量子力学的数学准备

1、-作者xxxx-日期xxxx量子力学的数学准备【精品文档】量子力学的数学准备(暑期读物)写在前面的话06光信、电科的同学们：暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙

2、，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look”，而是指“Read, Deduce and Consider”，即阅读、推导、思考。为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！ 刘骥 谨此I. 一个积分的计算积分区域是边长无穷大的正方形计算积分积分区域是半径无穷大的圆由此我们可以得到积分公式：问题：对于积

3、分可以仿照上述方法计算吗？为什么？如果不能，该如何计算其近似值？习惯上用撇表示空间变量导数，用点表示时间变量导数，如，II. 厄密多项式及相关问题在处理线性谐振子时会碰到求解下列方程的有限解问题对一个二阶微分方程，将待求函数展为级数并代入方程，可得到展开系数的递推公式。若求得所有的展开系数，则解即知。此乃级数求解法。习惯上也写为 (1)是待求的有限函数，为待定常数。下面尝试用级数法求解方程(1):将代入方程，若只出现两种幂次项则可用级数法求解，否则不可。将代入方程(1)会出现三种幂次项，因而方程(1)不能直接采用级数法求解。俗称“抓两头” 考察方程(1)在区间两端的渐近行为，由于是常数，相对可

4、忽略，方程(1)在的渐近式为 (2)观察可发现是方程(2)的近似解。俗称“带中间”当然不是方程(1)的解，但当时应表现出的渐近行为，于是我们可以合理地假设中应包含因子。 令，自己算一下哦代入(1)，得以代入方程(3)，只出现和两种幂次项 (3)方程(3)称为Hermit方程，是可以用级数法求解的。 级数法求解Hermit方程令，代入(3)， 由方程两边x的同幂次系数相等，我们得到展开系数的递推公式：正像积分变量替换不改变定积分的值一样，求和哑指标的替换不改变求和的值。 (4)由递推公式(4)可以看出，确定后，、等所有下标为偶数的展开系数随之确定，确定后，、等所有下标为奇数的展开系数随之确定。不

5、妨令，为任意常数，则不管k为偶数还是奇数都有 (5)于是可见无穷级数和是Hermit方程(3)的两个线性无关解。 (6) 对于任一常数，无穷级数是方程(1)的解，这是没有问题的。但是否有限解，欲得到有限解对常数有何要求，这是需要讨论的。有限性的讨论当取任意常数值()，若有限，则要求：x，无穷级数或收敛于有限值；ii. 时，无穷级数或有限，即使趋向无穷大也不能快于。由式(5)，或的相邻项系数比(后项比前项) ，根据无穷级数收敛判别法则，条件i是满足的，即或是收敛的。至于是否满足条件ii，难以直接看出。为此我们考察函数的泰勒展开式，其相邻项系数比。一个无穷级数在时的渐近行为取决于其高次项， 或与有

6、相同的()相邻项系数比，因而。显然这不满足上述的条件ii，即时，方程(1)没有有限解。时，方程(1)有有限解时，式(5)变为，由(或)可推出(或)，而，或截断成为多项式。时，多项式趋向无穷的速度不快于，满足条件ii，因而我们可以得到方程(1)的有限解。具体地说，n为偶数时，截断成为只含有偶数次幂的n次多项式，而仍为无穷级数，此时可选任意常数，得到方程(1)的有限解。，n为奇数时，截断成为只含有奇数次幂的n次多项式，而仍为无穷级数，此时可选任意常数，得到方程(1)的有限解。Hermit(厄密)多项式时，或截断成为n次多项式，其中的常数或习惯上这样选取：使多项式最高次项的系数为。这样的多项式称为H

7、ermit多项式，记为，其通项公式：为的整数部分， (7)由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式，如，归纳起来，方程在时存在有限解，对应的解为Cn为常数，由其他条件确定。， 。Hermit多项式的微商表示方法及递推公式Hermit多项式还可写为 (8)由通项公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式 (9)由微商表示(8)可得第二个递推公式 (10)由(9),(10)可得第三个递推公式 (11)常数由归一化条件确定按照量子力学，应满足归一化条件，即。其中的积分值计算出来后，就能得到常数。将微商表示(8)代入上述积分，得 (12)于是 ， 两个常用的关于递推关系由(11)得，那么 即 利用(10)

8、式 ，类此上面的计算可得满足正交性，即证明：不妨设，仿照(12)式中的做法是一个多项式与的乘积 再将厄密多项式的微商表示(8)代入，III. 函数1定义 ，且。2性质 i. ， ii. iii. 3函数是某些通常函数序列的极限 “函数显然不是通常意义的函数。人们现在说，它是广义函数。具体地说，它是某种通常函数系列的极限，而这极限是在积分的意义上说的。”（梁昆淼数学物理方法第三版，p108）除了梁昆淼书中给出的三个例子，即验证见梁书i. ， ii.iii. 之外，量子力学中还经常用到下面几种：同iiiv. v. 先验证iv，两次使用洛比达 再验证v，时， 时，梁书p82习题3 (7)利用梁书p8

9、1例8的结果 注意到 符合函数的定义。IV. Kroneck符号与Levi-Civita符号1Kroneck符号 ， 引入Kroneck符号后，可对许多公式进行方便简捷地表达。例如，三维空间的三个相互正交的单位矢量也可用表示，则有， 此九式可统一写为，3212Levi-Civita符号定义： 可这样记忆：设想只有三个钟点的表盘(如右图)，ijk按顺时针方向取三个数字，Levi-Civita符号为+1，逆时针方向取为-1，ijk中有两个或三个重复数字则为0。口诀：顺正逆负，重复为零。性质：(下标轮换，符号不变)， (下标对调，改变符号)例如此九式可统一写为(或省略不写求和号) ， ， ，重复下标

10、(此处为k)意味求和，此乃爱因斯坦惯例。又如角动量其中第k个分量k取1得第一个分量(x分量)：再如熟知的公式，利用Levi-Civita符号可以很简洁地证明。欲两个L-C符号积非零，须,jkl互不同，ilm互不同，因而只有两种情况：1. 2. 证明： ， V. Nabla算符与Laplace算符Nabla算符就是梯度算符(读作Nabla)，它对任意函数的作用在直角坐标系中表示为，或写为那么在球坐标系中，函数，Nabla算符又具有什么样的形式？利用直角坐标和球坐标之间的关系 和则，或写为计算得：，于是同理， 注意直角坐标和球坐标系单位矢量间的关系(见右图) (1)可得球坐标系中Nabla算符的具

11、体表达式Laplace算符，注意到相互正交，且由(1)式可得， 可得于是注意：是空间三个相互正交的固定方向上的单位矢量，与空间点或无关。而是空间三个相互正交的变动方向上的单位矢量，与空间点或有关，确切地说与有关。VI. 函数空间及其矢量一、三维几何空间中的矢量在三维几何空间中，所谓矢量是指需其大小和方向两方面来描述的量，如位移、速度等，一般来说是三维空间中的有向线段。一旦我们在空间中选定一组(此处是三个)线性无关的矢量作为基矢量，比如(相当于选定了直角坐标系)，则任意矢量可写为，其中分别是在方向上的分量，或写为三行一列的列矩阵。而三个基矢量的矩阵表示分别为。以矩阵表示矢量时，习惯上矩阵名A上不

12、加表示矢量的箭头类此地，一旦我们选定作为基矢量(相当于选定了球坐标系)，则上述任意矢量，或写为。显然同一矢量在直角坐标系中的矩阵表示与在球坐标中的矩阵表示是不同的。以上的讨论实际上意味着这样一个事实，三维几何空间中的任意一个矢量可写成一组完备正交基(或)的线性组合。两个矢量和的内积(点乘)等于在同一完备基下两矢量对应分量的乘积和，即此处可以是复函数，不是复变函数，而是实变复函数，即变量为实数，而函数值为复数或二、从Fourier变换看完备函数系我们在数理方法中知道，对任一在上有定义的函数可作Fourier变换：，其中，积分的本质就是求和我们可以换一个角度来看Fourier变换，选择一系列函数k

13、取遍中的所有值，任一函数可写成这一函数系列的线性组合。如果任一函数可写为某一函数系列的线性组合，则该函数系列为完备函数系，简称完备系。比如我们这里的函数系列就是完备系。三、函数空间三维几何空间实际上是所有三维矢量作为其元素的一个集合。对于三维几何空间，当选定一组完备系 (比如，它们当然也是该集合中的元素)后，任意矢量可写为，其中分别是在方向上的分量。其中一个要取复数共轭对照来看，所有定义在上的复函数的集合，也构成一个空间，称为函数空间，也叫希尔伯特空间。当选定函数系列作为完备系时，任意函数，是在基上的分量。从这个意义上讲，一个函数就是函数空间中的一个矢量。既然是一个矢量，也可以形式上写成矩阵：，只不过此处标记行的指标k有无限多个取值而且是连续的。希尔伯特空间中的两个矢量和的内积也等于两个对应分量乘积的和，即。当然我们并不一定要选函数系列作为希尔伯特空间的完备系，也可以选另外一套完备系，比如。此处是基函数的变量，而是不同基函数的标记。根据函数的性质，可以看出函数值就是矢量在基上的分量。此时，作为希尔伯特空间中的矢量也可以形式上写成矩阵：。两个矢量和的内积也可以写成两个对应分量的乘积和(当然其中一个要取复数共轭)，。由于积分变量的替换不改变积分的值，和的内积可写为。在三维