矩阵练习带答案

1、矩阵练习（带答案）、填空题:1若A , B为同阶方阵，则(A B)(A B) A2 B2的充分必 要条件是 AB BA 。2.若n阶方阵A ,B ,C满足ABC 1,1为n阶单位矩阵， 贝 V C 1 = AB 。3.设A , B都是n阶可逆矩阵，若C A B ,则C 1 =0 A 1B 10。4.设 A = 21 11 ,则A111。125.设 a J 11 1d ,11 1 ?1 B12 3 则 A 2B2 4 八337013 71 0 0 1 0 06.设 A 0 2 0 ，贝V A 1 =0丄00 0310 037 设矩阵A 2 -11，B o 0，AT为A的转置，则2 2ATB =2

2、06 11 2 08. A 3 1 2 , B为秩等于2的三阶方阵，贝V AB的秩等于二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设A、B均为n阶方阵，则（AB）k AkBk （ k为正整数）。 （ X ）2. 设A,B,C为n阶方阵，若ABC I ,则C 1 B 1A 1。 （ X ）3. 设A、B为n阶方阵，若AB不可逆，则A,B都不可逆。（X ）4. 设A B为n阶方阵，且AB 0，其中A 0，则B 0。 （X）5. 设A、B、C都是n阶矩阵，且AB I,CA I ,则B C。 （V）6. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB AC , 则B也是n阶对角矩阵。（ X ）7. 两个矩阵A与

3、B，如果秩（A）等于秩（B ）,那么A与B等价。（X ）8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵at的秩相的:秩等于(B)(A) 1(B) 2(C) 3(D)42.假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下7(C)(A)ABCA(BC)(B) kAB A(kB)(C)AB B,A(D) C(A B) CA CB3.已知AB为5阶方阵,则下列性质不正确的是(A)(A)ABBA(B)(AB)C A( BC)(C)(A E3)C AC BC(D)C(A B) CA CB4.设PAQ1，其中P、Q、A都是n阶方阵，则(D)(A)A11 1P 1Q 1(B)A1 Q1P1(C)A 1PQ(D) A1 QP5.设n

4、阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即AB BA，那么A必定是(B)=r=r述哪一3At三、选择题侮小题3分，共12分)1.设A(A)可逆矩阵(B)数量矩阵(C)单位矩阵(D)反对称矩阵6.两个(A)矩阵(C)逆矩阵有矩阵阶初等矩阵的乘积为(C ) 初等矩阵(B)单位可逆矩阵(D)不可7.(A3 2，B23，C33，下列哪一个运算不可行A )(A) AC(C) ABC设A与B为矩阵且AC8.b分别是什么矩阵(D)(A) n(C) n9. 设A为(B )(A)(C)10. A，B 均(B) BC(D) AB C 的矩阵'则A与(B)(D)阶可逆矩阵，A1可逆2A可逆n阶为方阵，则

5、下列不正确的是(B) I a可逆(D) A2可逆 下面等式成立的是(A) AB BA( B) (A B)t At Bt(C)(A B) 1 A 1 B 1( D) (AB) 1 A 1B 111. 设A,B都是n阶矩阵，且AB 0，则下列一定成立 的是(C )(A)A 0 或 B 0( B) A,B 都不可逆(C) A,B中至少有一个不可逆(D)A B 012. 设A,B是两个n阶可逆方阵，则ABT 1等于 (A )(A)at 1bt 1(B)bt 1 at 1(C)B 1 T(a1)t(D) b1T at 113.若a,b都是n阶方阵，且a,b都可逆，则下述错误的是（A)(A)AB也可逆(B

6、) AB也可逆(C)B 1也可逆(D) A 1B 1 也可逆14. A,B为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是(B )(A)AB(B) A B（C） BA（ D） BAB15 .设A,B均为n阶方阵，下列情况下能推出A是 单位矩阵的是（D ）（A） AB B（ B） AB BA（C） AA I（ D） A1 I16.设A,B都是n阶方阵，则下列结论正确的是（D ）（A） 若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称 矩阵（B）若 A 0 且 B 0，则 AB 0（C）若AB是奇异矩阵，则A和B都是奇异矩 阵（D）若AB是可逆矩阵，则A和B都是可逆矩 阵17. 若A与B均为n阶非零矩阵，且AB 0，贝V（A

7、)(A)R(A) n(B)R(A) n(C)R(A) 0(D)R(B) 0四、解答题：11 112 31.给定矩1阵A 213，B 2 2 1 ，求 BTA 及 A 13443 4 3123111495BTA 224213612Q （c Zk8 .（5 分）313344486解:4011 1 1 分）1 0 12.求解矩阵方程1 1 ox0 1 1解：1 0 11 1 0 2 0 0 1 12分3.求解矩阵方程XA B ,1 1 1B 1102 1 1解：因为|A 6 所以A可逆 .（2分11361 11A 1-361133（4分）故1143331 211X BA 1（分）2313133634

8、.求解下面矩阵方程中的矩阵X0 1010 01431 00X 00 12 010 0101 01 20解:01 01 0 0143令A10 0,B0 0 1,C201 ,则A,B均可逆，且00 10 1 012001 0100A 110 0,B1 0010 0 1 0 1 0所以X A 1CB 15.设矩阵A42 3110，求矩阵B，使其满足矩阵方程AB A 2B.1 2 3AB A 2B即(A 2I )B A122314(A2I ) 1110151 2 1 16 3分1所以B (A 2I) 1A1138 6=29621294 3 42 35 3 110641 2 3而33 4五、证明题1.若

9、A是反对称阵，证明A2是对称阵。所以A2为对称证明：因为A是反对称阵，所以AT A （ 3分）(A2)t (AA)t AtAt ( A)( A) A2阵。（5分）2. 设矩阵A,B及A B都可逆，证明A1 B1也可逆。 证明：因为A,B , A B可逆，故A1,B 1 , (A B) 1存在，3分所以有11 1 1 1(A 1 B 1)B A B A (A1B I) B A A(A 1B A 1A) B A 1A1 1A1(B A) B A AA 1A I4分 故 A1 B1可逆，其逆为B A B 1 A 1分3. 已知 A,B 为 n 阶方阵，且 A2 A,B2 B,(A B)2 A B ,证明：AB BA 0证明：(A B)2 A2 B2 AB BA A B 4分所以AB BA 0 4分4. 设A,B为两个n阶方阵，试证明：(A B)(A B) A2 B2的充要条件 是 AB BA。证明：充分性：因为AB BA所以(A B)(A B) A AB BA B2 A B2 4分必要性：因为(A B)(A B) A2 B2 ,即A2 AB BA B2 A2 B2所以