复数复习与小结（课堂PPT）

1、.1数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 复复 习习 课课.2虚数的引入复 数复数的表示复数的运算代数表示几何表示代数运算几何意义知识体系一、本章知识结构一、本章知识结构.3二、二、标准标准与与大纲大纲的比较的比较 （1 1）删去了复数的三角形式，以及三角形式的运算等内容。）删去了复数的三角形式，以及三角形式的运算等内容。（2 2）突出了数系的扩充过程，复数的代数表示法及代数形）突出了数系的扩充过程，复数的代数表示法及代数形 式的加减运算的几何意义。式的加减运算的几何意义。（3 3）人教）人教A A版教材弱化了：版教材弱化了： i i的正整数次幂的周期性（隐含于本章复习参考题的正整数次

2、幂的周期性（隐含于本章复习参考题B B组组 第第2 2题中）题中） 共轭复数的概念（在共轭复数的概念（在3.2.23.2.2例例3 3（1 1）中给出）中给出） 关于复数的模的几何意义（隐含于关于复数的模的几何意义（隐含于3.1.23.1.2练习练习4 4中）中） 实系数一元二次方程求解（见习题实系数一元二次方程求解（见习题3.2 A3.2 A组第组第6 6题）题） 删减的内容不必再补。那些弱化的部分，建议也只是删减的内容不必再补。那些弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解。在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解。.4三、学习目标三、学习目标1、在问题情境中了解熟悉的扩充

3、过程，体会实际需、在问题情境中了解熟悉的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及属于现实世界的联系类理性思维的作用以及属于现实世界的联系.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3、了解复数的代数表示法及其几何意义、了解复数的代数表示法及其几何意义.4、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的集合意义形式的加、减运算的集合意义.四、重点和难点四、重点和难点重点重点: :复数的概念（代数形式、向量表

4、示）以及代数复数的概念（代数形式、向量表示）以及代数形式的加、减、乘、除的运算法则，加减的几何意义形式的加、减、乘、除的运算法则，加减的几何意义. .难点难点: :复数相等的条件、向量表示，减法、除法的运复数相等的条件、向量表示，减法、除法的运算法则算法则. .5复习过程数系的扩充复数的四则运算复数的几何意义.6 （1）； （2） i 形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做，一般用字母一般用字母 表示表示 .1.1.复数的概念：复数的概念：.7通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 称为称为虚

5、数单位虚数单位。i00 ba，非纯虚数00 ba，纯虚数 0b虚数 0b实数)00(0ba，)00(0ba，实数非( ,)zabia bR复数3.3.复数的分类：复数的分类：N Z Q R C.8 4. 4.规定：规定：,Rdcba 若dicbia dbca注：注：1)000abiab且2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小了等，而不能比较大小了.9复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴

6、轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi一：复数的几何意义（一）结论：实轴上的点都表示实数；虚轴上点除原点外都表示纯虚数。.10复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi我们常把复数我们常把复数z=a+bi说成点说成点Z或说成向量或说成向量规定：相等的规定：相等的向量表示同一向量表示同一个复数个复数OZ .11xOz=a+biyZ (a,b)22ba 对应平面向量对应平面向量 的模的模|

7、 |，即，即复数复数 z=z=a+ +bi i在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的到原点的距离。距离。OZ OZ | z | = | |OZ 三：复数模的几何意义：三：复数模的几何意义：复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广.12？设设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、dR)是任意两是任意两个复数，那么它们的和个复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)= （1）复数的加法运算法则是一种规定。当复数的加法运算法则是一种规定。当b=0b=0，d=0d=0时与实数加法法则保持一致时与实数加法法则保持一致（2 2）很明显，两个复数的和

8、仍然是一个）很明显，两个复数的和仍然是一个 。 对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。1、复数的加法法则：、复数的加法法则：(a+c)+(b+d)i复数即实部与实部即实部与实部 虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加 (3) (3)实数加法运算的交换律、结合律在复数实数加法运算的交换律、结合律在复数集集C C中依然成立。中依然成立。.13),(2dcZ),(1baZZyxO 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= 向量向量 就是与复数就是

9、与复数 OZ () ()a cb d i+对应的向量对应的向量.探究？探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？12( , )( , )(,)OZOZOZa bc dac bd=+=+=+ 复数的加法可按照向量的加法来进行，这就复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是是复数加法的几何意义复数加法的几何意义.14思考？思考？复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法规定是加法的逆运算

10、，即把满足复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数的复数x+yi 叫做复数叫做复数a+bi减去复数减去复数c+di的的差差，记作，记作 （a+bi） （c+di）请同学们推导复数的减法法则。请同学们推导复数的减法法则。 深入探究深入探究事实上，由复数相等的定义，有：事实上，由复数相等的定义，有：c+x=a， d+y=b由此，得由此，得 x=a c， y=b d所以所以 x+yi=(a c)+(b d)i即：即：（a+bi） （c+di）= (a c)+(b d)i点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数

11、的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。 两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，即即()()()()abicdiacbd i+-+=-+-2、复数的减法、复数的减法.15xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量符合向量减法的三减法的三角形法则角形法则.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?表示复平面上两点表示复平面上两点Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距离的距离类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？类比复数加法的几何意义，请指出

12、复数减法的几何意义？复数减法的几何意义复数减法的几何意义：1221OZOZZ Z-= .161.1.复数的乘法法则：复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcad i（说明说明:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数； (2) (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在，只是在运算过程中把运算过程中把 换成换成1 1，然后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并. .i2(3)(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何即对于任何z1 , z2 ,z3 C,有

13、有,()(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi.17 2、定义、定义:实部相等实部相等, ,虚部互为相反数虚部互为相反数的的两个复数叫做互为两个复数叫做互为共轭复数共轭复数. .思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么复数复数 z= =a+ +bi 的共轭复数记作的共轭复数记作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不难证明另外不难证明:2a2biz z22ab | |ZZZZ.183.3.复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成

14、分式的形式, ,再把分子与分母都再把分子与分母都乘以分母的共轭复数乘以分母的共轭复数, ,化简后写成代数形式化简后写成代数形式( (分母分母实数化实数化).).即即分母实数化分母实数化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd 复数代数形式的除法实质：复数代数形式的除法实质：分母实数化分母实数化.19如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到事实上可以把它推广到nZ.）设设 ,则有则有:i2321 . 01 ; 12_23 事实

15、上事实上, 与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式._ _ .11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii 4、一些常用的计算结果、一些常用的计算结果.201复数的有关概念复数的有关概念 .21 复数复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数由两部分组成，实数a与与b分别称为复数分别称为复数a+bi的的实部实部与与虚部虚部。 当当b=0时时，a+bi就是就是实数实数， 当当b0时时，a+bi是虚数虚数，其中其中a=0且且b0时时称为称为纯虚数。纯虚数。 背景知识背景知识 .22问题问题2 2 设设x x，yRyR，并且

16、，并且 (2x(2x1)+xi=y1)+xi=y(3(3y)iy)i，求，求x x，y y。解题总结：解题总结：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题一种重要的数学思想一种重要的数学思想转化思想转化思想.23变式练习变式练习 1.1.若方程若方程 +(m+2i)x+(2+mi)=0 +(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数至少有一个实数根，试求实数m m的的值值. .2x 2.2.已知不等式已知不等式 -( -3m)i-( -3m)i 10+( -4m+3)i,10+( -4m+3)i,试求实数试求实数m m的的值值. .2m2m2m误点

17、警示误点警示：虚数不能比较大小！虚数不能比较大小！.242.2.复数的代数运算复数的代数运算 问题问题3 3 复数复数 等于（等于（ ） A. A. B. B. C. C. D. D.45(22 )(13 )ii13i13i 13i 13i.25方法点拨方法点拨在掌握复数运算法则的在掌握复数运算法则的基础上注意以下几点基础上注意以下几点 1. 的周期性的周期性ni 2. 211(1)211iiiiiiii 3. 3221,101322i .26高考链接高考链接 1 1(06(06年陕西卷年陕西卷) )复数复数 等等于于 A.1A.1i B.1+i i B.1+i C. C.1+ i D.1+

18、i D.1 1i i2(1)1ii 2. (052. (05年重庆卷年重庆卷) ) A A B B C C D D20051()1iiii2005220052.27 问题问题4 4 设设z z为虚数，且满足为虚数，且满足 求求|z|z|。9zRz 解法解法1 1 设设 z=a+bi (a,bRz=a+bi (a,bR且且 b0)b0)，99zzabiabi.28229()a bia biab 9zR,z222299() ()ababiabab 2290bbabb0,又229 0ab 229ab即|z| 3.29 解法解法2 2 9zRz99zzzz99zzzz()(9)0zz zzzz2|9z

19、| 3z .30解题总结解题总结 解法解法1 1入手容易、思路清楚，是我入手容易、思路清楚，是我们处理这类问题的常规方法，必们处理这类问题的常规方法，必须熟练掌握。须熟练掌握。 解法解法2 2着眼于整体处理，巧用共轭着眼于整体处理，巧用共轭复数的性质，对解题方法技巧有复数的性质，对解题方法技巧有较高的要求。较高的要求。.31方法与技巧方法与技巧共轭复数的性质共轭复数的性质1212,zzzz1212,zzzz1122();zzzz;zRzz0;zz0z 时，时，z是纯虚数是纯虚数 22|.| zzz z.32问题问题5 5 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2

20、 2+m-+m-2)i2)i在复平面内所对应的点位于第二在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数象限，求实数m m的取值范围。的取值范围。 020622mmmm解：由1223mmm或得( 3, 2)(1,2)m 3、复数的几何意义、复数的几何意义.33复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）复平面复平面一一对应一一对应yxobaZ(a,b)z=a+bi背景知识背景知识.34 复数复数z=a+biz=a+bi 点点Z(a,bZ(a,b） 向量向量OZ .35CxyB 0A问题问题6 6

21、如图，已知复平面内一个平如图，已知复平面内一个平行四边形的三个顶点行四边形的三个顶点O,A,BO,A,B对应的对应的复数分别是复数分别是0, 5+20, 5+2i i , -3+, -3+i i ，求求第四个顶点第四个顶点C C对应的复数对应的复数. .OCOAOB 解法解法1向量法向量法解法解法2几何法几何法平行四边形对角线互相平分平行四边形对角线互相平分.36知识拓展知识拓展xy oZ2Z1Z121212zzzzzz2222121212|2()zzzzzz不不等等相相等等.37 如果复数如果复数z z满足满足|z+i|+|z|z+i|+|zi|=2i|=2，那么那么|z+i+1|z+i+1|的最小值是（的最小值是（ ） A.1 B. A.1 B. C.2 C.2 D.D.25问题问题7xyo思想方法思想方法数形结合数形结合.38方法与技巧方法与技巧 掌握一些