的函数，而且位移仅限制在x方向，y及z方向无位移，所以这个运动是一般的变速直线运动。【1.3】已知质点的运动方程为，式中各量采用国际单位制，求 质点的轨道方程； t = 1s 和t = 2s时质点的位置矢量以及t = 1s 和t = 2s之间质点的位移； 第二秒末

3、的速度； 质点在任意时刻的加速度。 解： 消去已知运动方程组中的时间t，即可求得轨道方程 质点的运动方程为，将和分别代入运动方程，可得位置矢量分别为 时， 时，所以位移 由速度公式有 ，将代入，得质点在2s末时的速度 由加速度公式有 方向沿y轴负向，大小为常量，所以质点做匀变速曲线运动。【例题1.2.1】质点在Oxy平面内的运动方程为，其中，式中各量均为SI单位。求： 在到这段时间内的平均速度； 在时的速度和速率； 质点的轨道方程。 已知：， 求： ； ，； 解： 由定义， 运动方程的矢量式为 根据速度公式有 将代入上式，可得 速率为 由得，代入，可得轨道方程 【例题1.2.2】已知质点的运动

4、方程为，式中各量均为SI单位。求：时质点的速度和加速度。已知：，求：，解：先由公式求 t 时刻质点的速度和加速度 时质点的速度和加速度为 2.质点做变速圆周运动的法向加速度及切向加速度的运算；质点做圆周运动的角位移、角速度、角加速度的定义及相互间的运算；角量与线量之间的关系。 公式 质点做圆周运动的速率： 变速圆周运动的法向加速度： 变速圆周运动的切向加速度： 变速圆周运动的总加速度： ， 质点做圆周运动的角位移： ，单位：rad 质点做圆周运动的角速度： ，单位：rad·s-1 质点做圆周运动的角加速度： ，单位：rad·s-2 角量与线量之间的关系：， 当质点作匀变速圆

5、周运动时，其角加速度为常量，有公式： 相关作业题和例题 【1.4】质点的运动方程为，求 质点在任意时刻的速度和加速度的大小； 质点的法向加速度和运动轨迹。 解： 根据速度公式有：则速度大小为：根据加速度公式有：则加速度大小为： 由运动方程得：消t得运动轨道方程为：由此可知质点做半径R = 8m的圆周运动，则法向加速度 【1.5】质点作半径R = 0.20m的圆周运动，其运动方程为。求 质点在任意时刻的角速度w； 质点在任意时刻的切向加速度。 解： 根据角位移与角速度之间的关系， 根据切向加速度的公式，有 【1.6】质点作圆周运动的运动方程为。求 第三秒末的角速度和角加速度； 第三秒内的角位移。

6、解：根据质点的运动方程可得角速度与角加速度分别为 ， 第3秒末的角速度与角加速度分别为 ， 第3秒内是指t =2s到t =3s这个时间间隔，根据运动方程可得 ，所以，第3秒内的角位移为 【例题1.3.1】一质点在水平面内以逆时针方向沿半径为2.0m的圆形轨道运动。该质点的角速度与运动时间的平方成正比，即w = kt2。式中k为常数。已知质点在第2.0s末的线速度为32.0m·s-1，求t = 0.5s时质点的线速度与加速度。 已知：， 求：， 解：先确定常数k。由，有 故 将代入，得 加速度大小： 与的夹角为 3.用冲量的定义及动量定理求变力冲量、平均冲力。 公式 用冲量的定义求变力

7、冲量： 用动量定理求变力冲量： 求平均冲力： 相关作业题和例题 【1.11】一粒子弹由枪口飞出的速度是，在枪管内子弹受合力为 求 子弹行经枪管所需时间（假定子弹到枪口时受力变为零）； 该力的冲量； 子弹的质量。解： 因为子弹到枪口时受力变为零即 解得 根据冲量的定义式，该力的冲量 根据动量定理 可知，子弹的质量 【1.12】已知作用在质量为10 kg的物体上的力为，式中F的单位是N，t的单位是s。设物体的初速度为，求 在开始的4s内，力的冲量有多大？ 在第4s末物体的速度？ 解： 根据冲量的定义，4s内力的冲量 根据动量定理 可得4秒末的物体速度 【1.14】质量为0.2 kg的垒球，如果投出

8、时速度值为30，被棒击回的速度值为50，方向相反。求 球的动量变化和打击力的冲量； 如果棒与球接触时间为0.002s，则打击的平均冲力为多少？ 解： 取投出速度方向为正方向，则，球的动量变化 方向与投出速度方向相反。由动量定理，打击力的冲量 方向与投出速度方向相反。 平均冲力的大小为 方向与投出速度方向相反。 【例1.7.1】有一冲力作用在质量为0.30kg的物体上，物体最初处于静止状态，已知力大小F与时间t的关系为 式中F的单位为N，t的单位为s 。求： 上述时间内的冲量、平均冲力大小； 物体的末速度大小。 已知：， 求： I，； 解： 由冲量的定义式 而平均冲力的大小为 由动量定理，得末速

9、度大小为： 4.用功的定义及动能定理求变力做功。 公式 用功的定义求变力做功(一维情形)： 用动能定理求变力做功： 相关作业题和例题 【1.16】用力推地面上的石块，石块质量为20kg，力的方向与地面平行。当石块运动时，推力随位移的增加而线性增加，即F = 6x，其中F的单位为N，x的单位为m 。求石块从x116m移到x220m的过程中，推力所做的功。解：由于推力在做功过程中是一变力，按功的定义有 【1.21】质量为4.0kg的物体在F48t的力作用下，由静止出发沿一直线运动，求在2s的时间内，该力所做的功。 解法一：02s内，力F的冲量 由动量定理，得 由动能定理，解法二：由牛顿第二定律可得

10、 又因 所以，在2秒末物体的速度为 根据质点的动能定理，在2s的时间内，该力对物体所做的功为 第九章 波动光学【教学重点】1.相干光的获得方法。 2.杨氏双缝干涉条件以及条纹分布特点。3.光程与光程差的概念。4.薄膜干涉条件，半波损失现象。5.单缝的夫琅禾费衍射条纹特点，用半波带法分析条纹的位置和强度。6.光栅衍射条纹的特点，光栅方程。【考核知识点】1.光程和光程差的概念；运用光程差分析干涉条纹的形成，并能判断是否存在半波损失。 光程：； 光程差： 用光程差表示的干涉条件： 半波损失：当光波从光疏介质（折射率较小）入射到光密介质（折射率较大）界面时，反射光有半波损失，在计算光程时要注意加（或者

11、减），将半波损失计算在内。2.杨氏双缝干涉条纹的特征。 公式 双缝干涉条件： 条纹位置坐标： 相邻的两明纹（或暗纹）间距： 相关作业题和例题 【9.2】某单色光照射在缝间距为的杨氏双缝上，屏到双缝的距离为，测出屏上20条明纹之间的距离为，则该单色光的波长是多少？ 解：因为 20条明纹间距为 所以 【例9.2.1】 在某双缝实验中，若D=1.0 m，d =0.20 mm，测得第二级明纹位置是x = 5.9mm，求此光的波长。解：由双缝干涉条纹的明纹位置公式 3.均匀薄膜干涉条纹的特征。具体问题具体分析 公式 （为薄膜的折射率）其中要根据具体情况分析计算，注意：要分析半波损失；用反射光干涉结果与透

12、射光干涉结果明暗互补规律分析透射光干涉情况。 反射光的光程差中半波损失的确定：满足（或）(夹心) 中有半波损失满足（或）(一顺) 中无半波损失 相关作业题和例题 【9.3】白光垂直照射到空气中一厚度为的肥皂膜（）上，在可见光的范围内（400760nm），哪些波长的光在反射中增强？ 有半波损失解：由反射光加强，有： ，当 时， （不可见，舍去） 时， （可见光） 时， （可见光） 时， （不可见，舍去）所以在可见光范围内，波长为和的光在反射中增强。 【例9.4.1】如图9.4.2所示，为使透镜()透射的黄绿光（= 550nm）加强，求最少要镀上多厚的增透膜MgF2（）。图9.4.2 增透膜已知：

13、，= 0求：增透膜 解：透射光增强等价于，反射光干涉减弱，画出介质与光路图，如图所示。垂直入射，两个界面反射时反射光均有半波损失。 当光程差满足时，反射干涉减弱，从而导出膜厚应满足 因为所求是最小膜厚，故令 解得 4.单缝的夫琅禾费衍射条纹特点，用半波带法分析条纹的位置。 公式 单缝的夫琅禾费衍射条件： （中央明纹） 第k级暗纹对应的半波带数为：2k第k级明纹对应的半波带数为：2k +1 中央明纹宽度：其它暗纹/明纹宽度： 相关作业题和例题 【9.13】 波长为nm的平行单色光垂直照射到缝宽为m的单缝上，屏与缝相距D =1m，求中央明纹的宽度。解：由单缝衍射暗纹公式 第一级暗纹对应，所以 又因

14、为 所以第一级暗纹中心位置为 中央明纹宽度为 【9.15】 平行单色光垂直照射到缝宽为m的单缝上，缝后放有焦距为mm的凸透镜，在其焦平面上放一屏幕，若在屏幕上测得两个第三级暗纹之间的距离为8 mm，则入射光的波长为多少？解：由单缝衍射暗纹条件 第三级暗纹对应，且第三级暗纹中心位置 所以 【9.16】 在夫琅禾费单缝衍射实验中，用单色光垂直照射缝面，已知入射光波长为500nm，第一级暗纹的衍射角为，试求： 缝宽； 缝面所能分成的半波带数。解： 由单缝衍射暗纹公式 第一级暗纹对应 ，则 缝宽 缝面所能分成的半波带数为个 【例9.5.1】已知单缝的宽度为，透镜焦距，光线垂直入射缝上，在屏上处看到明纹

15、。求： 入射光的波长及衍射级数。 缝宽所能分成的半波带数。例9.5.1题图已知：=0.60mm，= 40.0cm，x = 1.40mm求： ，k； 可分的半波带数。 解： 由单缝明纹条件 得 由 讨论：因为可见光在400nm760nm范围内，当 k = 1 时 = 1400nm 红外光（不可见光，舍去） k = 2 时 = 840nm 红外光（不可见光，舍去） k = 3 时 = 600nm 符合题意 k = 4 时 = 467nm 符合题意 k = 5 时 = 382nm 紫外光（不可见光，舍去） = 600nm，k = 3时，可分的半波带数为2k + 1 = 7 = 467nm，k = 4

16、时，可分的半波带数为 2k + 1 = 95.光栅衍射条纹的特点及光栅方程。 公式 光栅常数： 光栅方程： 光栅衍射条纹的最高级次： 相关作业题和例题 【9.20】 用一个每毫米500条缝的衍射光栅观察钠光谱线，波长为589.0nm。求：当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次。解：根据题意，光栅常数为 由光栅方程得 ，入射光垂直入射时能看到的最高级次为 第三章 静电场【教学重点】1.库仑定律的矢量表达；点电荷的场强分布；电场强度叠加原理及其应用。2.电场线的性质；非匀强电场中任意非闭合曲面及任意闭合曲面电通量的计算；真空中的高斯定理及其应用。3.静电场的环路定理及其反映的静电场性质

17、；点电荷电场的电势分布；电势的叠加原理及其应用。【考核知识点】1.电场强度的概念，由电场强度叠加原理求带电体的电场强度分布。 公式 点电荷的电场强度分布： 由电场强度叠加原理求点电荷系的电场强度分布： 视为点电荷的的电场强度分布： 由电场强度叠加原理求连续带电体的电场强度分布： 由电荷密度表示的：电荷体分布： 电荷面分布： 电荷线分布： 均匀带电球面的电场强度分布：，方向：沿径向。 无限长均匀带电直线的电场强度分布：，方向：与带电直线垂直。 无限大均匀带电平面的电场强度分布：，方向：与带电平面垂直。 相关例题和作业题 【例10.2.1】 求电偶极子轴线和中垂线上任意一点处的电场强度。 解： 以

18、连线中点为原点，由指向方向建坐标轴，如图10.2.3（a）所示，在距 O点为x远处P点，由场强叠加原理， 图 10.2.3(a) 电偶极子其大小 其中 对于电偶极子来说，考虑到，上式中。于是得点P处的总的电场强度的大小为，的方向沿Ox轴正方向。 建立坐标轴如图10.2.3（b）所示，同理在y轴上离O点y远处P点的图 10.2.3（b） 电偶极子中垂线上一点的电场强度点电荷+和-在点P处产生的电场强度大小相等，其值为其中，由分量式式中 ，所以 的方向沿Ox轴的负向。考虑到电偶极子，上式中，于是可得总的电场强度为 【例10.2.2】 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为l（），求距该直线为a处的电场

19、强度，如图10.2.5所示。图 10.2.5 带电线的电场强度解：因电荷是连续分布的，由场强叠加原理,建立坐标系,由分量式作积分运算求解。建立如图10.2.5所示，由叠加原理可知x分量 y分量 故在y轴上离原点y远处取元电荷其大小 故 则 因为对称性 统一变量为，由图可知，。 电场强度的方向沿x轴正方向。 【例10.2.3】一均匀带电细半圆环，半径为R，带电量为Q，求环心O处的电场强度。如图10.2.6所示图 10.2.6 带电半圆环环心处的电场强度解：建立如图所示的直角坐标系，在带电细圆环上任取一线元，所带元电荷量为 式中l为线电荷密度，其值为 电荷元在环心O处产生的电场强度的大小为 方向如

20、图所示。在x轴方向和y轴方向的分量分别为 根据对称性分析，可知，所以带电半圆环在环心O处产生的电场强度为 又因为，代入上式，积分后可得 负号说明电场强度的方向沿y轴负方向，大小则为 。题图10.1 【10.1】四个点电荷到坐标原点的距离均为d，如题10.1图所示，求点O的电场强度的大小和方向 。 解：由图所示x轴上两点电荷在O点产生场强为 y轴上两点电荷在点O产生场强为所以，点O处总场强为 大小为，方向与x轴正向成角。 【10.4】正方形的边长为a，四个顶点都放有电荷，求如题10.4图所示的4种情况下，其中心处的电场强度。题图10.4解：在四种情况下，均以中心O为坐标原点，水平向右为x轴正方向

21、，竖直向上为y轴正方向建立坐标系，则有 (a) 根据对称性，四个顶点处的电荷在中心处产生的场强两两相互抵消。所以 (b) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在x轴上抵消,只有y轴上的分量，所以 (c) 根据对称性，对角线上的电荷在中心处的场强可以相互抵消，所以 (d) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在y轴上抵消,只有x轴上的分量，所以 【10.6】 长为15.0cm的直导线AB，其上均匀分布着线密度的正电荷，如题图10.6所示。求 在导线的延长线上与导线B端相距为5cm的点P的场强。 解： 取点P为坐标原点，x轴向右为正，如题10.6(a)所示。设带电直导线上一小段电荷至点P距离为，它在点

22、P产生的场强为 （沿x轴正向）由于各小段导线在点P产生的场强方向相同，于是 方向水平向右。 题图 10.8(a)(b) 【10.8】如题图10.8(a)所示，电荷线密度为的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内，求AB所受的静电力。解：如图10.8(b)所示，建立坐标系，取线元dx，其带电量为，受力为 方向沿x轴正向。直线AB受力为方向沿x轴正向。 2. 电通量的计算。 公式 相关例题和作业题题图10.9 【10.9】有一非均匀电场，其场强为，求通过如题图10.9所示的边长为0.53 m的立方体的电场强度通量。（式中k为一常量）解：由于只有x方

23、向的分量，故电场线只穿过垂直于x轴，且位于和处的两个立方体面和。考虑到这两个面的外法线方向相反，故有 3.用真空中的高斯定理计算电荷分布具有对称性的连续带电体的电场强度分布。 公式 均匀带电球面/球体/球壳：选同心球面为高斯面S，由高斯定理得 ，方向：沿径向。 无限长均匀带电直线/圆柱面/圆柱体/圆柱壳：选同轴圆柱面为高斯面S，其中S1、S2为上下底面，S3为侧面，h为柱高，由高斯定理得 ，方向：沿径向。 无限大均匀带电平面的电场强度分布：平面两边分别为均匀电场，的方向与带电平面垂直，大小为，其中为均匀带电平面的电荷面密度。 相关例题和作业题 【例10.3.1】设有一半径为R带电量为Q的均匀球

24、体。求：球体内部和外部空间的电场强度分布。（a）（b）图 10.3.7 均匀带电球体的场强 解：首先分析空间分布的特性，由于电荷分布具有球对称性，故方向沿球半径方向，且的大小在同一球面上都相等。故取高斯面为同心球面。 过P点取半径为r（r < R）的高斯球面如图10.3.7（a）所示。由高斯定理 其中 方向沿径矢方向。 同理取半径r(r > R)的高斯球面 如图10.3.7(b)所示。 方向沿径矢方向。由此可见，均匀带电球体在其外部空间产生的电场强度，与等量电荷全部集中在球心时产生的电场强度值相同。根据以上的计算可得均匀带电球体的E-r曲线，如图10.3.8所示，从曲线可以看出，在

25、球体内（r < R），E随r的增加而线性增加，在球面上（r = R），E达到极大值，在球体外（r > R）， E 与成反比，即（）。图 10.3.8 均匀带电球体的E-r曲线图 【例10.3.2】求无限长均匀带电直线的电场强度分布。图 10.3.9 无限长均匀带电直线的电场解：由于带电直线无限长，且其上电荷分布均匀，所以其产生的电场强度沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离各点处的电场强度大小相等，即无限长均匀带电直线的电场分布具有柱对称性。如图10.3.9所示，以带电直线为轴线，r为半径，作一高为h的圆柱体的表面为高斯面。由于电场强度的方向与上、下底面的法线方向垂直，所以通

26、过圆柱两个底面的电场强度通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度通量为E2prh ，所以通过该高斯面的电场强度通量为该高斯面所包围的电荷量为根据高斯定理有 由此可得即无限长均匀带电直线外某点处的电场强度，与该点距带电直线的垂直距离r成反比，与电荷线密度成正比。图 10.3.10 无限大均匀带电平面的电场 【例10.3.3】设有一无限大的均匀带电平面，其电荷面密度为，求距该平面为r处某点的电场强度。解：首先分析分布特点，因为是无限大均匀带电平面。故方向必垂直于带电平面，由带电平面两侧附近的电场具有镜像对称性，大小在两侧距带电平面等距离各点处相等。为此选取如图10.3.10所示的闭合圆柱面为高斯面。由高

27、斯定理 左方 该高斯面内所包围的电荷量为 得 可见，无限大均匀带电平面产生的电场为匀强电场，方向与带电平面垂直。若平面带的电荷为正（），则电场强度的方向垂直于平面向外；若平面带的电荷为负（），则电场强度的方向垂直于平面向内，如图10.3.11所示。+-图 10.3.11 无限大均匀带电平面场强方向利用上面的结论和电场强度叠加原理，可求得两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场分布，如图10.3.12所示。设两带电平面的面电荷密度分别为和（），两带电平面的电场强度大小相等均为，而它们的方向，在两平面之间的区域，方向是相同的；在两平面之外的区域，方向则是相反的。所以，在两带电平面外侧的电场强度为零

28、，在两平面之间的电场强度大小为其方向由带正电平面指向带负电平面。题图 10.10 【10.10】设匀强电场的电场强度与半径为R的半球面的轴平行，求通过此半球面的电场强度通量。解：作半径为R的大圆平面与半球面S一起构成闭合曲面，由于闭合曲面内无电荷，由高斯定理，有 所以，通过半球面S的电场强度通量为 【10.11】 两个带有等量异号的无限长同轴圆柱面，半径分别为和（），单位长度上的带电量为，求离轴线为r处的电场强度： ； ； 。题图 10.11解： 作高为的同轴圆柱面（如题图10.11）为高斯面。由于两带电圆柱面的电场为柱对称，所以，通过此高斯面的电场强度通量为其中第一、第三项积分分别为通过圆柱

29、面上、下底面的电场强度通量。由于垂直于轴线，故在底平面内，第一、第三项的积分均为零。第二项积分为根据高斯定理，有 所以 同理时，有 即 所以 时，有 所以 由上述结果可知，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面所形成的电场只存在于两柱面之间。 【10.13】两个均匀带电的金属同心球面，半径分别为0.10 m和0.30 m，小球面带电1.0´10-8 C，大球面带电1.5´10-8 C 。求离球心为 0.05 m； 0.20 m； 0.50 m处的电场强度。解：由于电荷在球面上对称分布，所以两球面电荷的电场也具有球对称性，场强方向沿径向向外。 以球心O为中心，m为半径作一同心

30、球面，并以此为高斯面，其内部电量为零，面上各点的场强大小均相同。由高斯定理有 同理以为半径作高斯面，面内包含小带电球面上的所有电荷。由高斯定理有 同理，可以得到点C处的电场强度大小为 【10.16】两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+s 和-2s，求图示中3个区域的场强。题图10.16解：由电荷面密度为的无限大均匀带电平面的场强公式，左极板在空间产生的场强为，其方向为：在该极板左边，方向水平向左；在该极板右边，方向水平向右。同理可得，右极板在空间产生的场强为，其方向为：在该极板左边，方向水平向右；在该极板左边，方向水平向左。因此，根据场强迭加原理，可得上图中各个区域中的场强分别为：

31、4.电势的概念，用电势的定义及电势叠加原理求带电体的电势分布。 公式 点电荷的电势分布： 由电势叠加原理求点电荷系的电势分布： 视为点电荷的的电势分布： 由电势叠加原理求连续带电体的电势分布： 由电势的定义求连续带电体的电势分布：，其中需已知或易求积分路径上的的分布。 均匀带电球面的电势分布： 相关例题和作业题 【例10.5.1】求均匀带电球面激发静电场的电势分布。已知球面半径为R，所带电量为Q，如图10.5.3所示。图 10.5.3 均匀带电球面 解：选无限远处，由U的定义式 当P点在带电球面外时（r > R）， 由高斯定理可求得，因为是均匀带电球面，故分布也具有球对称性，取同心球面为

32、高斯面，其半径为r由 得 （r > R） 选半径r为积分路径，取方向与方向相同，则 当P点在带电球面内部时，r < R。由于与为分段连续则 由高斯定理可知 （r < R）若选取无穷远处的电势为零，则由电势的定义得球面内任一点的电势为 （r < R）上述结果表明，均匀带电球面内各点的电势相等，都等于球面上的电势；球面外任意一点的电势与电荷全部集中在球心时的电势一样。电势分布的U-r曲线如图10.5.4所示。图 10.5.4 均匀带电球面的U-r曲线 【例10.5.2】一点电荷的电荷量为，位于（-d，0）处，另一点电荷电荷量为，位于（+d，0）处，设d = 1m，求点P（2

33、，2）处的电势。 图 10.5.5 用电势叠加原理求电势 解： 根据电势叠加原理可知点P处的电势为 其中 ； 建坐标轴如图10.5.5所示其中 m； m将，代入、中得 ；所以点P处的电势为 【例10.5.3】求均匀带电细圆环轴线上一点的电势。已知圆环半径为R，带电量为Q。图 10.5.6 均匀带电细圆环轴线上的电势解：以圆心O为原点，沿圆环轴线建坐标系如图10.5.6所示，均匀带电细圆环的电荷线密度为 在圆环上任取一电荷元 它在点P的电势为 根据电势叠加原理，整个圆环在点P处产生的电势为所有电荷元产生电势的代数和，即 若点P在环心O处，则环心处的电势为 虽然环心处的电场强度为零，但电势不为零。

34、若点P远离环心（x >> R），则点P处的电势为 上式表明，细圆环轴线上远离环心处的电势与电荷全部集中在环心时的电势相同，即细圆环可视为点电荷。 【10.19】 一均匀带电半圆环，半径为R，带电量为Q，求环心处的电势。解：在带电圆环上取一电荷元dq，根据点电荷的电势公式，其在环心处的电势为 然后对整个带电体积分，可得环心处的总电势为 【10.20】 电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的点P的电势（设无穷远处为电势零点）。题解图 10.20解：设坐标原点位于杆中心点O，x轴沿杆的方向，如图所示。细杆的电荷线密度，在x处取电荷元，它在点P产生的电势为整个杆

35、上电荷对点P产生的电势为【10.22】 如题图10.22所示，两个同心球面，半径分别为和，内球面带电，外球面带电，求距球心 ； ； 处一点的电势。题图 10.22解法一：利用场强和电势的积分关系计算。在小球面内、两球面间和大球面外分别以点O为球心做高斯面，应用高斯定理可求得选无穷远处电势为零，由于不同区域电场强度的数值不同，于是有 在区域 在区域 在区域 解法二：利用典型带电体的电势公式直接叠加 我们已知，一均匀带电为Q的球面内任一点的电势就等于球面上的电势，即 球面外任一点的电势，就等于球面上的电量全部集中在球心时，一个点电荷产生的电场在该点的电势，即 由叠加原理：在区域任一点的电势，是两带

36、电球面各自在该点电势的叠加，即 在区域 在区域 5电势差的计算。 公式 相关例题和作业题题图 10.24【10.24】两个很长的同轴圆柱面（，），带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 V。求 圆柱面单位长度上的带电量是多少？ 两圆柱面之间的电场强度？ 解： 两同轴圆柱面可看作无限长的，故两圆柱面间的场强可利用高斯定理求得，有 。根据场强与电势差的积分关系，有则圆柱面单位长度上带电量为 两柱面间的电场强度为6在静电场中移动点电荷，静电场力所做功的计算。 公式 相关例题和作业题【10.17】 如题图10.17所示，AB两点相距2l，是以B为圆心，l为半径的半圆。A点有正电荷，B点有负电荷。求把

37、单位正电荷从O点沿移到D点时电场力对它做的功？ 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远时电场力对它做的功？ 题图10.17解： ， 设无穷远处电势为零，则 第四章 恒定磁场 【教学内容】磁场，磁感强度；毕奥萨伐尔定律；磁场的高斯定理；磁场的安培环路定理。 【教学重点】1.磁感强度的定义；电流元的定义；毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理的应用。2.磁通量的计算；磁场的高斯定理及其反映的磁场性质；磁场的安培环路定理及其应用。 【考核知识点】1.毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理的应用。2.磁通量的计算；磁场的高斯定理及其反映的磁场性质；磁场的安培环路定理及其应用。1.毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理的应

38、用。 公式 无限长载流直导线的磁感强度分布：，方向与I成右手螺旋关系，具有柱对称性。 半无限长载流直导线，距有限端垂直距离为r的点的磁感强度分布：，方向与I成右手螺旋关系。 载流直导线延长线上的点的磁感强度分布： 载流圆弧导线在圆心处的磁感强度分布：，方向与I成右手螺旋关系。 相关例题和作业题 【例12.2.1】一无限长载流直导线被弯成如图12.2.5所示的形状，试计算O点的磁感强度。图12.2.5 用场强叠加原理求磁感应强度解：点O的磁感强度是图12.2.5中的4根载流导线在该点产生的磁感强度的矢量和，即 由于点O在导线1、3的延长线上，因此 导线2为四分之一圆弧，导线4为半无限长载流直导线

39、，由式(12.2.7)可知 方向垂直纸面向外 ¤ 方向垂直纸面向外 ¤所以O点的磁感强度大小为 方向垂直纸面向外。 【12.1】一长直导线被弯成如题图12.1所示的形状，通过的电流为I，半径为R 。求圆心O处的磁感强度的大小和方向。题图 12.1 解：点O处的磁感强度由无限长直线电流和圆电流共同产生。直线电流在点O处的磁感强度大小为，方向垂直于纸面向外¤圆电流在点O处的磁感强度大小为，方向垂直于纸面向里所以，点O处的磁感强度大小为, 方向垂直于纸面向里。【12.4】将一导线弯成如题图12.4所示的形状，求点O处的磁感强度的大小和方向。题图12.4 解：设半径为的弧

40、线电流在点O处产生的磁感强度为大小，半径为的弧线电流在点O处产生的磁感强度大小为，有 两段直线电流在O点处的磁感强度大小均为0。所以，中心O处的磁感强度大小为 【12.8】如题图12.8所示，一宽为b的无限长薄金属板，其电流为I，求在薄板的平面上，距板的一边为r处的点P的磁感强度。题图12.8 解：在薄金属板所在的平面内，以点P为坐标原点O，作Ox轴，如题图12.8(b)所示，现将薄金属板分割成宽度为dx的长直导线，其电流为。该线电流在点P处产生的磁感强度大小为：由于所有线电流在点P处产生的磁场方向均相同，因而点P处的磁感强度的大小为 磁感强度的方向垂直纸面向里。 2.磁通量的计算；磁场的高斯

41、定理。 公式 磁通量的计算公式： 磁场的高斯定理： 相关例题和作业题【例12.3.1】在真空中有一无限长载流直导线，电流为I，其旁有一矩形回路与直导线共面，如图12.3.3（a）所示。求通过该回路所围面积的磁通量。图12.3.3 长直导线边线框内磁通量解：建坐标如图12.3.3（b）所示，离轴x远处取面元，该处方向为，大小为，故过的由此得通过平面S的磁通量 【12.12】两根平行长直导线相距40cm，分别通以20A的电流，求两导线所在平面内，与两导线等距的点A处的磁感强度；通过图中矩形面积的磁通量（a = 10 cm，b = 20 cm，c = 25 cm）。题图12.12解： 根据题意，点A

42、处的磁感强度为两长直载流导线在该点产生的磁感强度的矢量和。应用无限长载流直导线的磁感强度公式可知，二者在点A处产生的磁感强度大小相等，方向相同。所以有 方向垂直于纸面向外 设左、右两导线电流分别为I1、I2，且I1=I2=I，在两导线所在平面内，两导线之间任取一点，设该点到导线的距离为x，两导线在该点处产生的磁感强度、的方向相同（垂直于纸面向外），其大小分别为于是，有由于，通过图中矩形面积的磁通量为 【12.14】在磁感强度为的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，与半球面轴线的夹角为。求通过该半球面的磁通量。 题图12.14解：由磁场的高斯定理，可知穿过半球面的磁感线全部穿过圆面S，因此有：3.

43、磁场的安培环路定理及其应用。 公式 磁场的安培环路定理： 无限长载流直螺线管内的磁感强度分布： ，方向与I成右手螺旋关系，为均匀磁场。 载流螺绕管内的磁感强度分布： ，方向与I成右手螺旋关系，为非均匀磁场。 无限长载流圆柱体/圆柱面/圆柱壳的磁感强度分布求法：取半径为r的线为积分路径L，由安培环路定理得： 无限长载流同轴电缆的磁感强度分布求法：取半径为r的线为积分路径L，由安培环路定理得： 特点：外筒外 相关例题和作业题【例12.4.1】一无限长密绕螺线管，单位长度上有n匝线圈，已知每匝线圈中的电流均为I。求螺线管内、外的磁感强度。图12.4.3长直密绕螺线管的磁感强度分布 解：如图12.4.3所示为无限长直密绕螺线管的剖面图，由式（12.2.9）可知管内中轴线上的磁感强度为，且磁感强度的方向平行于管轴。长直螺线管由于“无限长”对称性，轴线上磁感强度的大小与位置无关，也就是轴线上磁感强度处处相同。再由于螺线管是无限长密绕，管内磁感强度方向必然平行于轴线。为计算管内任一点的磁感强度，通过点做一闭合矩形回路，其中且平行于管轴，且垂直于管轴。因此，沿闭合回路的环流为因为，、与磁感强度方向垂直，点积为零。与磁感强度方向