人教版初中数学八年级下册19.3

1、栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案 初中数学（人教版）初中数学（人教版）八年级 下册第十九章一次函数第十九章一次函数栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案知识点知识点 建立函数模型建立函数模型,选择最佳方案选择最佳方案 常见题型用一次函数确定最佳方案的一般步骤一次函数的应用建立一次函数模型可以解决实际问题中的评估、方案、决策等问题(1)从数学的角度分析实际问题,建立数学模型.(2)列出不等式或方程,求出自变量的取值范围或方程的解.(3)结合实际需要,选择最佳方案学法指导利用数学知识经过分析、猜想、判断,选出最佳方案的问题,往往要求所要解决的问题中会出现路程最短、运费最少、效率最高等类似

2、的词语,解题时常常与函数、不等式、方程等知识联系在一起栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案例例服装店准备购进甲、乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元;乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.(1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500元,甲种服装最多购进多少件?(2)在(1)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠a(0a20)元的价格进行优惠促销活动,乙种服装价格不变,那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润?栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析 (1)设购进甲种服装x件,根据题意,得80 x+60(100-x)

3、7 500,解得x75.答:甲种服装最多购进75件.(2)设总利润为w元,甲种服装不少于65件,65x75.则w=(40-a)x+30(100-x)=(10-a)x+3 000.方案:当0a0,w随x的增大而增大,当x=75时,w有最大值,则购进甲种服装75件,乙种服装25件;方案:当a=10时,购进甲种服装数量不影响所获利润;方案:当10a20时,10-a0,w随x的增大而减小,所以当x=65时,w有最大值,则购进甲种服装65件,乙种服装35件.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案例例 (2018天津南开一模)某旅行团计划今年暑假组织老年人团到台湾旅游,预订宾馆时,有住宿条件一样的甲、乙

4、两家宾馆可供选择,其收费标准都为每人每天120元,并且推出各自不同的优惠方案:甲宾馆是35人(含35人)以内的按标准收费,超过35人的,超出部分按九折收费;乙宾馆是45人(含45人)以内的按标准收费,超过45人的,超出部分按八折收费.设老年人团的人数为x.(1)根据题意,用含x的式子填写下表:题型题型 利用函数解决优惠方案问题利用函数解决优惠方案问题 x3535x45甲宾馆收费/元120 x 5 280 乙宾馆收费/元120 x120 x5 400 (2)当x取何值时,旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同?栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析 (1)108x+420;108x+42

5、0;96x+1 080.(2)当x35时,旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同;当3535时,甲宾馆的收费是y甲=35120+0.9120(x-35),即y甲=108x+420,当x45时,乙宾馆的收费是y乙=45120+0.8120(x-45)=96x+1 080,当y甲=y乙时,有108x+420=96x+1 080,解得x=55.综上,当x35或x=55时,旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同.点拨本题考查的是一次函数的应用.(1)根据收费标准得出解析式,化简;(2)分类讨论:不优惠时花费相同;优惠时花费相同,列出一元一次方程求解.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案例例某市20位退

6、休职工在近郊承包50亩土地办农场,使每亩地都种上农作物,20位职工都参与种植,这些地可种蔬菜、棉花或水稻,种这几种农作物每亩地所需职工人数与每亩产值如下表:作物品种每亩所需职工人数每亩预计产值蔬菜1 100元棉花750元水稻600元121314怎样安排能使农作物预计总产值最高?易错点易错点 忽略自变量的取值范围而出错忽略自变量的取值范围而出错栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案正解正解 设种植蔬菜x亩,棉花y亩,水稻z亩,预计总产值为p元,依题意,得x+y+z=20且x+y+z=50.(其中x,y,z0)化简整理,得y=90-3x,z=2x-40,则有p=1 100 x+750y+600z

7、=50 x+43 500.500,p随x的增大而增大.又x,y,z0,即20 x30,因此当x=30时,p取得最大值,最大值为45 000,此时y=0,z=20,所以安排15位职工种30亩蔬菜,5位职工种20亩水稻,可使预计总产值最高,为45 000元.1213149030,2400,0 xxx栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案错解错解 设种植蔬菜、棉花、水稻分别为x亩、y亩、(50-x-y)亩,由题意有x+y+(50-x-y)=20,化简得y=90-3x,再设预计总产值为p元,则p=1 100 x+750(90-3x)+600(50-x-90+3x)=50 x+43 500,当x取最大

8、值50时,p取最大值,为43 500+5050=46 000(元).所以安排20个职工种50亩蔬菜,可使预计总产值最高,为46 000元.错解警示错解警示 根据题意,设三个未知数,列出方程,用含有某一个未知数的式子表示另外两个未知数,以达到消元的目的,从而找出预计总产值(变量)与其中一个未知数(变量)的关系(一次函数关系).在这个过程中,根据x,y,z均大于等于0,列出不等式组,进而确定x的取值范围是20 x30,不要误认为x的取值范围是0 x50.121314栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案“外卖小哥外卖小哥”送餐的收入送餐的收入素养解读素养解读数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数

9、学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论、验证结果并改进模型,最终解决实际问题.目前社会上兴起了一种职业外卖送餐员,送餐的多少直接影响他们的收入,“送单量”与“工资收入”这两个变量之间的具体数量关系如何,我们可以抽象出函数这一数学模型来解答. 栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案典例剖析典例剖析 例例2018年4月,滨州外卖市场竞争激烈,美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加,某公司负责招聘外卖送餐员,每月工资:底薪1 000元,另加外卖送单补贴(送一次外卖称为一单),具体方案如下:每月外卖送单

10、数量补贴(元/单)不超过500单的部分6超过500单但不超过m单的部分(700m900)8超过m单的部分10(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单,求他这个月的工资总额;(2)设这个月“外卖小哥”送餐x单,所得工资为y元,求y与x的函数关系式;(3)若“外卖小哥”本月送餐800单,所得工资6 400y6 500,求m的取值范围.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案分析分析(1)根据题意和表格中的数据可知,每月送餐在500单之内,每单6元,600单超过500单,但是不超过m单,超过500单的部分按照每单8元,基本工资与这两部分相加,即可求得“外卖小哥”4月份送餐600单的工资总额;(2)根

11、据x的取值范围分段求出y与x的函数解析式;(3)根据题意可以列出关于m的不等式,求出m的取值范围.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析 (1)由题意可得,送餐600单的工资总额为1 000+5006+(600-500)8=1 000+3 000+800=4 800(元).(2)由题意可得,当0 x500时,y=1 000+6x,当500m时,y=1 000+5006+(m-500)8+(x-m)10=10 x-2m.综上可得,y=(3)若800y2,他应选择169网.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案3.(2017浙江衢州中考)“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划

12、第二天租用新能源汽车自驾出游.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案图19-3-2根据以上信息,解答下列问题:(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,如图19-3-2所示,分别求出y1,y2关于x的函数关系式;(2)请你帮助小明计算选择哪个租车方案合算.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析(1)由题意可设y1=k1x+80(k10),把点(1,95)代入,可得95=k1+80,解得k1=15,y1=15x+80(x0);设y2=k2x(k20),把(1,30)代入,可得30=k2,即k2=30,y2=30 x(x0).(2)当y1

13、=y2时,即15x+80=30 x,解得x=;当y1y2时,即15x+8030 x,解得x;当y1y2时,即15x+80,若租车时间为小时,选择方案一、方案二一样合算;若租车时间小163163163163于小时,选择方案二合算;若租车时间大于小时,选择方案一合算.163163栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案(2015湖北潜江中考)随着信息技术的快速发展,“互联网+”渗透到我们日常生活中的各个领域,网上在线学习交流已不再是梦.现某教学网站策划了a,b两种上网学习的月收费方式:收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费(元/min)a7250.01bmn0.01栏目索引栏目索引19.3课题

14、学习选择方案设每月上网学习时间为x小时,方案 a,b的收费金额分别为ya元,yb元.(1)如图是yb与 x之间函数关系的图象,请根据图象填空:m= ,n= ;(2)写出ya与 x之间的函数关系式;(3)选择哪种方式上网学习合算?为什么?栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析 (1)10;50.(2)当x25时,ya=7+0.0160(x-25)=0.6x-8,故ya=(3)当ya=10时,0.6x-8=10,解得x=30. 将两图象在同一平面直角坐标系中画出,如图所示.7(025),0.68(25).xxx由图可知:当0 x30时,选择b收费方式合算.栏目索引栏目索引19.3课题学习

15、选择方案(2017湖北仙桃中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称.甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾.“龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,实际付款金额y甲,y乙(单位:元)与原价x(单位:元)之间的函数关系如图19-3-3所示.(1)直接写出y甲,y乙关于x的函数关系式;(2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?图19-3-3栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析 (1)设y甲=kx(k0),把(2 000,1 600)代入,得2 000k=1600,解得k=0.8,所以y甲=0.8x;当0 x2 000时,设y乙=ax(a0),把

16、(2 000,2 000)代入,得2 000a=2 000,解得a=1,所以y乙=x;当x2 000时,设y乙=mx+n(m0),把(2 000,2 000),(4 000,3 400)代入,得解得所以y乙=2 0002 000,4 0003 400,mnmn0.7,600.mn(02 000),0.7600(2 000).xxxx栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案(2)当0 x2 000时,0.8xx,即y甲y乙,故到甲商店购买更省钱.当x2 000时,若到甲商店购买更省钱,则0.8x0.7x+600,解得x0.7x+600,解得x6 000;若到甲、乙两商店购买实际付款金额一样,则0

17、.8x=0.7x+600,解得x=6 000.故当购买金额原价小于6 000元时,到甲商店购买更省钱;当购买金额原价大于6 000元时,到乙商店购买更省钱;当购买金额原价等于6 000元时,到甲、乙两商店购买实际付款金额一样.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案为改善生态环境,防止水土流失,某村计划在江汉堤坡种植白杨树,现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择,其具体销售方案如下:甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1 000棵时4元/棵不超过2 000棵时4元/棵超过1 000棵的部分3.8元/棵超过2 000棵的部分3.6元/棵设该村计划购买白杨树苗x棵,到两家林场购

18、买所需费用分别为y甲(元)、y乙(元).(1)若该村需要购买1 500棵白杨树苗,都在甲林场购买所需费用为 元,都在乙林场购买所需费用为 元;(2)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式;(3)如果你是该村的负责人,你认为到哪家林场购买树苗更合算,为什么?栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析 (1)5 900;6 000.由题意得,y甲=41 000+3.8(1 500-1 000)=5 900元,y乙=41 500=6 000元.(2)当0 x1 000时,y甲=4x,当x1 000时,y甲=4 000+3.8(x-1 000)=3.8x+200,y甲=当0 x2 000时,y乙

19、=4x,当x2 000时,y乙=8 000+3.6(x-2 000)=3.6x+800,y乙=4 (01 000),3.8200(1 000).xxxxxx且 为整数且 为整数4 (02 000),3.6800(2 000).xxxxxx且 为整数且 为整数栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案(3)由题意,得当0 x1000时,两家林场单价一样,到两家林场购买所需的费用一样;当1 000 x2 000时,甲林场有优惠而乙林场无优惠,当1 0002 000时,y甲=3.8x+200,y乙=3.6x+800,当y甲=y乙时,3.8x+200=3.6x+800,解得x=3 000,当x=3 00

20、0时,到两家林场购买所需的费用一样;当y甲y乙时,3.8x+2003.6x+800,x3 000,2 000 xy乙时,3.8x+2003.6x+800,解得x3 000,当x3 000时,到乙林场购买更合算.综上所述,当0 x1 000或x=3 000时,两家林场购买所需费用一样;当1 000 x3 000时,到乙林场购买更合算.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解答题解答题(2018陕西西安莲湖二模,21,)某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按份数收取印刷费外,甲方式还需收取制版费而乙方式不需要.两种印刷方式的费用y1,y2(元)与印刷份数x(份

21、)之间的关系如图19-3-4所示.(8分)图19-3-4栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案(1)甲方式收费的函数表达式是 ,乙方式收费的函数表达式是 ;(2)该校某年级每次需印制320350份学案,选择哪种印刷方式较合算?解析解析(1)y1=0.1x+6;y2=0.12x.设甲种收费方式的函数表达式为y1=k1x+b(k10),乙种收费方式的函数表达式为y2=k2x(k20),把(0,6),(100,16)代入y1=k1x+b,得解得y1=0.1x+6(x0且x为整数),把(100,12)代入y2=k2x,解得k2=0.12,16,10016,bkb10.1,6,kb栏目索引栏目索引19

22、.3课题学习选择方案y2=0.12x(x0且x为整数).(2)由题意,得当y1y2时,有0.1x+60.12x,解得x300;当y1=y2时,有0.1x+6=0.12x,解得x=300;当y1y2时,有0.1x+6300,印制320350份学案时,选择甲方式收费较合算.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案(2017四川内江资中二模,26,)某公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的机械设备,现要将这些设备全部运往a、b两市,其中运往a市18台、运往b市14台,从甲地运往a、b两市的费用分别为800元/台和500元/台,从乙地运往a、b两市的费用分别为700元/台和600元/台.

23、设甲地运往a市的设备有x台.(1)请用含x的代数式分别表示甲地运往b市、乙地运往a市、乙地运往b市的设备台数;(2)求出总运费y(元)与x(台)的函数关系式,并求出自变量的取值范围;(3)要使总运费不高于20 200元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案.哪种方案总运费最小?最小值是多少?栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析(1)甲地运往b市的设备有(17-x)台,乙地运往a市的设备有(18-x)台,乙地运往b市的设备有15-(18-x)=(x-3)台.(2)根据题意得y=800 x+500(17-x)+700(18-x)+600(x-3),即y=200 x+19 30

24、0.由得3x17.自变量的取值范围是3x17且x为正整数.(3)总运费不高于20 200元,200 x+19 30020 200,0,170,180,30 xxxx栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解得x4.5.又x为正整数且3x17,x=3或4.该公司有两种调配方案:方案一:甲地运往a市3台,运往b市14台,乙地运往a市15台,运往b市0台;方案二:甲地运往a市4台,运往b市13台,乙地运往a市14台,运往b市1台.在y=200 x+19 300中,k=2000,y随x的增大而增大,当x=3时,总运费最小,最小值是y=2003+19 300=19 900.答:甲地运往a市3台,运往b市

25、14台,乙地运往a市15台,运往b市0台,这种方案总运费最小,最小值是19 900元.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解答题解答题1.(2018江苏南通中考,25,)小明购买a,b两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:次数购买数量(件)购买总费用(元)ab第一次2155第二次1365根据以上信息解答下列问题:(1)求a,b两种商品的单价;(2)若第三次购买这两种商品共12件,且a种商品的数量不少于b种商品数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析(1)设a,b两种商品的单价分别为x元/件,y元/件.根据题意,得解

26、得(2)设第三次购买a种商品m件,购买商品的总费用为w元,则购买b种商品(12-m)件.w=20m+15(12-m)=5m+180.又由题意可知m2(12-m),m8.w=5m+180中,k=50,w随m的增大而增大,255,365,xyxy20,15.xy当m=8时,w有最小值,此时12-m=4.最省钱的购买方案是购买a种商品8件,b种商品4件.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案2.(2017湖南郴州中考,21,)某工厂有甲种原料130 kg,乙种原料144 kg.现用这两种原料生产出a,b两种产品共30件.已知生产每件a产品需甲种原料5 kg,乙种原料4 kg,且每件a产品可获利70

27、0元;生产每件b产品需甲种原料3 kg,乙种原料6 kg,且每件b产品可获利900元.设生产a产品x件(产品件数为整数),根据以上信息解答下列问题:(8分)(1)生产a,b两种产品的方案有哪几种?(2)设生产这30件产品可获利y元,写出y关于x的函数解析式,找出(1)中利润最大的方案,并求出最大利润.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析(1)根据题意得解得18x20,x是整数,x=18或19或20.共有三种方案:方案一:生产a产品18件,b产品12件;方案二:生产a产品19件,b产品11件;方案三:生产a产品20件,b产品10件.(2)根据题意得y=700 x+900(30-x)=

28、-200 x+27 000,-2000,53(30)130,46(30)144,xxxx栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案y随x的增大而减小,又18x20,当x=18时,y有最大值,y最大值=-20018+27 000=23 400.利润最大的方案是方案一:生产a产品18件,b产品12件,最大利润为23 400元.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案3.(2018浙江湖州中考,22,)“绿水青山就是金山银山”.为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向a,b两个果园运送有机化肥.甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥,a,b两个果园分别需要110吨和70

29、吨有机化肥.两个仓库到a,b两个果园的路程如下表所示: 路程(千米)甲仓库乙仓库a果园1525b果园2020栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案设甲仓库运往a果园x吨有机化肥,若汽车每吨每千米的运费为2元,(1)根据题意,填写下表.(2)设总运费为y元,求y关于x的函数表达式,并求当甲仓库运往a果园多少吨有机化肥时,总运费最省,最省的总运费是多少元? 运量(吨)运费(元)甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库a果园x110-x215x225(110-x)b果园 栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析(1)(2)y=215x+225(110-x)+220(80-x)+220(x-10),即y=-

30、20 x+8 300.又10 x80. 运量(吨)运费(元)甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库a果园x110-x215x225(110-x)b果园80-xx-10220(80-x)220(x-10)0,1100,800,100,xxxx栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案在一次函数y=-20 x+8 300中,-200,且10 x80,y随x的增大而减小,当x=80时,y有最小值,y最小值=-2080+8 300=6 700.故当甲仓库运往a果园80吨有机化肥时,总运费最省,为6 700元.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案1.(2015河南中考,21,)某游泳馆普通票价20元/张,暑期为了促

31、销,新推出两种优惠卡:金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.(10分)(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点a,b,c的坐标;(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析 (1)银卡:y=10 x+150(x0且x为整数);普通票:y=20 x(x0且x为整数).(2)把x=0代入y=10 x+150,得y=150.

32、a(0,150).联立解得b(15,300).把y=600代入y=10 x+150,解得x=45.c(45,600).20 ,10150,yxyx15,300,xy栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案(3)当0 x15时,选择购买普通票更合算;当x=15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比购买金卡合算;当15x45时,选择购买金卡更合算.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案2.(2018四川内江中考,21,)某商场计划购进a、b两种型号的手机,已知每部a型号手机的进价比每部b型号手机的进价多500元,每部a型号手机的售价是2 500元,每部b型号手机的售价是2 100元.(1)若

33、商场用50 000元共购进a型号手机10部,b型号手机20部,求a、b两种型号的手机每部进价各是多少元;(2)在(1)的条件下,商场决定用不超过7.5万元采购a、b两种型号的手机共40部,且a型号手机的数量不少于b型号手机数量的2倍.该商场有哪几种进货方式?该商场选择哪种进货方式,获得的利润最大?栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案解析解析 (1)设b型号手机每部进价为x元,则a型号手机每部进价为(x+500)元,根据题意可得10(x+500)+20 x=50 000,解得x=1 500.故a型号手机每部进价为2 000元,b型号手机每部进价为1 500元.(2)设商场购进a型号手机m部,

34、b型号手机(40-m)部,由题意得解得m30,m为整数,m=27或28或29或30,所以共有四种进货方案,2 0001 500(40)75 000(),2(40)(),mmmmm m为整数为整数803栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案分别是a型号手机27部,b型号手机13部;a型号手机28部,b型号手机12部;a型号手机29部,b型号手机11部;a型号手机30部,b型号手机10部.设获得的利润为w元,则w=(2 500-2 000)m+(2 100-1 500)(40-m)=-100m+24 000,-1000,w随m的增大而减小,所以当m=27时,w最大,即选择采购a型号手机27部,b型号手机13部时获得的利润最大.栏目索引栏目索引19.3课题学习选择方案(2014河北中考)某景区内的环形路是边长为800米的正方形abcd,如图19-3-5和图19-3-6所示.现有1号、2号两游览车分别从出口a和景点c同时出发,1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶,供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计),两车速度均为200米/分.图19-3-5