【精品】浅谈连续性的证明与应用

1、浅谈连续性的证明与应用函数的连续性是“数学分析”中的一个車要概念，在教学中务必高度重视，本文就连续 性概念的理解与应用谈点肤浅体会.1关千连续性的定义l1函数，y二f(x)在兀°连续的五种等价定义：(1) lim/(x) = /(x0);(2) lim f(x) = lim f(x) = /(x0);xt"xtx'o v>3d>>0,使当 i x-,o | v 有|/(x)-/(x0)|<；(4) lim ay = 0 ；axtxo vxnx0 lim/(xj = /(xo)不管是哪种形式的定义，都指明了 f(x)在x。近旁性态变化的实质:当

2、ax to时，ayo 定义包含了 f(x)在连续的三个条件:f(x)在x。有定义；lim/(x)存在(有限值)且 lim/(x) = /(x0)只要缺少其中一个条件，则称x。为间断点，据此，间断点可分为两类： 第一类间断点：1；可去间断点 /(xo+o) = /(o-o)/(xo)2；跳跃间断点 /(xo+o)/(xo-o)(f(xo +0), f(xo -0)都存在)第二类间断点:f(xo+o), f(xo0)至少有一个不存在.1.2函数y=f(x)在区间i上连续的定义.函数尸f(x)在区间i上每一点都连续，称f(x)在区间i上连续.函数y=f (x)在区间i上一致连续的定义对/£

3、>0,日5>0,使当xx2e i，只要召一乙 <5时有|/(x)-/(x2)|<致连续与连续的差别在于:当固定x。，在定义其连续性时，上述/是依赖于x。的选择， 记为(x0),般地说，当f(x)在x。附近较为陡峭时，(兀()较小;当f(x)在兀)附近较为 平坦时，(兀0)较大;全体5(心),兀0丘i可能没有正的下界，一致连续是对整体而言，实际 要求(兀0)有一个正的下界记作5)(只少£有关，与x。的位置无关)，确定了 /(刃以后,对区间i上的一切点都适合，显然，一致连续性比连续性要求更苛刻.1.3lipsehitz 连续函数f(x)称为在区i'可i .

4、 h lipsehitz连续(乂称满足lipsehitz条件);如果存在常数l>0,使得不等式|/(x1)-/(x2)|<l|x1x2对于所有xx2任i都成立，,l称为lipschitz常数1.4h61der 连续如果f(x)定义于区间i,对于0 vqg (及0西无2丘/，存在常数h>o,恒有|/()-/(%2)|<7/|-%2| (1)则称f(x)在区间i上具有指数仅的holder连续.这里h>0是与a及点坷,花：的选择无关的正常数，满足不等式(1)的h的下确界记为h(f),丹(广)=inf 甲)一竽)|'卜厂兀2|称为f(x)的h61dcr常数，显然，

5、若holder指数a=l,则holdci连续就变成lipschitz连续； 若 f(x)在 x。holder 连续，则 f(x)必在 x。连续，事实上，由 |/()-/(2)| -x-x20<a<l,对 0£>0,取 5 =则当卜一对<5 时，有 |/(x )-/u0)|<£h在讨论儿种连续性的关系时，考虑到f(x)在x。可微的定义:记 心= x-x0,ay = /(x)-/(x0)axto ax 心 txqx 一 兀()可见，f(x)在x。具有指数为仅(ovqvl)的hofdcr连续是介t f(x)在x。连续与f(x) 可微之间的一种性态，而

6、f(x)在区间i上众pschtz连续的要求更高于f(x)在区间了的口j微 各种连续性概念都是根据实际需要而定义的.例如，研究f(x)的riemann积分的存在性 吋，需要连续与一致连续的概念。研究初值问题y解的存在性时，需要f(x, y)关于y满足lipsehitz条件，而研究函数f的cauchy型积分 的主值存在性时，需要f在曲线上holer连续，这些都在教科书中有详细论述.2.1连续性的证明要证明一个函数f在某区间i上连续，只要在区间里任取一点xogi,证明lim /(x) = /(x)zvto例1证明riemann函数r(x)= (当x=2为既约分数，q>0(当x为无理数) q q

7、在无理点上连续，在有理点上间断.ill:1°设x。为有理点,x=£为既约分数，q>0,则r(xo )=丄>0,qg山无理点的稠密时m无理点列x0x0o (当“t8时)，但 |尺(£)一尺(兀0)| = 0 =_0q q即r(x)r(x。),故r (x)在有理点间断.2.(证明无理点上连续)设xw (0, 1)为无理点，则r(x)=o,从r(x)的定义可以 看出，vw>0, r(x)>0的点x在(0, 1)上最多只有有限个(事实上，要r(x)> g>0,x必须是有理数，若x =生,=，则ospvqw生,可见满足此不等式的有pp q

8、£理数 上最多只有有限个个)，如此，nj® s > 0充分小,使得(勺-5,兀。+ 5 ),不含有 qr (x) > 6的点，此即vx e (x。-/,兀o + 5),有 i r(x)-r(x0) i =r(x)< £这就证明了 r(x)在(0, 1)内的无理点上连续.乂因为r(x)以1为周期，所以r(x)在一切无 理点上连续.例2证明在0, 1)上不可能定义一个如下函数，它在每一个有理点连续，而在无理点 不连续证只要证明任何一个在(0, 1)中有理点连续的函数f(x),至少在一个无理点上连续 即可.记(0, 1)内有理点的全体为q二斤，厂2设t

9、= £n - (n=l,2,3;)厂"工斤 1 e q ,f()在门处连续。对锌便)q>0,人(门一片门+q) 71/1,|/,|<-,/1cz(0,l)厶且当xg人时有/(%)-/«)再取他wjvrwq, 2hqrz>r由j圧连续，故对存在作皱 。，i2=(rn2-62,rn2+s2 g©竿刃2有 |/2<*,当吐/2有|/u)-/(x/)|<2显然上述取法是存在的,如此继续下去,到第n步取叮,但 卄q,心丰斤”込"rn-x(由于/心内有无穷多个有理点，这是可以办到的)，再由f(x)在乙"连续， f(x

10、)-f(x"n)<£n 1如此得到区间套(0,1)二人二in o_&!> 0(厶1区间套定理存在x0 gq in ow-l卜证琳无理点且f (x)在违綾。若琳有理点，则有耽由作洛可窗"。， 8 侶人，此与更盾*0邮网訓点0"一1最后证明jf壬连续0)对由 0£>0,名t°，( too), 可取却铮为的亟占-所闵tn x0 e in 再取5 =戈-卜0-可< 戈卜-店卜-兀0-可< 戈所以有2.2用定义证明f在区间i上致连续, 一致连续.x + 2 . 1/w =sin-x + 1 x|/(x)-/

11、(x0)|<|/u)/(a；,)! + !/(/;,)-/(x0)|< 2通希'的方法是设法证明f在1上lipschitz连续，必a>0.v j/2 g(6z,+00x为任一正常数试证f(x)在(0,佥内非一致连续，在(,a + )odl致连续证(1)：证f在(a, +ob ±一致连续，先证满足条伸scftiixx«+2sin 1x + 1兀+ 2.1x9 +2.1无 + 2.1 sin +sin - - sinx2 +1 xx2 +1 x%)+12x2%! +2 x2 +2x +1 x2 + 1+ 2*x2 +2x2 +1costy卜2_西|(x

12、j-ixx.+l)11*(a + l)2 '心 + 1)+ a * 2 i|x, -x2| = l x -x2对 w,0,3<5 = -,l证明/ (0, b内非一致连续，収则充分夫吋,，开；=(一,(斤=1,2),nxn xn ac 、兀c兀2n7l + 2/77t2 2£ -暫=r t 0(n -> +oo)4nv- 4但懈刼如(划聘迪鎳+力厂龙+ 12 f a2n/r + +1 2n 兀-+12 22.3利川cantor定理证明一致连续性我们知道，f(x)在区间i上一致连续，口然f(习在i上连续、反z不一定，但cantor定理指出，若1为有限闭区间，f在 行

13、，b)上连续，等价丁十在(a,b)±一致连续。例 4 证明：若 f(x) 在 (a ,+ oo ) 上连续um /(x) = a(有限)，则f(x)在(a +)ooh一致连续,jvt+oo证：(1)因脈臥囱时有4,x) x2 > a(2)由曲冊丫在(,f(m)一上旷建连续，故此£ >0,"0,xt+oo当耳),卜-兀21 < 5,令min(l,勿wx时卩,马要滋|同属诽+lpx2a要么同属于(a +)oq从而由(5)(6)可知f (x| )-1,即在x2)|vg, f(a +)oo上一致连续 2.4用连续模描述一致连续性 定义若f(x)在区间i上

14、有定义，则兮(5) = sup(兀,x2)g/ |/(%!)- f(x2) 称为函数f的连续模，可见f的连续模的是关于5的非负、不减函数.例5若f(x)在区间i上有定义，则f(x)在i上-致连续的充要条件是lirn匕(论0证(1) 必要性， 因 fi次i此璇时克日>0, x|, x2 g /, xx2 <wf (5) = supo,兀2) w /1/ (西)一 /(兀2)|故当(b求 5v5: 0 < wf (d>) < wf () < -|- < 充分性0 5 w/ (5| ) v £,由fikh= 00£0,玉» &g

15、t;0，故当寿2 e人卜1 -兀2| < 4f (x- f (x2) < sup(西,吃)w /,|/(西)一/(%2)| = wf(习)> £所以f在i上一致连续.、山此例口j得fi致连续视察法，因为灼9)的值只与f的图形最陡的地方有关若f的图 形在某处无限变陡，使w/ (5) t 0 ,则f非一致连续.若f的图形在某处最陡，但t ()时, 此|/()-/(%2)|<0,则 f一致连续.3连续性的应用所谓连续性的应川是指:假定所论函数连续，证明在某些条件下，有什么结果，或者构 造适当的辅助函数，把所要证明或解决的问题转化为连续函数的问题，这对培养学生分析问

16、题与解决问题的能力有很大的意义.例 6 设 f(x)在(-oo,+oo)有定义冃在 x=0 处连续，对/心2 有 f&+x2)=f&|6 明于(x)ye(【), +)上 0000连续；(2)又设f(0)=a(常数)，证明f(x)=ax证(1)依题设易见f (0+0) =f (0) +f (0),由此可得f(0)=0, 有对0%看-00 +00)ltn /(x0 + h)-/(x0) = lim/(x0) + /(/?) 一 /(x0) = lim /(/?) = 0即见袒连绳 由x得任意性，在(亦劝)上违续00/'(x0) = lim/|->0/(兀+/?)-/(

17、兀0)h/->o h /->o h 0由需任意性可知f(x)处处可微，且f顾炯礙3豹, 得卵助，fx) = ax 例7设f(x)在x=0.x=l连续，证明f(x)在(-00, +00)为常数.1.设/ >a9条件可知丄j_/(x) = /(x2) =./(") = .j_1_因 jltf (x) = lim f (x2n) = /(limx2w) = f ()"tooz?t82兀<0时，/(%) = /(x2) = /(l)3.x = 0时,/(0) = lim/(x) = /(l)a->0故 f(x)=f(l)(常数)例8已知函数f在圆周上有

18、定义且连续.证明:可以找到一直径的两个端点“和b,使 f(a)=f(b)证以圆心为极点，以某个半径作极轴,于是圆周上的点可山幅角&决定，f便是&的函 数，以2兀为周期，至此问题归结为求出一个&,使/(&) = /(& +龙)令g(0)= y(0) /(0 + ”),若g(0) = o,则问题已被解决,若g(0)ho,由gm = fw- fs = fw-o = -/(o 今/(”) = -g(o知g(溺g(0)异号,所 以由连续函数 的介值定理知3g(o,办使g(沪畀卩f( x( e7t .a毕例9设1为有限区间，f(x)在i上有定义，试证:f(x)在i上一致连续的充要条件是f把caucho,序列映射为caoch少序列(即当 £.为cauehy序列时,(f(£)亦为