苏科版八年级数学上册全等三角形与轴对称图形的综合应用提高练习(含答案解析)

1、全等三角形与轴对称图形的综合应用提高练习1 .如图,AABC中，乙BAC二4ADBBE平分/ABC交AD于点EJH为BC上一点，且BH=BA交 AC于点F,连接FH.(1)求证:AE= FH;(2)作EGBC交AC于点G若AG=5, AC=8,求FG的长.2 .如图，在等边AABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边aCDE,连结BE.(1)填空：乙 ACB二；乙 CAM 二；(2)求证:AACDABEC ；(3)延长BE交射线AM于点F,请把图形补充完整，并求乙BFM的度数；(4)当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F.

2、4BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，并直接写出/BFM的度数；若变 化，请写出变化规律.3 .如图，乙BAD二4CAE二90°, AB=AD, AE=AC, AF1CB,垂足为 F .(1)求证：ZABC二 ZiADE；(2)求心FAE的度数；求证:CD=2BF+DE .4 .在aABO 中 NHOB = 90。，AO=BO,直线 MN 经过点 O, 且 AC_L MN 于 C, BD，MN于D(1)当直线MN绕点O旋转到图的位置时，求证：CD=AC+BD ；(2)当直线MN绕点。旋转到图的位置时，求证：CD=AC-BD；(3)当直线MN绕点。旋转到图的位置时

3、，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请 写出这个等量关系，并加以证明。5 .综合题。(1)问题发现：如图1, 4ACB和4DCE均为等边三角形，点A, D, E在同一直线上，连 接BE.乙AEB的度数为猜想线段AD. BE之间的数量关系为：,并证明你的猜想.(2)拓展探究：如图2, ZVXCB和4DCE均为等腰直角三角形，4ACB二乙DCE二90°,点A, D, E在同一直线上，CM为4DCE中DE边上的高，连接BE,请求出乙AEB的度数及线段 CM, AE, BE之间的数量关系.6 .如图，4ACB和4ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.（1）求证：AD

4、=BE；（2）求乙AEB的度数.7 .如图点P、Q分别是边长为4cm的等边AABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是lcm/s.（1）连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中，NCMQ变化吗？若变化，则说明 理由，若不变，则求出它的度数；（2）当t=s时，ZPBQ是直角三角形？（3）如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线RQ、CP交 点为则NCXQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.如图，在aABC中，若AB=5, AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=

5、AD,再连接BE(或将 ACD绕着 点D逆时针旋转180。得到aEBD),把AB, AC, 2AD集中在aABE中，利用三角形三 边的关系即可判断,中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图，在ABC中,D是BC边上的中点,DE_LDF于点D、DE交AB于 点EJDF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CFAEF：问题拓展:如图，在四边形ABCD中,NB+ND=180o.CB=CD.以C为顶点作NECE使 得角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF,且EF=BE+DF,试探索NECF与NA 之间的数量关系,并加以证明.参考答案1 .【答案】 解： BE平分/ABC.2.ABF 二4 CB

6、F 又乙 BAC 二4 ADBA ZAFE=ZEDB=ZAEFAAE=AFAB = DH 在AABF 和4ABF 中 ZABF = NHBFBF = BF所以ABF/ABFAF 二 FHAE=FH(2)解：由得ABF/ZABF乙 AFE 二4 EDB二 4AEF 二乙 BFHADFH/. ZFHC=ZADC EG/BC 乙AEG二乙ADC ,乙FHC二4AEG ； /AGE二乙CZAGE= ZCZAEG= ZFHCAE = FH /.AEGAFHCFC二AG二5AC 二 8 FG=22 .【答案】(1) 60°； 30°乙 ACB 二4 DCE=60°,(2)证明

7、:ABC与ADEC都是等边三角形,二.AC=BC, CD=CE, 乙 ACD+4 DCB二乙 DCB +乙 BCE, ZACD=ZBCE.在aADC和aBEC中，AC = BCZACD = NBCE ,CD = CE/.ACDABCE(SAS);(3)补全图形如下：由(1) (2)得乙CAM=30°, AADCABEC,4CBE = 4 cAM = 30°,vZBMF=90°,A ZBFM=60° ；(4)当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下： AABC与4DEC都是等边三角形，AC=BC, CD=CE,乙ACB 二乙 DCE=600,4A

8、CB+乙DCB二4DCB +乙DCE,.乙 ACD 二4 BCE,在4ACD和4BCE中，AC = BCZACD = NBCE , CD = CE.-.ACDABCE(SAS), a ZCBE=ZCAD=30°, XvAFIBC,Rt2BFM 中，BFM=90°-30°=60°o3.【答案】(1)证明：.Z.BAD , CAE=90°, 乙 BAC+乙 CAD = 90°,乙 CAD+4 DAE=90。， 乙BAC二乙DAE,在aBAC和4DAE中，AB =ADABAC = ZDAE , AC = AE/.BACADAE (SAS)(

9、2)解:2CAE=90。, AC=AE,.4 E=45°,由知BAC/ZiDAE, 二乙 BCA 二乙 E=45°,vAFIBC,. ZCFA=9O°,a 乙 CAF=45°, ,乙 FAE二4 FAC+乙 CAE=45。+90°=1350(3)证明：延长BF到G,使得FG二FB,c/AF1BG, 4AFG 二乙 AFB 二 90°,在4AFB和4AFG中,BF = GF(ZAFB = ZAFG , AF =AF.-.AFBAAFG (SAS),.AB二AG,4ABF二乙G,/bacadae, AB二AD,乙CBA二4EDA, CB=

10、ED, AAG=AD, ZABF=ZCDA, ZG=ZCDA,/ZGCA=ZDCA=45°, 在4CGA和4CDA中，/GCA = NDCA(ZCGA = ZCDA AG = AD/.CGAACDA (AAS) CG=CD： CG = CB + BF+FG = CB+2BF = DE+2BF, ,CD=2BF+DE .4.【答案】(1)解:如图,图AOB 中，ZAOB=90°,/. ZAOC+zLBOD=90°,直线MN经过点O,且AC«LMN于C, BD_LMN于D, /. ZACO=ZBDO=90° 4AOC+乙 OAC = 90°

11、;,/. ZOAC=ZBOD,在aACO和ODB中， NACO = NODB = 90° ZOAC =4 BODAO = OB /.ACOAODB (AAS), AOC=BD. AC=OD, CD = AC+BD(2)解：如图， AOB 中，ZAOB=90°,A ZAOC+ZBOD=90°,直线MN经过点O,且AC_LMN于C, BD_LMN于D, /. ZACO=ZBDO=90°4 AOC+乙 OAC 二 90。， 乙OAC二4BOD,在ACO和aODB中，ZACO = NODB = 90° ZOAC= ZBOD ， AO = OB.,.AC

12、OAODB (aas),AOC=BD, AC=OD,aCD = OD-OC=AC-BD,即 CD二AC-BD(3)解：如图，8AOB 中，ZAOB=90°,AZAOC+ZBOD=90°,直线MN经过点O,且AC_LMN于C, BD_LMN于D, /. ZACO=ZBDO=90° 乙 AOC+乙 OAC = 90°,.乙 o AC 二4 BOD, 在ACO和ODB中，NACO = NODB = 90° ZOAC=4BOD，AO = OB.,.ACOAODB (aas),J.OC=BD, AC=OD,J CD = OC-OD = BD-AC, 即

13、CD 二 BD-AC.5.【答案】解： ACB和aDCE均为等边三角形,a CA=CB, CD=CE,乙ACB二乙DCE=60°,a ZACB -乙 DCB = 4DCE- ZDCB,即4 A8 二乙 BCE, 在4ACD和4BCE中，CA = CB (ZACD = NBCE , CD = CE /.ACDABCE, a ZCEB=ZCDA=120°, 乙 AEB=60°,故答案为:60° ；AD二BE, 证明：ACD/ZBCE,AD=BE,故答案为：AD=BE；(2)解：ZAEB=90°, AE-BE=2CM, 证明：DCE是等腰直角三角形，

14、CM是中线，二.CM二DM二EM= DE,在4ACD和4BCE中，CA = CB乙4CD = /BCE , CD = CE.,.ACDABCE,乙 CDA 二4 CEB,v 乙 CDA=135。，a ZAEB=135°-45°=90°, BE = AD,AE-AD=DE二2CM,AE-BE=2cM .6.【答案】（1）证明：,ACB和4ECD都是等边三角形,乙 DCB,二AC二BC, CD=CE,乙ACB二乙DCE=60°, XvZACD=ZACB- ZDCB,乙BCE二乙DCE- 4ACD二4BCE,AC = BC在4ACD 和4BCE 中，NHCD

15、= NBCECD = CE.,.ACDABCE (SAS). AD二BE(2)解：在等边aECD中，乙 CDE 二4 CED = 60°, zLADC=120°,vAACDABCE,J4 BEC 二4 ADC = 1200, 4AEB二4 BEC -乙 CED = 1200-60°=60° .7,解:(1) ZCMQ=60° 等边三角形中，AB=AC, ZB=ZCAP=60°又由条件得AP二BQ,AAABQACAP (SAS),A NBAQ二NACP,，ZCMQ=ZACP+ZCAM= ZBAQ+ZCAM=ZBAC=60'4(2

16、) 3秒或 秒(3) ZCMQ=120°:在等边三角形中,AB=AC, ZB=ZCAP=60° , .ZPBC=ZACQ=120Q , 又由条件得BP二CQ, AAPBCAACQ (SAS), ，NBPC= NMQC, 又NPCB =/MCQ,AZCMQ=ZPBC=180° -60° 二 1200 8.【详解】（1）延长AD到E,使AD=DE,连接BE,TAD是回（：的中线，BD=CD,在4ADC与4EDB中，AD = EDZADC = ZEDB,CD = BDAAADCAEDB （SAS）,，EB=AC,VAB=5, AC=3,根据三角形的三边关系得：

17、AB-AC<AE<AC+AB,，2<AE<8,VAE=2ADA1<AD<4,即：BC边上的中线AD的取值范围1<ADV4,故答案为1<AD<4：（2）过点B作BGAC交FD的延长线于G,连接EG.ZDBG=ZDCF.D为BC的中点, ，BD=CD,XVZBDG=ZCDF, AABGDACFD (ASA). ，GD=FD, BG=CF,又DEJ_DF,，EG=EF (垂直平分线到线段端点的距离相等).，在 AEBG 中,BEBG>EG,即 BE+CF>EF：(3) CA+2ZECF=180°,理由如下：延长EB到G,使BG=DF,连接CG,VZD+ZABC=180% ZA