复变函数工科第八讲续(精)

1、一、复习 1柯西定理 1 柯西定理 定理 3. 1 设/(z)是单连通区域 Q 内的解析函数, 设 C 是。内任一条简单闭曲线，那么 / - 0 百 其中，沿曲线血勺积分是按逆时针方向取的。 设/在单连通区域D内解析， 则对任意 两点知引已卩 积分+cf (z)dz不依赖于连接起点 勺与终点引的曲线，即积分与路径无关。 设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线 cpc2, ,cw是在 C 内部的简单闭曲线 ，它们 互不包含也互不相交，并且以 为边界的区域全含于 0, 如果/( (Z) )在D内解析,贝归 H (1) |/(z)dz = St /(z)dz, C = 1 k (2) 贞 f(z

2、)dz = 0 r=c+c1+c2_+-.cn_ 其中 C 及 f/( (Z) )dz = f(z)dz9 c k = k (2) 贞 /(z)dz = 0. r=c?+c*| +c + *c n 其中 C 及均取逆方向; 意义 1揭示了解析函数的一个性质在一定条件下, 解析函数沿多连通区域边界的积分等于零； 2 复连通区域内的Cauchy定理 复合闭路定理 均取逆方向; 2.提供了一种计算函数沿围线积分的方法.例 3 求个 -dz 工为含。的任一简单闭路， Jr (z-a ) 为整数 解:因为 4 在曲线内部，故可取很小的正数 是圆的圆心，只要在简单闭曲 线内即可.使门七一。|= Q 含在

3、r 内部， 由闭路变形原理, 令 Z=d + Qa 0 0 2n 例 4计算积分巾C为包含圆周|z|=l 在 C 内作两个互不包含也互不相交的圆周 C和 c2, C只包含奇点 z = 0, C2只包含奇点 z = 1, 则 2 +c;+c;构成复围线 根据复合闭路定理, 注仁此法也称“挖奇点” 47CZ 注 2 右。较复杂的函数积分通过分解化 为较简单的函数的积分来计算。 丿 9 J Cauchy 重要 重要 Cauchy | |定理定理 公式公式 公式公式 定理定理 在内的任何正向简单闭曲线 解因为 内有两 依题意知，（也坛含这两个奇点 挖奇点法 y .f 3 1 3z 1 3 1 则 f

4、dz = f dz + f dz c Z - Z C| Z - Z 5 z - z 新课 2 Cauchy公式解：函数二-有两个奇点: 3 乙一 1 2 dz 27ri + 2x0 + 0 + 2x 2Tri = 6Tri f 1 dz + 中dz + 2 比z 例计算J lzl=5 z = 0 及 z = l作 C：|zl =与 C:|z-l| 4 - 一、问题的提出 设/( (Z) )在以圆C : z ：lz-Zo l=A.p0 G (0, + oo)为边界的闭圆盘上解析. 由柯西定理知f(Z)dz = 0. f(7) 但函数丄 j 在 s 处不解析.所以在D内沿围绕2。的一条封闭曲线C的

5、积分 血上U股不为零，那它又为多少呢？ z 一 zo 根据闭路变形定理，这个积分沿着任何一条围绕 5 的简单闭曲线都是相同的， 我们取以“为中心，半径为5的很小的圆周|z-z( (1| = (/( (Z。)，猜想： 血空2血二血仪丄毗=2巩门3. 定理 41 设函数/(z)在简单闭曲线C所围成的区域 D 内解析，在D = DJC上连续，为 D内任意一点，则 当 z- Zn 6 时,f(z)- f(zo)0, 证毕 设以为中心，半径为R (R V 3)的正向圆周K : 2-z0|= R全在c的内部， =2耐(Z0) )+ fA 上不等式表明，只要 F 足够小，左端积分的模就可以任 意小. # s

6、in z 业=2 sin z z=o 积分公式的说明: (1)把函数在 C 内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征) (2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一 种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 如果C是圆周 z = z0 + Z? 心沪剧(益 例 1 求下列积分 s f sin z 解 fdz Iz|=4 Z 因为/(z) = sin Z 在复平面内解析 z = o 位于|z| 4 内，由 Cauchy 积分公式 (1) f |z|=4 sin z dz; z

7、 (2)乙卜 柯西积分公式 关于柯 (2) C (亠+dz 止 2 + 1 Z-3 丿 = f - dz + f - dz = 2ni 1 + 2 兀 2 4 + 1 廿-3 =6ni. 例 2 计算积分 f 丄 dz 解/( (2) )=訂在复平面内解析，Z=1 位于z2内, 由 Cauchy 积分公式 P - dz = 2ni - = 2eiti. J 7 _ 1 Z=l H=2Z 1 f - 2 - dz IT _ - - kz + i) ) z(z + )(z-i) Z=J z I 因为/(z) z-i /7z) = 它的死阶导数为: /(Z + Az)= 因为/(z)在c上解析.所以

8、C上连续，故在C上有界, 因此一定存在一个M0使f(z)M. 并且取|x|适审小，使满足|AZ| d, 1 2 - I-Z-Azl d 所以|l|0时，ITO,从而有 要完成定理的证明，只需应用数学归纳法，设n = m公式成 证明71 =左+ 1时也成立,即证明卜式: 说明：(1)此公式可理解为把柯西公式/(亠瞩半 2TTI 3c 歹一 z 两边对Z求阶导，右边在积分号内求导.即 2( (G ( -Z) )2( 那么有上- z 空至叟了解析函数仍是解析函数 严 U + 2)-严() Az (k + 1)! 当Az T 0时， 有广化) (上 + 1)! 2ni /) 广(z) = /) (z)

9、E 定理表明/(Z)在 Z 平面上 0 内解析= /(z)在。 内 具有各阶导数，即在 D 内解析-无穷次可导 一个解析函数的导数仍为解析函数。 f ( 7、 Q 177 用途：可计算积分 f 八丿 严=/(小(勺) 不在于通过积分来求导，而在于通过求导来 求积分. 01 计算下列积分，其中 C 为正向圆周 COS 7CZ 叫宀！严 dz COC 7T 7 函数在 C 内“I 处不解析， 但COS 7CZ在C内处处解析， COS 7CZ 7卍 根据公式 (cos 7CZ) ) 2ni (5-1)! z= 5 7C I 12 (2)函数在 C 内的处不解析， 在 C 内以为中心作一个正向圆周 C

10、” 以-，为中心作一个正向圆周 c2y 则函数冇严由2 围成的区域内解析 ,根据复合闭路定理， 上(宀1严 t ft L (z2 + l)2dZ + 2 (z2 + 1)2 X 2ni r ez I -(2-l)!|_(z + Z)2 (i-i)e z z 4丿 例 2 求积分丄和眩丁吐 解 （1）函数 Z + 1 在复平面内解析， Z。= 一 1 在 |z| 2 内，n = 3, 根据公式严乜）=总.母 3 Z + 1 ( (Z + 1)4 函数产产cos Z在复平面内解析， Z。= 0 在 z| 1 内，n =1, C ez cos Z 2冗冗i _z 、， - ； - dz = - (e

11、 cos z) J 异 1 f z=o =2nie cos z ez sin z = 一 2 兀匚Z=o =2 ； 仮 IJ5 设函数/(z)在单连通域 内连续，且对于 B内任何一条简单闭曲线 C都有 f/(z)dz = 0 参照木章第四节定理二，可证明 F(Z) )= /( (Z) ), 所以 F(z)是 B 内一个解析函数 ， 因为解析函数的导数仍为解析函数, 故/( (Z) )为解析函数 证明/(z)在B内解析 证在B内取定一点 依题意可知 / )d的值与连接 定义了一个单值函数 ( (Morera 定理) Z。，Z 为内任意一点， z 和 z 的路线无关， 思考题 解析函数的髙阶导数公式说明解析函数的导 数与实函数的导数有何不同？ 高阶导数公式说明，函数/（Z）只要在闭区域 G中处处可微，它就一定无限次可微 ，并且它的各 阶导数均为闭区域 歹上的解析函数 这一点与实变量函数有本质的区别. 五、总结 1.柯西积分公式是复积分计算中的重要公式，它 的证明基于柯西基本定理，它的重要性在于:一个 解析函