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1、宏观的变量与微观的对应初、高中两种函数定义的比较初中的函数定义是朴素的、宏观的,它告诉我们,世界上万物 都在运动着,而且相互关联着。从某个数量的变化上看运动,便成为 一个变量,而变量之间的关联,正是函数关系。到了高中,函数的定 义是静态的、微观的。这吋的函数,着重在一个集合的每一个元素到 另一个集合中惟一确定元素之间的对应关系。初中的函数概念比较宏观,重点是解决两个变量之间的依存关 系。定义屮有自变量、因变量的区分,显然是动态的定义。正如恩格 斯在评价笛卡儿的工作时说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有 了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学。因而微分 和积分的运算也就立刻成为必要
2、的了”。高中的函数定义,则开始向静态转换。函数作为集合之间映射 的特例,归结为“一种对应关系”,自变量、因变量统统不见了。高 中函数的定义,实际上是一种微观的考察,对初中那个定义进行了抽 象化,精确化的处理。动态的描述体现一种文化内涵,粗略、生动、原始的思想,构 成宏观的观念。静态的表述,则进行形式化和精确化。所以初中、高 屮的函数定义各有其内涵,二者互为表里、和得益彰,却并无高低z 分。这里可以再次运用王国维的“出入观”进行分析。可以说,宏 观的函数定义相当于“出外”观之,微观的函数定义,则是入内写之, 各有千秋。现在,有一种贬低初中的动态定义的倾向,以为只有集合对应 下的函数概念是现代的、
3、正确的。这种看法是片面的。打个比方,红 楼梦里的林黛玉和薛宝钗,都是活生生的典型人物,无所谓哪个好, 哪个坏。各有各的特点,各有各的风韵。学会兼容并包地欣赏,才能 把握函数概念的精髓。如呆我们要考察函数的变化趋势,那么我们多从宏观的角度进 行考察。一次函数表示直线,二次函数的图像是抛物线,三角函数是 周期变化的,指数函数则是急剧式的变化,人称“指数爆炸”。至于 对数函数,则是缓慢上升的例子,比y=x的直线还慢这里,我们无需” 对应"关系来帮忙,只需宏观地观察数量的动态变化趋势就行了.但是,科学研究除了耍宏观地考察之外,还要深入地、精细地观察 每一个细节,微观地考察事物。止如物理学既要
4、考察天体的宏观运动, 也要考察原子内部的电子结构一样。高中的函数概念,更注意每一个 自变量x和因变量y之间的对应关系以分段函数为例,我们不仅看它 的般变化趋势,还特别关注端点处所对应的函数值,例如取值为1的 一段,是否包括左端点或右端点?这就是比较微观的细究了.著名的狄利克雷函数是指:定义在0,1上的如下函数:f(x) = 0(x是无理数)或1 (x是有理数) 这样的函数,只靠宏观描述难以奏效,只有微观地静态描述才显示出数 学的精确性.宏观与微观,实际上是人们常常运用的视角管理工厂,既要观察 未来市场发展的大局,又要考虑每一道工序的微小细节在艺术上,既 要有宏观的高超意境,还必须注意具体的细节处理绘画上有泼墨画, 讲究的是整体的宏观意境,而工笔画则是微细的笔墨刻画,连花鸟上的 叶脉
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